2024-2025九上数学期末分类汇编试题：几何综合（含答案）

这是一份2024-2025九上数学期末分类汇编试题：几何综合（含答案），共28页。试卷主要包含了【东城】， 证明，【西城】，【海淀】，【丰台】，【石景山】，【大兴】，【顺义】等内容，欢迎下载使用。
27．如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE>DE），将线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF，连接AF.
（1）求证：BE=AF；
（2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M.若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明．
27. (1)证明：在等边△ABC中，
AC＝BC，∠ACB＝60°．
由旋转可知 CE＝CF，∠ECF＝60°．
∴∠BCE＝∠ACF．
在△BDC和△ACF中
∴△BCE≌△ACF(SAS) ．
∴BE＝AF．………………………3分
(2)解：CE=2MF+DE.
证明：在MC上取一点N，使得MN=MF.
∵M为AG的中点，
∴AM=MG.
在△AMF和△GMN中
∴△AMF≌△GMN (AAS)
∴AF＝GN．∠AFM＝∠GNM，
由（1）△BCE≌△ACF，
得∠BEC＝∠AFC．
∵∠BED＋∠BEC＝180°，∠GNC＋∠MNG＝180°，
∴∠BED＝∠GNC.
在△BCD中，∠BCD＋∠DBC＋∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝120°－∠BCD，
∵∠NCG＋∠DCF＋∠BCD＝180°，
∴∠NCG＝120°－∠BCD，
∴∠BDE＝∠NCG．
在△BDE和△GCN中,
∴△BDE≌△GCN(AAS) ．
∴DE=CN.
∴CE=CF=FN+CN=2MF+DE………………………7分
28.(1)① C3，60°………………………2分
②0＜b≤………………………5分
(2) AB的最大值是3，AB的最小值是1，………………………7分
2.【西城】
3.【海淀】
27. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，. 将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE.
（1）如图1，当AD=DC=1时，补全图形，并求DE的长；
（2）如图2，取AE的中点F，连接DF，用等式表示线段DF与AC的数量关系，并证明.
27．（本题满分7分）
（1）补全图形如图：
…………………………… 1分
解：如图，过点E作AD的垂线，交AD延长线于点M，
∴∠AME =90°.
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴∠BAE=90°，AB=AE.
∴∠EAM+∠BAD=90°.
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°.
∴∠B+∠BAD=90°.
∴∠B=∠EAM.
又∵∠BDA=∠AME，AB=AE，
∴△BAD≌△AEM.
∴AM=BD，ME=AD.
∵AD+CD=，AD=CD=1，
∴BC=4.
∴BD=BC－CD=3.
∴AM=3，ME=1.
∴MD=AM－AD=2.
∴DE=. ……………………………… 3分
（2）AC =2DF. …………………………………… 4分
证明：如图，过点E作AD的垂线，交AD延长线于点M，在DM上取点N，使DN=AD，连接EN.
由（1）可得AM=BD，ME=AD.
∵F为AE中点，
∴EN=2FD.
∵AD+DC=BC，
∴BD=2AD+CD.
∵AM=2AD+MN，
∴MN=CD.
又∵∠CDA=∠NME=90°，
∴△ADC≌△EMN.
∴AC = EN =2DF. ……………………………… 7分
4.【朝阳】
24．在正方形ABCD中，E为射线AB上一点（不与点A，B重合），将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF，作FG⊥CF交射线AB于点G．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，
①依题意补全图形，并证明∠ADE=∠FEG；
②用等式表示线段AE和EG之间的数量关系，并证明；
（2）已知AB=1，△EFG能否是等腰三角形？若能，直接写出使△EFG是等腰三角形的AE的长度；若不能，说明理由．
备用图
图1
24．（1）①补全的图形如图所示．
…………………1分
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°．……………………………………………2分
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，
∴∠DEF=90°．
∴∠FEG+∠AED=90°．
∴∠ADE=∠FEG．…………………………………………3分
②AE=EG．……………………………………………………4分
证明：如图，作CH∥EF，交AD于点H，交DE于点I，连接EH．
∵CH∥EF，
∴∠DIC=∠DEF=90°．
∴∠IDC+∠DCI=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC．
∴∠ADE+∠IDC=90°．
∴∠ADE=∠DCI．
∴△ADE≌△DCH． ……………………………………5分
∴AE=DH，DE=CH．
∵DE=EF．
∴CH=EF．
∴四边形EHCF是平行四边形．
∴∠EHC+∠HCF=180°．
∵∠CFG=∠CBG=90°，
∴∠EGF=180°-∠BCF=∠BCH+∠EHC=∠DHC+∠EHC=∠DHE．
∴△DEH≌△EFG．
∴DH=EG．
∴AE=EG．………………………………………6分
（2）AE=2． …………………………………………………………………7分
5.【丰台】
27．P是正方形ABCD边BC上一点，连接PD，PA . 将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PF，分别连接CE，BF.
（1）如图1，当点P为BC中点时，直接写出线段CE与线段BF的数量关系；
（2）如图2，当点P为线段BC上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段CE与BF的数量关系，并证明.

图1 图2
27.解：(1)线段CE与线段BF的数量关系：CE=BF.
………………………………………………………………1分
(2)线段CE与线段BF的数量关系：CE=BF.
证明：分别过点E，F作直线BC的垂线，交BC于点M，N.
∴∠M =∠N=90°.
∴在△PME中，∠MPE +∠MEP =90°.
F
N
B
A
P{
D
C
E
M
在△PNF中，∠NPF +∠PFN =90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA =∠PCD =90°，AB=BC=CD.
∴∠PBA =∠N，∠PCD =∠M.
∵将PA绕点P逆时针旋转90°得到PF，
∴PA = PF，∠APF = 90°.
∴∠APB +∠NPF = 90°.
∴∠APB =∠PFN.
∴△APB≌△PFN.
∴AB = PN，PB = FN.
∴BC = PN.
∴BC-PB = PN-PB.
即PC = BN. …………………………………………4分
∵将PD绕点P顺时针旋转90°得到PE，
∴PD = PE，∠DPE = 90°.
∴∠DPC +∠MPE = 90°.
∴∠DPC =∠PEM.
∴△DPC≌△PEM.
∴PC = EM，DC= PM.
∴EM = BN，PM = BC.
∴PM-PC = BC-PC.
即MC = BP.
∴MC = FN.
∴△CME≌△FNB.
∴CE = FB.……………………………………………7分
6.【石景山】
27．如图，等边中，D是AB边上一点，且AD＜BD，点D关于直线AC的对称点为E，连接CD，DE，在直线CD上取一点F，使得∠EFD=60，直线EF与直线BC交于点G．
（1）若，求的度数（用含的代数式表示）；
（2）用等式表示线段AD与BG的数量关系，并证明．

27．（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴
∵，
∴，.
…………………………2分
∴.
…………………………3分
（2）线段AD与BG的数量关系：BG=2AD．
证明：连接AE，CE，延长BA，GE，交于点H．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点D关于直线AC的对称点为E，
…………………………5分
∴AC垂直平分DE．
∴AE=AD，CE=CD.
∴，
∴.
∵，
∴.
又∵AE=AE，
……………6分
∴△AEH≌△AEC．
∴EH =EC，AH=AC=AB．
∵，
∴EH =EC=EG．
∴AE为△HBG的中位线.
…………………………7分
∴BG=2AE=2AD．
7.【通州】
27. 在△ABC中，，AM⊥BC于点M，D是线段BC上的动点（不与点B，C，M重合），将线段DM绕点D顺时针旋转得到线段DE．
（1）如图1，如果点E在线段AC上，求证：ME⊥AC；
（2）如图2，如果D在线段BM上，在射线MB上存在点F满足DF＝DC，连接AE，AF，EF，求证：AE⊥FE .

27. （1）证明：∵线段DM绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴DM＝DE，，
∴，
∵，，
∴，
∴， ………………… 1分
在△MEC中，
∵，
∴，
∴，
即ME⊥AC； ………………… 2分
（2）证明：如图，延长FE到点N，使，连接CN、AN，
∵DF＝CD，
∴DE∥CN，， ………………… 3分
∴，
∴，
∵，
∴， ………………… 4分
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴CM＝BM，
∵DF＝DC，
∴，
∴，
∴， ………………… 5分
∵，
∴DM＝DE，
∴BF＝CN， ………………… 6分
在△ABF和△ACN中
∵
∴△ABF ≌△ACN（SAS），
∴AF＝AN， ………………… 7分
∵EF＝EN，
∴AE⊥FE； ………………… 8分
8.【昌平】
27. （1） ∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠ABC＝∠A＝60°. ………………………………………1分
点D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∠EBF＝30°.
∴DE∥AB.
∴∠EDC＝∠ABC＝60°.
∴∠EDF＝120°.
∵点D关于EF的对称点是G，
∴△EDF≌△EGF.
∴FD＝GF，∠EGF＝∠EDF＝120°.
∴∠BGF＝60°. ………………………………2分
∴∠BFG＝90°.
在Rt△BGF中，tan∠BGF＝.
∴. …………………3分
（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC. …………………4分
又∵E是AC中点，
∴在Rt△ADC中，
ED＝AE＝.
又∵AG＝DG，
∴EG垂直平分AD.
即AD⊥EG且AD⊥BC.
∴GE∥FD. …………………………………………5分
∴∠1＝∠2.
∵点D关于EF的对称点是G，
∴GE＝ED，DM＝MG.
∴△GEM≌△DFM.
∴DF＝EG且GE∥FD.
∴四边形GFDE是平行四边形，且EG＝ED.
∴平行四边形GFDE是菱形. ……………………………………6分
∴DE＝DF.
DF＝.
又∵BF＋DF＝BF＋＝，
即2BF＋AC＝BC. …………………………………7分
9.【大兴】
27.在△ABC中，∠ABC=90°, AB=CB, 将边BC绕点B逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段BP，连接CP，AP，过点B作AP的垂线交AP于点E, 交CP延长线于M, 连接AM.
（1）求∠BMP度数.
（2）用等式表示线段AM，BM，CM之间的数量关系，并证明.

27. 解：（1）由旋转的性质得，BC=BP=BA
∴∠BPC=∠BCP ,∠ABP=∠APB
∵∠PBC=2，
∴∠BPC=（180°-2）=90°-.
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP=90°-2.
∴∠APB=（90°+2）=45°+.
∴∠APM=180°-∠BPC-∠APB.
∴∠APM =180°-（90°-）-（45°+）=45°.
∵BM⊥AP ,
∴∠MEP=90°.
∴∠BMP=45° . .……………………………………2分
（2）用等式表示线段AM，BM，CM之间的数量关系：BM =CM+AM.…3分
过点B作BN⊥BM交MC延长线于点N.
∵∠MBN=90°，∠BMP=45°，
∴∠N=45°.
∴∠BMP=∠N.
∴BM=BN. .……………………………………5分
∵∠ABC=∠MBN=90°, BC=BA.
∴∠ABM+∠MBC=90°，∠CBN+∠MBC=90°.
∴∠ABM =∠CBN.
∴△ABM ≌ △CBN.
∴AM = CN. .……………………………………6分
在Rt△MBN中，∠MBN=90°，
∴BM 2+BN 2=MN 2.
∴2 BM 2=（CM+AM）2……………………………… …7分
即BM =CM+AM.
10.【顺义】
11.【房山】
27．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B，C重合）BD＜CD，连接AD. 点D关于直线AB的对称点为点E，连接DE交AB于点N. 在AD上取一点F，使∠EFD=∠BAC，延长EF交AC于点G.
（1）若∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明.
27.解：（1）
∵等边△ABC，
∴AB=AC=BC，∠BAC＝60°.
∵∠EFD＝∠BAC，
∴∠EFD＝60°.
∴∠AFG＝60°.
∵∠AGE+∠AFG+∠DAC＝180°，∠BAD＝α，
∴∠AGE＝180°-∠AFG-∠DAC.
∴∠AGE＝180°-60°-（60°-α）.
-------------------------------------------------------------2分
∴∠AGE＝60°+α.
CG＝；
理由如下：
在CB上截取CM=BD，连接AM，AE
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴△ABD≌△ACM.
∴AD=AM，BD=CM，∠ADB=∠AMC.
∴∠ADM=∠AMD.
设∠BAD＝α，
∴∠ADM=∠AMD=60°+α.
∴∠DAM=60°-2α.
∵点D与点E关于直线AB对称，
∴，AB⊥DE，∠EAN=∠DAN，AD=AE.
∴∠EAG=60°+ α.
由(1)得，∠AGE＝60°+ α，
∴∠EAG=∠AGE.
∴EA=EG，∠AEG=60°-2α.
∴EG=AE=AM=AD，∠DAM=∠AEG.
-------------------------------------------------------------4分
∴△AEG≌△DAM.
∴AG=DM.
∵AC=BC，
∴AC-AG=BC-DM.
即CG=BD+CM=2BD.
在Rt△BND中，，
∴.
-------------------------------------------------------------7分
即CG＝
12.【密云】
27.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线CB上（不与B、C重合），过点D作DE⊥BC交直线AB于点E，连接AD，EC.
（1）如图1，DC=3BD，设BD=m，求EC，AD长（用含m的代数式表示） .

图1
（2）如图2，点D在CB延长线上，用等式表示线段EC与AD的数量关系，并证明.

图2
27.（1）解：
∵ED⊥BD，∠EBD=45°，
∴∠BED=45°.
∴DE=DB.
∵DC=3BD，BD=m，
∴DE=m，DC=3m.
在Rt△EDC中， .
设BC中点为O，连接AO.
∵AB=AC，∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∴AO=BO.
∵BD=m,CD=3m,
∴BC=4m.
∴AO=OB=2m.
∴OD=m.
∴.
（2）.
证明：将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接CF，DF.
∵∠ABC=90°，∠DAF=90°，
∴∠BAC=∠DAF.
∵∠DAF=∠DAB+∠BAF,∠BAC=∠BAF+∠FAC,
∴∠DAB=∠FAC.
在△DAB和△FAC中，
∴△DAB≌△FAC.
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.
∵∠ABC=45°,
∴∠ABD=135°.
∴∠ACF=135°.
∵∠ACB=45°，
∴∠DCF=90°.
∵BD=DE，
∴DE=CF.
∵∠CDE=90°,
∴∠CDE=∠DCF.
在△CDE和△DCF中，
∴△CDE≌△DCF.
∴DF=CE.
在Rt△DAF中，
AD=AF，∠DAF=90°，
∴ .
∴.
13.【平谷】
Rt△ABC中，∠ACB=90°∠B=α，点D是AB边中点，点E是BC边上一点（不与点B、点C重合），连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接EF、AF.
如图1，若α=30°，点F刚好落在BC边上，BE=1，则AF= ，AC= ；
判断AF、BE和BC的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明.
27.解：（1）AF=2，AC=
（2）BE+AF=
证明：连接
在△ABC中，∵∠ACB=90°，D为AB边中点
∴CD=AD=
∵∠B=α°
∴∠ADC=2α°
∵∠EDF=2α°
∴∠ADF=∠CDE
在△ADF和△CDE中，

∴△ADF≌△CDE(SAS). ………………………………………………………………6
∴AF=
∴BC=BE+AF
图3证明过程类似给分.
14.【门头沟】
27．已知，如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
① 依题意补全图1；
② 求∠AED的度数；
③ 求证：．
（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE，直接用等式表示线段AE，CE，BD间的数量关系．（不用证明）
（本小题满分7分）
（1）① 依题意补全图形1，如图：
……………………………2分
② 解：∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°．
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠EAC = 30°．
由旋转可知：AD = AC，∠CAD = 90°．
∴ AB = AD，∠BAD = 150°．
∴ ∠ABD =∠D = 15°．
∴ ∠AED = ∠ABD+∠BAE = 45°．……………………………………4分
③ 证明：如图，过点A作AF⊥AE，交ED的延长线于点F．
∴ ∠EAF = 90°．
又∵ ∠AED = 45°，
∴ △AEF为等腰直角三角形．
∴ AE = AF ，∠AEF =∠AFE = 45°．
∴ EF =AE ．
由旋转可知：AD = AC = AB，∠CAD = 90°．
∴ ∠CAD =∠EAF = 90°．
∴ ∠1 = ∠2 .
∴ △AEC ≌ △AFD．
∴ CE = FD ．
又∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠1 = ∠3 .
∴ ∠2 = ∠3 .
∴ △AEB ≌ △AFD．
∴ BE = FD ．
∴ BE = FD = EC ．
又∵ BD = BE + EF + FD，
∴ BD =AE +2EC .………………………………… 6分
（2）∴ BD =AE - 2CE．…………………………………………………… 7分
15.【燕山】
27． △ABC是等边三角形，点D是射线BC边上一点(不与B、C重合)，∠ADE＝60°，AD=DE，连接CE.
(１) 如图1，点D是线段BC上一点(不与B、C重合)，判断CE与AB的位置关系，并证明 ；过D过DG⊥AB，垂足为G. 直接写出DG，AG与DC之间的数量关系．
(２)如图，点D是线段BC延长线上一点，过D过DG⊥AB，垂足为G. 用等式表示 DG，AG与DC之间的数量关系，并证明．
图1 图2
图1
图2