2024-2025九上数学期末分类汇编试题：尺规作图（含答案）

这是一份2024-2025九上数学期末分类汇编试题：尺规作图（含答案），共12页。试卷主要包含了已知，数学课上，老师提出如下问题，如图，在△ABC中等内容，欢迎下载使用。
求作：∠BEC，使得点E在线段AD上，且∠BEC = 2∠BAC.
作法：
①连接OB，分别作线段OB，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点P；
②以点P为圆心，PB长为半径作圆，交线段AD于点E；
③连接BE，CE.
∠BEC就是所求作的角.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接OC.
∵点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAC =∠BOC（____________________________________________）（填推理的依据）.
∵点B，O，E，C在⊙P上，
∴∠BEC =∠________ .
∴∠BEC = 2∠BAC.
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；BOC.
2.（25西城）已知：如图1，点A，B在⊙O上，点P在⊙O外.
图1 图2
求作：⊙O的切线PC，且切点C在劣弧AB上.
作法：如图2，
①连接OP；
②作线段OP的垂直平分线l，交OP于点M；
③以点M为圆心，OM的长为半径画圆，交劣弧AB于点C；
④画直线PC. 直线PC即为所求.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接OC.
∵OP是⊙M的直径，
∴∠PCO = ________°（____________________________________）（填推理的依据）.
∴OC⊥PC.
∵OC是⊙O的半径，
∴直线PC是⊙O的切线（____________________________________）（填推理的依据）.
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）90°；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.（25海淀）已知：如图，AB是⊙O的弦.
求作：⊙O上的点C，使得∠ABC = 45°.
作法：①连接AO并延长交⊙O于点P；
②分别以点A，P为圆心，大于AP的长为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线OQ交⊙O于点C1，C2，连接BC1，BC2.
所以，点C1，C2就是所求作的点.
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接AQ，PQ.
∵AQ = PQ，AO = PO，
∴OQ⊥AP（________________________________________________）（填推理的依据）.
∴∠AOC1 = ∠AOC2 = 90°.
∵A，B，C1，C2都在⊙O上，
∴∠ABC1 =∠AOC1，∠ABC2 =∠AOC2（___________________）（填推理的依据）.
∴∠ABC1 = ∠ABC2 = 45°.
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）三线合一；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.（25丰台）下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.
已知：如图，点P在⊙O外.
求作：⊙O的切线，使它经过点P.
作法：①作射线PO交⊙O于A，B两点；
②以点P为圆心，以PO的长为半径作弧；以点O为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧相
交于点M，N；
③连接OM，ON分别交⊙O于点C，D；
④作直线PC，PD.
直线PC，PD为所求作的切线.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接PM.
在⊙O中，点A，B，C在⊙O上.
∵AB = OM，
∴OC =AB =OM.
∴OC = MC.
∵PO = PM，
∴PC⊥OM（ ① ）（填推理依据）.
∴直线PC是⊙O的切线（ ② ）（填推理依据）.
同理可证，直线PD是⊙O的切线.
答案：
（1）作图如下：
（2）三线合一；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
5.（25燕山）下面是小云设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：直线PN，使得PN与⊙O相切．
图1
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙O外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线
OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线.
根据小云设计的尺规作图的过程，
图2
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵MN是⊙Q的直径，
∴∠MPN = ________°（___________________________________）（填推理的依据）．
∴OP⊥PN．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线（___________________________________）（填推理的依据）．
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）90；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
6.（25石景山）下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使得PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B.
作法：如图，
①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q；
②以点Q为圆心，OQ的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B；
③作直线PA和直线PB.
所以直线PA和PB就是所求作的直线.
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接OA，OB．
∵OP是⊙Q的直径，
∴∠OAP =∠OBP = ① （ ② ）（填推理的依据）.
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线（ ③ ）（填推理的依据）.
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）90°；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
7.（25顺义）数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C.
求作： 的中点D.
小华的作法：
①在射线AC上截取AE，使AE = AB；
②连接BE，交⊙O于点D.
所以点D就是所求作的点.
（1）按照小华的作法，补全图形；
（2）补全下面的证明.
证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = ________（________________________________________）（填推理依据）.
∵AB = AE，
∴∠BAD = ∠EAD.
∴________ .
∴点D为 的中点.
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）90°；直径所对的圆周角是直角； = .
8.（25通州）已知：如图，在△ABC中，AB = AC.
求作：射线AE，使得AE∥BC.
小靖同学的作法如下：
①以点A为圆心，AB长为半径画圆，延长BA交⊙A于点D；
②作∠ABC的角平分线交⊙A于点E；
③作射线AE.
所以射线AE即为所求.
请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接DC.
∵AB = AC，
∴点C在⊙A上.
∵BD是⊙A的直径，
∴∠BCD = ________（________________________________________）（填推理依据）.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠CBE.
∴ = .
∴∠DAE = ∠CAE（________________________________________）（填推理依据）.
∵AD = AC，
∴AE⊥DC.（________________________________________）（填推理依据）.
∴AE∥BC.
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）90°；直径所对的圆周角是直角；等弧所对的圆心角相等；等腰三角形的三线合一.
9.（25昌平）如图，在△ABC中.
求作：正方形DEFG，两个顶点在AB上，另两个顶点分别在BC和AC上.
作法：
①在AB上任取一点P，作PQ⊥AB，交AC于点Q；
②在AB上截取PN = PQ，过点N和Q分别作PN和PQ的垂线，交于点M；
③作射线AM交BC于点D；
④过点D作DE∥MQ交AC于点E，过点D作DG∥MN交AB于点G，
⑤过点E作EF⊥AB于点F.
则正方形DEFG为所求作正方形.
（1）补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵∠QPN =∠MQP =∠PNM = 90°，
∴四边形MNPQ是矩形.
∵PN = PQ，
∴矩形MNPQ是正方形.
∵DE∥MQ，
∴△AMQ ∽ △ADE.
∴.（____________________________________________）（填写依据）.
同理可得：
∴________ =.
∵MN = MQ，
∴DE = DG.
同理可得：四边形DEFG为正方形.
答案：
（1）补全图形如图所示；
（2）相似三角形的对应边成比例，.
10.（25平谷）已知：如图，△ABC中，AB = AC，AB > BC.
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD =∠BAC.
作法如下：
①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D.
线段BD就是所求作的线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接PC.
∵AB = AC，
∴点C在⊙A上.
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB =∠BAC（___________________________________）（填推理的依据）．
∵BC = PC，
∴∠CBD = ________ .
∴∠CBD =∠BAC.
答案：
（1）补全图形（保留作图痕迹）；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；∠CPB.
与尺规作图有关的选择题、填空题：
12.（25通州）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO
长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么cs∠AOB的值是（ ）.
A.B.
C.D.
答案：A.
13.（25通州）如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个
结论：
①点A是PO的中点；
②直线PQ，PR都是⊙O的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则
S△PQA =S四边形PROQ.
上述结论正确的是（ ）.
A.①②③④B.①②③C.①D.②
答案：B.
14.（25门头沟）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是（ ）.
A.B.C.D.
答案：D.
15.（25房山）下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.
已知：⊙O和⊙O外一点P.
求作：过点P的⊙O的切线.
作法：如图，
（1）连接OP；
（2）作线段OP的中点A，以点A为圆心，AO为半径作⊙A，与⊙O交于两点Q和R；
（3）作直线PQ，PR.
直线PQ和直线PR是⊙O的两条切线.
证明：连接OQ，OR.
∵OP是⊙A直径，点Q在⊙A上，
∴∠OQP = ________°.
∴OQ⊥PQ.
又∵点Q在⊙O上，
∴直线PQ是⊙O的切线.
同理可证直线PR是⊙O的切线.（___________________________）（填推理的依据）．
答案：90，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注：
1. 25朝阳、25大兴、25门头沟、25房山、25密云无尺规作图解答题.
2.暂未收集到25怀柔、25延庆试题.