2024~2025学年湖北省老河口市九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省老河口市九年级上学期期中数学试卷（解析版），共17页。
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
故选：D．
2. 关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ）
A. 2B. －2C. 4D. －4
【答案】C
【解析】对于一元二次方程a+bx+c=0，当Δ=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
即16-4k=0，解得：k=4.
考点：一元二次方程根的判别式
3. 关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（ ）
A. 顶点是
B. 图象开口向上
C. 函数有最小值
D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】A
【解析】解：∵二次函数，
∴图象的顶点坐标为，故选项A说法错误，符合题意；
∵，
∴函数的图象开口向上，故选项B说法正确，不符合题意；
∴函数的最小值为，故选项C说法正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，函数的图象开口向上；
∴当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：A．
4. 将抛物线向左平移1个单位长度后得到抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：∵抛物线的顶点为，向左平移1个单位长度，
∴新抛物线的顶点为，
设新抛物线的解析式为，代入得，
故选：C．
5. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意可知旋转角，
所以．
故选：C．
6. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
7. 在一次聚会时，参加聚会的每两人都互相赠送礼物，共赠送礼物20件，设有x人参加聚会，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：每两人都互相赠送礼物，共赠送礼物20件，设有x人参加聚会，
∴，
故选：B ．
8. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即的长度）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：令，则，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
，
故选：D．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转90°得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，为旋转后线段，作轴于点C，作轴于点D，
点的坐标是，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选：B．
10. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，与轴有2个交点，当时，，
∴， 与的函数值相同，
∴，；
综上：只有选项D正确，符合题意；
故选D．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 已知m，n是一元二次方程的两根，则__．
【答案】
【解析】解： m，n是一元二次方程的两根，
，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__．
【答案】
【解析】解：点关于原点的对称点的坐标是：，
故答案为：．
13. 抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是__．
【答案】
【解析】解∶抛物线与x轴有交点，
．
解得，
故答案为∶．
14. 标准大气压下，质量一定的水的体积)与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为__．
【答案】
【解析】解：依题意，当温度为时，水的体积为
故答案为：．
15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，则的长为__．
【答案】5
【解析】延长交于点G，
由旋转知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
解得．
∴．
故答案为：5．
三．解答题：（本大题共9个小题，共75分）
16. 解方程：．
解：∵．
．
∴方程有两个不相等的实数根.
∴．
∴，．
17. 在平面直角坐标系中，．
（1）画出关于原点对称的；
（2）画出绕点A顺时针旋转后得到的．
解：（1）如下图所示；
（2）如下图所示．
18. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率．
解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为．
19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求A，B，C，D四个点的坐标；
（2）若点在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围．
解：（1）当时，，
解得，
所以 ．
当时，，
所以．
因为，
所以．
（2）过点作平行于轴的直线交抛物线与点E，
令，则或，
故点，
点在抛物线上，当时
由图可知，抛物线在直线得下方图像上所有点的横坐标的范围为或，
故答案为：或
20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，；
（2）∵方程的两个实数根分别为α，β，
∴，
∵，
∴
解得，
∵，
∴．
21. 如图，将绕点A逆时针旋转α得到，点B的对应点D落在上，连接CE．
（1）求证：；
（2）若，求AB的长．
解：（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转α得到，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∵，
∴．
∴．
∴．
设，则．
在中，，
∴．
解得x=1（负值舍去）．
∴．
22. 综合与实践
活动名称：销售方案设计
研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系．
材料二：该蔬菜销售单价为14元时，日销售量为2000千克；销售单价为16元时，日销售量为1600千克；
任务一：建立函数模型
（1）设该种蔬菜的日销售利润为W元，分别写出y与x，W与x的函数解析式；
任务二：设计销售方案
（2）该种蔬菜的销售单价定为多少元时，获得的日销售利润最大？
（3）若该蔬菜的日销售利润为6400元，该蔬菜的销售单价应定为多少元？
解：任务一：（1）设日销售量y（千克）与销售单价x（元）的一次函数关系式为y=kx+bk≠0，
∵销售单价为14元时，日销售量为2000千克；销售单价为16元时，日销售量为1600千克；
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为：，
∵成本为每千克12元，销售单价每千克x（元），
∴，
∴；
任务二：（2），
∵，
∴当时，W取最大值，
答：该种蔬菜的销售单价定为18元时，获得的日销售利润最大；
（3）根据题意，得，
解得，，
答：蔬菜的销售单价应定为16元或20元．
23. 在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点P．
（1）如图1，当点P落线段上时，求证：；
（2）如图2，当C的对应点E落在上时，连接．若求的周长．
（3）如图3，当点P落在的延长线上，且时，连接，判断线段与的数量关系并说明理由．
解：（1）证明：连接．
∵将绕点A旋转得到，
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）解：如图：
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∴．
∴．
即的周长为．
（3）解：，理由如下：由（1）的方法可证， ，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
又∵，
∴．
∴．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点P是抛物线上不与O，B重合的一动点，点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在x轴下方的抛物线上时，若，求m的值；
（3）设线段的长为l．
①求l与m的函数解析式；
②当l随m的增大而增大时，写出m的取值范围．
解：（1）把，代入得：
，
解得，，
所以抛物线的解析式为；
（2）∵，轴，
∴x轴垂直平分，即，两点关于x轴对称，
∵点P的横坐标为m，
∴，，
∴，
解得，（不合题意，舍去）．
∴m的值为；
（3）∵点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，
∴，，
∴，
①当点P在y轴左侧的抛物线上时，，
，
当点P在直线下方的抛物线上时，，
，
当点P在点B右侧的抛物线上时，，
，
综上所述，当或时，；当时，；
②函数大致图象如下：
∴当l随m的增大而增大时，或．