2025高考数学二轮复习-微培优5 三角形中的特殊线段问题【课件】

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三角形中的特殊线段主要是三角形中一边的中线、角的平分线以及高线,在考查过程中主要涉及长度的计算、范围的计算等.
角度一 三角形中的中线问题
例1(2024·江苏苏州二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)求角A;(2)若a=6,点M为△ABC的重心,且AM=2 ,求△ABC的面积.
角度二 三角形中的角平分线问题
例2(1)(2023·全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC= ,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　　. 
角度三 三角形中的高线问题
例3(2023·新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.(1)求sin A;(2)设AB=5,求AB边上的高.
解 (1)(方法一)由题意知A+B=3C,∵A+B+C=π,
∴2(sin A-cs A)=sin A+cs A.∴sin A=3cs A.
(2)过点C作AB的垂线,垂足为点D,则CD为AB边上的高.
角度四 三角形中其他线段的长度问题
解 (1)∵(a+b+c)(a+b-c)=3,∴3=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且　　　　　. (1)求角C的大小;(2)已知c=7,D是边AB的中点,且CD⊥CB,求CD的长.
解 (1)选条件①.由正弦定理,得b(a+b)=(c+a)(c-a),即a2+b2-c2=-ab.
(2)(方法一)因为D是边AB的中点,所以S△ADC=S△BCD.
(方法二)因为D是边AB的中点,所以S△ADC=S△BCD.
因为∠ADC+∠BDC=π,所以cs∠ADC+cs∠BDC=0.由余弦定理得a2=BD2+CD2-2BD·CDcs∠BDC,b2=AD2+CD2-2AD·CDcs∠ADC.因为D是边AB的中点,所以AD=BD,
(方法四)以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,0),B(a,0).设D(0,d),因为D是边AB的中点,所以A(-a,2d).
(2)在△ABC中,由点D在边AB上,CD为∠ACB的平分线,得S△ABC=S△ACD+S△BCD,
3.(2024·陕西西安三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b(1+cs A)=c(1-cs 2B).(1)证明:b=c;(2)若BC边上的高AD为2,AC边上的中线BE为2 ,求△ABC的面积.(1)证明 因为b(1+cs A)=c(1-cs 2B),则b(1+cs A)=c·2sin2B.由正弦定理得,sin B(1+cs A)=sin C·2sin2B.因为B∈(0,π),sin B≠0,所以1+cs A=2sin Csin B.又因为B+C+A=π,所以1-cs(B+C)=2sin Csin B,所以1-cs Bcs C+sin Csin B=2sin Csin B,所以cs(B-C)=1.因为B-C∈(-π,π),所以B-C=0,所以B=C,即b=c.
4.(2024·天津滨海新区二模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且2b=c+2acs C.(1)求A;
解 (1)由正弦定理,得2sin B=sin C+2sin Acs C.因为sin B=sin(A+C)=sin Acs C+sin Ccs A,所以2sin Ccs A=sin C.因为0