2023~2024学年山东省泰安市高新区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年山东省泰安市高新区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1. 某物体如图所示，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 的俯视图是 ．
故选B．
2. 已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选一个点，在反比例函数图象上的概率是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
对于，，，，
，，，，
∴只有点在反比例函数图象上，
∴概率为：，
故选：C．
3. 在中，，，，则的长为（ ）
A. B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】设，
∵，，∴，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选： B．
4. 已知点，，都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴，，∴，故选：A．
5. 今年2月4日在北京举办第24届冬季奥运会，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动，如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小明乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行80米，若斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（ ）

A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】∵滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了80米，
∴该同学在竖直方向上下降的高度为，故A正确．
故选：A．
6. 如图，为的直径，点，在上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
故选： C．
7. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象顶点坐标为，对称轴为直线
B. 的最小值为5
C. 当时，的值随值的增大而减小
D. 抛物线与轴的交点坐标为
【答案】D
【解析】A、图像顶点坐标为，对称轴为直线，原说法正确，不符合题意；
B、的最小值为，原说法正确，不符合题意；
C、当时，的值随的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
D、当x=0，，抛物线与轴的交点坐标为，原说法错误，符合题意；
故选： D．
8. 一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是150°的扇形，则圆锥的母线长为（ ）
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm
【答案】B
【解析】根据圆心角度数的计算法则：圆心角=×360°，即×360°=150°，解得：l=12cm，即圆锥的母线长为12cm.
9. 已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＜0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故A错误；
B、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＜0，故B错误；
C、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故C正确；
D、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＞0，故D错误；
故选：C．
10. 如图，在扇形中，，，以为直径作半圆，圆心为点，过点作的平行线分别交两弧点、，则阴影部分的面积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】连接，

∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：
故选：A ．
11. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
12. 二次函数（a，b，c是常数，且）中的与的部分对应值如表所示，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）抛物线开口向下；
（2）二次函数的顶点坐标为；
（3）当时，；
（4）当时，的值随值的增大而增大；
（5）方程有两个不相等的实数根．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】由表格可知：当时，，
时，，
时，，得，解得，
，
（1），二次函数开口向下，故（1）正确；
（2）二次函数过点，，
二次函数的对称轴为直线，
二次函数的顶点横坐标为1.5，故（2）错误；
（3）当时，，，所以当时，，故(3)正确；
（4）二次函数的对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，y的值随值的增大而减小，故(4)错误；
（5）方程．
即，整理成一般形式为，
，
方程有两个不相等的实数根，
时，
有两个不相等的实数根，故（5）正确；
正确的有3个，
故选∶C．
第II卷（非选择题，102分）
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13. 把二次函数化成的形式为_____．
【答案】
【解析】，
故答案为： ．
14. _____．
【答案】
【解析】原式，
故答案为： ．
15. 如图,△ABO的面积为3,且AO=AB,反比例函数y= 的图象经过点A，则k的值为___.
【答案】3
【解析】过点A作OB的垂线，垂足为点C，如图，
∵AO=AB，
∴OC=BC=OB，
∵△ABO的面积为3，
∴OB⋅AC=3，
∴OC⋅AC=3.
设A点坐标为(x,y),而点A在反比例函数y= (k>0)的图象上，
∴k=xy=OC⋅AC=3.
故答案为3.
16. 某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．此时顶部边缘处离桌面的高度的长为_________________．（结果精确到，数据：，，）

【答案】
【解析】∵，
∴，
在中，，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
在中，
∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为，
故答案为：．
17. 如图，在矩形中，，，以为直径作⊙O，E为的中点，交⊙O于F，连，则的长为 ___________．

【答案】
【解析】连接，如图，
∵为直径，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
，
，
∵E为的中点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．

18. 如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段PA的中点，连接OM．则线段OM的最大值是_____．
【答案】4
【解析】令0＝x2﹣3，则x＝±3，
故点B（﹣3，0），
设圆半径为r，则r＝3，
连接PB，而点M、O分别为AP、AB的中点，故OM是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OM最大，
则OM＝BP＝（BC＋r）＝＝4．
三、解答题（共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加比赛的共有_____人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，_____，_____，等级对应扇形的圆心角的度数是_____；
（3）获得等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．
解：（1）班级总人数为∶ (人)．
B等级的人数为∶ (人)，
故答案为∶40．
把条形统计图补充完整如下∶
（2），，
，，
，等级对应的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：10，40，；
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女参加比赛的结果有6种，
恰好选中一男一女参加比赛的概率为．
20. 初二一班同学到实践基地参加综合实践活动．基地讲解员：“同学们看到的大棚的横截面顶部为抛物线，大棚的一端固定在离地面高1m的墙体处，另一端固定在离地面高2m的墙体处．”该班同学对横截面建立如图所示平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度与其离墙体的水平距离之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为4m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）某同学发现一树苗，树顶刚好触碰到大棚顶部（如图），通过测量她发现该树苗与墙体之间的水平距离为0.5米，请求出该树苗的高度．
解：（1）由题意得点A的坐标为，点B的坐标为，
把分别代入，
得，解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）由题意得，把代入，
得，
答：树苗的高度为1米．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
（3）若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
解：（1）将代入，得，
，
，
将代入，
，
将，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）根据函数图象可知：不等式的解集为或；
（3）时，，
，
，时，
，，
，
，
的面积是的面积的2倍，
，
，
点是第四象限内反比例函数图象上的一点，
，
，
，
．
22. 为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社．今年大蒜丰收，为了取得较高利润，该合作社对本地市场进行调查．调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1万元．为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于4.5万元/吨．设大蒜的批发价为（万元/吨），每天获得的利润为（万元），请解答下列问题：
（1）用含的代数式表示每天大蒜的销售量为_____（吨），并求出每天获得的利润（万元）与批发价（万元/吨）之间的函数关系式：_______．
（2）若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨?
（3）当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润．
解：（1）每天大蒜的销售量为（吨），
故答案为：
根据题意得，
∴每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式为，
故答案为：；
（2）根据题意可得，
解得．
∵，
∴，
答：若该村每天批发大蒜要盈利15万元，大蒜的批发价应定为4万元/吨；
（3），
∵，即抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，
最大值为，
∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元．
23. 如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为．
（1）求坡顶B到地面的距离的长；
（2）求古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，
解：（1）由题意得：，
斜坡的坡度为，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
解得：，
米，米，
答：坡顶到地面的距离的长15米；
（2）延长交于点，
由题意得：，米，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
（米），
，
，
解得：，
（米），
答：古塔的高度约为29米．
24. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，csA＝，AP＝4，求BF的长．
（1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵点F为DE的中点，
∴BF＝EF＝AD，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠AEP＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠AEP，
∵PD⊥AC，
∴∠EPA＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBA+∠FBE＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：在Rt△AEP中，csA＝ ，AP＝4，
∴AE＝＝＝5，
∴PE＝＝＝3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP+OC＝12，
∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，
∴BF＝DE＝，
∴BF的长为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
解：（1）将，，代入，
得：，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）当时，有，解得：，，
点的坐标为，
，点的坐标为，
设过两点的直线解析式为y=kx+bk≠0，
将，代入，
得：，解得：，直线的解析式为，
点纵坐标，，
如图，与交于点，

设，
直线的解析式为，
代入坐标，得：，解得：，
直线解析式为，
点的纵坐标为：，
，，
当时，最大，
的纵坐标为：，
此时点的坐标为：；
（3）存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，
理由如下：设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况考虑：

①如图2，当四边形为平行四边形时，
得：，解得：，
此时点的坐标为：；
②如图3，当四边形为平行四边形时，
得：，解得：，
此时点的坐标为：；
③如图4，当四边形为平行四边形时，
得：，解得：，
此时点的坐标为：；
综上所述，存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．0
1
3
3
5
3