2024-2025九上数学期末分类汇编试题：圆综（含答案）

这是一份2024-2025九上数学期末分类汇编试题：圆综（含答案），共18页。
(1)求证：PD是的切线；
(2)若的半径为3，，求PE的长．
（2025朝阳22.5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，C为OB边的中点，⊙O经过点C，BD与⊙O相切于点D．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AB=2，求AD的长．
（2025朝阳22.5分）
（1）证明：∵∠OAB=90°，∠ABO=30°，
∴OA=OB．………………………………………………………………………………1分
∵C为OB边的中点，
∴OC=OB．
∴OA=OC．…………………………………………………………………………………2分
∵⊙O经过点C，
∴OC为⊙O的半径．
∴OA为⊙O的半径．
∴AB与⊙O相切． ……………………………………………………………………3分
（2）解：∵BD与⊙O相切于点D，
∴BA=BD，BO平分∠ABD． ………………………………………………………4分
∴∠ABD=60°．
∴△ABD是等边三角形．
∵AB=2，
∴AD=2． ……………………………………………………………………………5分
（2025海淀24.6分）如图，AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，BO的延长线交弦CD于点E，CE=DE，连接OD.
（1）求证：∠A=∠DOE；
（2）若OD∥AC，⊙O的半径为2，求AB的长.
（2025海淀24）（本题满分6分）
（1）证明：如图，连接OC.
∵ AB，AC是⊙O的切线，
∴ OB⊥AB，OC⊥AC.
∴ ∠ABO=∠ACO=90°. ……………………………………1分
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ . …………………………………… 2分
∵ OC=OD，CE=DE，
∴ ∠DOE=∠COE.
∴ ∠A=∠DOE. ……………………………………3分
（2）解：如图，延长DO交AB于点F.
∵ OD∥AC，
∴ ∠COD=∠ACO.
∵ ∠ACO=90°.
∴ ∠COD=90°.
∵ ，
∴ ，. ………………………… 4分
∵ OC=OD，CE=DE，
∴ OE⊥CD.
∴ ∠OED=90°.
∵ ∠ABO=90°，
∴ ∠ABO=∠OED.
∴ AB∥CD.
∵ AC∥OD，
∴ 四边形ACDF是平行四边形.
∴ . ………………………… 5分
∵ AB∥CD，
∴ ，
∵ ∠ABO=90°，
∴ .
∴ .
∴ . ……………………………… 6分
（2025西城24．6分）
如图，AB是⊙O的直径，弦CD//AB，过点D作⊙O的
切线交AB的延长线于点E，连接BC，BD.
（1）求证：∠E＝∠CBD；
（2）若AE＝8，DE＝4，求CD的长.
图1
24.（1）证明：作OF⊥CD于点F，连接OC，OD，如图1．
∴ ∠DFO＝．
∵ CD//AB，
∴ ∠DFO＋∠EOF＝．
∴ ∠EOF＝．
∴ ∠DOF＋∠DOE＝．
∵ DE是⊙O的切线，D是切点，
∴ OD⊥DE．
∴ ∠ODE＝．
∴ ∠E＋∠DOE＝．
∴ ∠E=∠DOF．
∵ OC＝OD，
∴ ∠DOF＝
∵ ∠CBD＝，
∴ ∠DOF＝∠CBD．
∴ ∠E=∠CBD．3分
（2）解：作DG⊥AE于点G，如图2．
∵ CD//AB，OF⊥CD于点F，
∴ DG⊥CD，OF⊥AE．
∴ DG＝OF．
设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r．
∵ AE＝8，
∴ OE＝8- r． 图2
∵ 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，DE＝4，
∴ ．
解得r＝3．
∴ OE＝5．
∴ OF＝DG＝＝．
∴ 在Rt△DFO中，DF＝＝．
∴ CD＝2DF＝．6分
（2025丰台24．6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC,BC, 作OD∥AC交⊙O于点D，交BC
于点E.
（1）求证：；
（2）过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点F，若CF=1，BC = 4，求AC的长.
（2025丰台24）
（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
………………………………1分
∵OD∥AC，
∴∠OEB=∠ACB=90°.
∴OD⊥BC.
∴.
………………………………2分
（2）解： ∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD.
∴∠ODF=90°.
………………………………3分
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°.
∵OD⊥BC，
∴∠CED=90°，
∴四边形CEDF是矩形.
∴CF=ED.
∵CF=1，
∴ED=1.
………………………………4分
∵OD⊥BC，
∴BE = CE.
∵BC = 4，
∴BE = 2.
在Rt△OEB中，
OE 2+BE 2=OB 2.
设⊙O的半径为r.
则OB = OD = r.
∴OE= r -1.
∴.
∴.
………………………………5分
∴.
∵BO=AO，BE=CE，
∴OE是△ABC的中位线.
∴AC=2OE =3.
………………………………6分
（2025大兴24.6分）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD为⊙O直径，连接BD交AC于点E,延长DB至点P，使得AP＝AE，连接AP．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若AB＝4，PE=6，求DE的长．
（2025大兴24.）（1）证明：
∵AD为⊙O直径，
∴∠ABD=90°.
∴AB⊥PE.
∵AP=AE，
∴∠PAB=∠EAB.
∵AB=BC，
∴∠EAB=∠C.
∵=，
∴∠D=∠C.
∴∠D=∠PAB.
∵∠BAD+∠D=90°，
∴∠BAD+∠PAB=90°.
∴PA是⊙O的切线. ……………………………………………….2分
（2）解：在Rt△ABD中， ∠ABD=90°，
∴AB2+BD2=AD2.
设DE=x，
∵AP=AE，AB⊥PE， PE=6，
∴PB=EB=3，
∴AD2 =42+(x+3)2. ………………………………………………….3分
在Rt△ABP中， ∠ABP=90°，
∴AP2 =AB2+BP2.
∴AP2=42+32.∴AP=5.
在Rt△PAD中， ∠PAD=90°，
∴PD2-AP2=AD2.
∴AD2=(x+6)2-52. …………………………………………………….5分
∴42+(x+3)2=(x+6)2-52
解得，x= . ………………………………………………………..6分
∴DE的长为.
（2025平谷24.6分） 如图，已知△ABC中，AB= BC，点D是BC边上一点，连接AD，以AD为直径画⊙O，与AB边交于点E，与AC边交于点F，EF=AF，连接DE.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BC=10，，求AC的长.
（2025平谷24答案）
（1）证明
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°1
∵BA=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵EF=AF
∴∠BAC=∠FEA2
∴∠BCA=∠FEA
∵∠DEF=∠DAC
∴∠DAC+∠BCA=∠DEA+∠AEF=90°
∴AD⊥BC
∴BC为⊙O的切线3

（2） ∵BC为⊙O的切线
∴∠ADE+∠BDE=90°
∴∠B+∠BDE=90°
∴∠B=∠ADE
∵
∴
∴
∴
∴BD=64
由勾股，AD=8
∵BC=10
∴DC=10-6=45
由勾股
6
（2025石景山24.6分）
如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OP交⊙O于点
B，C为⊙O上一点，CA∥OP．
（1）求证：；
（2）若AC=2，，求AP的长．
…………………………1分
（2025石景山24.）
（1）证明：∵点A，B，C在⊙O上，
∴．
∵CA//OP，
∴∠ACB=∠CBO．
∵OC=OB，
∴∠CBO=∠BCO．
…………………………3分
∴∠ACB=∠BCO．
∴∠AOB=2∠BCO．
（2）解： 过点O作OE⊥AC于点E，AC=2，
…………………………4分
∴．
…………………………5分
∵PA与⊙O相切于点A，
∴．
∵CA//OP，
∴∠CAO=∠AOB．
∴．
∴．
∴，．
…………………………6分
∴在中，
．
（2025通州25.6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是AB的中点，到点O的距离等于的所有点组成图形G，图形G与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；
（2）CA延长线交图形G于点F，如果，，求DE的长．

25. （1）补全图形； ………………… 1分

结论：直线DE与图形G（⊙O）只有一个公共点，或直线DE与⊙O相切
证明：连接OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， ………… 2分
∵，
∴，
∵点D 在图形G（⊙O）上，
∴直线DE与图形G（⊙O）只有一个公共点. ………… 3分
（2）解：过点O作于点G.
∴. ………… 4分
∵，，
∴四边形DOGE是矩形， …………… 5分
∴，，
在Rt△OGA中，，
∴，
∴（舍负），
∴. …………… 6分
（2025房山25.6分）如图，BE是的直径，点A在上，点C在BE的延长线上，
，AD平分交于点D，连结DE．
（1）求证：CA是的切线；
（2）当时，求DE的长．
（2025房山25）
解：(1)连接OA
-------------------------------------------------------------3分
(2)连接BD.
设⊙O半径为r，则OC=r+4
在Rt△OAC中，，AC=8，
.
.
∵AD平分，
.
.
在等腰Rt△BDE中，，
-------------------------------------------------------------6分
.
（2025门头沟24.6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）如果∠A = 30°，AE = 1，求BO的长．
（2025门头沟24.6分）
（本小题满分6分）
（1）证明：如图，连接OD． …………………………………………………………1分
∵ 以OC为半径的⊙O恰好与AB相切，切点为D，
∴ OD⊥AB．…………………………………………………………………2分
∵ ∠ACB = 90°，OD = OC，
∴ 点O在∠ABC的平分线上．
∴ BO平分∠ABC．…………………………………………………………3分
（2）解：∵ ∠A = 30°，∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC = 60°．
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠ABO = 30° =∠A．
∴ BO = AO．…………………………………………………………………4分
∵ ∠A = 30°，∠ADO = 90°，
∴ AO = 2OD．
设OD = OE = r，
则r + 1 = 2r．
解得：r = 1．
∴ AO = 2．
∴ BO = 2． ……………………………………………………………………6分
（2025燕山25.6分） 如图，AB是的直径，过点B作的切线BM，点A，C，D分别为的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E， CD交AB于点F.
（1）求证：；
（2） 连接OE，若DE=m，求△OBE的面积.
（2025昌平24.6分）
（2025昌平24）解：（1）方法一：
连接AC.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°. ………………………….1分
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB. . .………………………………………………….2分
∵∠BAC=∠BOC=∠BCE，
∴∠BCE ＋∠OCB =90°=∠OCE.
∴OC⊥CE. .………………………………………………………….3分
∴CE是⊙O的切线.
方法二：
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB==90°－∠BOC.
∵∠BCE＝∠BOC，
∴∠OCB=90°－∠BOC=90°－∠BCE.
∴∠OCB＋∠BCE =90°.
∴OC⊥CE.
∴CE是⊙O的切线.
（2）方法一：
连接CD，过点C作CF⊥BD于点F.
∵∠COD =90°，
∴∠CBD =45°. ……………………….4分
∴在Rt△BCF中，BC² = BF²＋CF²=2BF²=20.
∴BF= CF=.
∵∠CDB =∠BOC =∠BCE， . .…………………………………….5分
∴tan∠CDF = tan∠BCE ==.
∴DF=2.
∴BD=BF＋DF=3 . . .…………………………………………….6分
方法二：
过点C，D作AB的垂线段CG，DH，连接AC.
tan∠BCE = tan∠CAB = tan∠BCG ===.
∴AC =，AB=10，CG =2BG =4，OG =3.
∴在△COG和△ODH中，

∴△COG≌△ODH.
∴DH＝OG＝3，OH＝CG＝4.
∴在Rt△BDH中，BD＝3 .

方法三：
连接AC，BD交于点K，连接AD.
∵tan∠CAB = tan∠BCE ==，
又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AC =.
∵∠COD＝90°，
∴∠CBD＝∠CAD＝45°.
∴CK＝BC＝AK＝，BK＝，DK＝.
∴BD＝BK＋DK＝.
（2025顺义25.6分）
（2025密云26.6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，延长BC至D，BC=CD，过C作CE⊥AD交AD于点E.
（1）求证：CE是⊙O 的切线；
（2）连接 BE，若∠ECD=30°,DE=1 ,求BE长.
（2025密云26.6分）
（1）证明:连接OC.
∵AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，
∴∠ACB=90°.
∴AC⊥BD.
∵BC=CD，
∴AB=AD.
∴∠BAC=∠DAC.
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.
∵CE⊥AD于E，
∴∠DAC+∠ACE=90°.
∴∠OCA+∠ACE=90°.
∴∠OCE=90°.
∴OC⊥CE.
∴CE是⊙O的切线.
（2）
解：设AD与⊙O交于点F，连接BF.
∵AB是⊙O直径，F是⊙O上的点，
∴∠AFB=90°.
在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=1，∠ECD=30°，
∴CD=2.
∴CE= .
∵BC=CD，
∴BD=2CD=4.
∴DF=2.
∴EF=1，BF=.
∴BE=.