2025高考数学二轮复习-微培优1 函数图象的公切线问题【课件】

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求解公切线问题一般思路:曲线的公切线问题,主要利用导数的几何意义进行解决,关键是抓住切线的斜率进行转化.主要应用在求公切线方程,切线有关的参数.常用到以下三个基本关系:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.具体做法一:设公切线在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=
具体做法二:设曲线C1:y=f(x)在点P1(x1,f(x1))处的切线为l1:y-f(x1)=f'(x1) (x-x1),整理可得y=f'(x1)·x-f'(x1)·x1+f(x1).设曲线C2:y=g(x)在点P2(x2,g(x2))处的切线为l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得y=g'(x2)·x-g'(x2)·x2+g(x2),由于l1,l2是相同的直线,从而求出公切线方程,公切线的条数等价于该方程组的解的个数.需要注意,做法一直接利用斜率公式,因此不包含P1与P2重合的情况,做法二包含了P1与P2重合的情况,求解时要根据题意灵活选用.
角度一 求两曲线的公切线方程
(2)(2024·四川绵阳高三模拟)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+1,则f(x)与g(x)的公切线的方程为　 . 
y=ex-1或y=x
角度二 求与公切线有关的参数值或范围问题
例2(2024·新高考Ⅰ,13)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　. 
解析 由y=ex+x,得y'=ex+1.当x=0时,y'=2.∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直线y=2x+1是曲线y=ln(x+1)+a的切线.
例3(2022·全国甲,文20)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.
解 (1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.当x1=-1时,f(-1)=0,故y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2.又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由Δ=4-4(a-2)=0,得a=3.
角度三 求公切线条数问题
例4(2024·广西南宁一模(1)问)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x,若直线l与函数f(x)和g(x)的图象均相切,试讨论直线l的条数.
令t(x)=-xex+1,则t'(x)=-(x+1)ex,当x>-1时,t'(x)0,t(x)=h'(x)单调递增,又当x0,t(1)=1-e0,又h(2)=3-e2