新高考数学二轮复习课件 专题突破 专题1　微重点4　函数的公切线问题

这是一份新高考数学二轮复习课件 专题突破 专题1　微重点4　函数的公切线问题，共57页。PPT课件主要包含了求两函数的公切线，考点一，y＝ex－1或y＝x，规律方法，考点二，判断公切线条数，考点三，∴直线l的方程为，消去x2得，求参数的取值范围等内容，欢迎下载使用。

　　导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.
(2022·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公共切线，则l的方程为________________.
设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)，
整理得(a－1)(ea－1)＝0，解得a＝1或a＝0，当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；当a＝0时，l的方程为y＝x.
求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
已知函数f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝___，该切线方程为______________.
1　 2x－y－3＝0
设函数f(x)＝x2－2m与g(x)＝3ln x－x的公共点为(x0，y0)，
解得x0＝m＝1，∴f′(x0)＝2，f(x0)＝－1，切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.
与公切线有关的求值问题
(2022·河南省百校大联考)已知f(x)＝ ＋ln x与g(x)＝2x－x3＋c的图象有一条公切线，则c＝______.
利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程.
y＝x3的导函数为y′＝3x2，y＝x2－x＋a的导函数为y′＝2x－1，
(2022·湖北省新高考联考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是 A.2 B.1 C.0 D.－2
(2022·菏泽质检)若直线l与曲线y＝ex和y＝ln x都相切，则满足条件的直线l有 A.0条 B.1条C.2条 D.无数条
设直线l与曲线y＝ex相切于点(x1， )，y′＝ex，
设直线l与曲线y＝ln x相切于点(x2，ln x2)，
令φ(x)＝xex－ex－x－1，x∈R，φ′(x)＝xex－1，令g(x)＝xex－1，x∈R.则g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，∵φ′(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
又当x<0时，φ′(x)<0，且φ′(0)<0，φ′(1)＝e－1>0，∃x0∈(0,1)，使φ′(x)＝0，即　 ＝1，∴当x∈(－∞，x0)时，φ′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
∴函数φ(x)有2个零点，即y＝ex与y＝ln x有2条公切线.
运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.
若a> ，则函数y＝ax2与y＝ln x的公切线有 A.0条 B.1条C.2条 D.无数条
设切线与曲线y＝ln x相切于点(t，ln t)，
所以曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为
令g(t)＝t2－t2ln t，其中t>0，则g′(t)＝2t－(2tln t＋t)＝t(1－2ln t).
且当00；当t>e时，g(t)<0，函数g(t)的图象如图所示，
则函数y＝ax2与y＝ln x有两条公切线.
若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ (a>0)存在公切线，则实数a的取值范围为___________.
y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，
利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.
　 若函数f(x)＝4ln x＋1与函数g(x)＝ax2－2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为
函数φ(t)在 上单调递增，当00，即h′(t)>0，此时函数h(t)单调递增，
所以h(t)min＝h(1)＝3，且当t→0＋时，h(t)→＋∞，所以函数h(t)的值域为[3，＋∞)，故a≥3.
2.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于 A.0 B.－1C.3 D.－1或3
设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)，由f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝1＋ln x，可得切线的斜率为1＋ln m，则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)，将A(0，－1)代入切线方程可得－1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，
由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或3.
3.(2022·邢台模拟)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于 A.－2 B.－1 C.1 D.2
由f(x)＝ex，g(x)＝ln x，
曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为
所以 (1－x1)＝－1＋ln x2，
4.(2022·青岛质检)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“自重合”函数.下列函数中是“自重合”函数的为 A.y＝ln x＋x B.y＝ex＋1C.y＝x3 D.y＝x－cs x
若曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，首先要保证这两点处导数相同.
若切线重合，则x0＝0，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；D选项中，y′＝1＋sin x，令y′＝1＋sin x＝1得x＝kπ(k∈Z)，则有点(0，－1)，(2π，2π－1)，切线均为y＝x－1，所以存在不同的两点使得切线重合，故D正确.
5.(多选)(2022·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，则 A.m＝－2 B.m＝－1C.n＝6 D.n＝7
设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)相切于点(b，3b＋m)，对于函数y＝x3(x>0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a>0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6(x>0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b>0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b>0，所以b＝2，n＝7.
6.(多选)(2022·南京模拟)若二次函数f(x)＝2x2＋3的图象与曲线C：g(x)＝aex＋3(a>0)存在公切线，则实数a的可能取值为
由f(x)＝2x2＋3可得f′(x)＝4x，由g(x)＝aex＋3可得g′(x)＝aex，
与g(x)＝aex＋3的图象相切于点(x2， ＋3)，
可得x1＝0或2x2＝x1＋2，
因为4x1＝ ，a>0，则x1>0,2x2＝x1＋2>2，即x2>1，
由h′(x)>0得12，所以h(x)在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
7.(2022·重庆质检)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则g′(2)＝________.
由题知f(0)＝0，∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，即y＝f′(0)x，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，∴g(x)在(1,2)处的切线方程为y＝g′(1)x－g′(1)＋2，又两条切线重合，
∴f′(0)＝g′(1)＝2，又∵g(1)＝f(1)＝2，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，∴f′(1)＝0，
∴f(x)＝－2x3＋2x2＋2x，f′(x)＝－6x2＋4x＋2，∴g′(2)＝f(2)＋2f′(2)＝－32.
8.(2022·湖北新高考联考协作体联考)已知f(x)＝ x2－2ax，g(x)＝3a2ln x－b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点的切线相同，则b的最小值为______，曲线y＝f(x)，y＝g(x)这样的公共切线有___条.
设两曲线的公切点为(x0，y0)，由题意得，
解得x0＝3a或x0＝－a(舍去)，所以曲线y＝f(x)，y＝g(x)只有一条这样的公共切线.
则F′(a)＝6aln 3a＋6a＝6a(ln 3a＋1)，