湖北省十堰市郧西县2024-2025学年九年级上学期期中 数学试卷（解析版）

这是一份湖北省十堰市郧西县2024-2025学年九年级上学期期中 数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、能找到一点（图形正中心），使该图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、找不到一点，使该图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、找不到一点，使该图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、找不到一点，使该图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：A．
2. 方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】D
【解析】解：，
，
，
或，
，
故选：D．
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：二次函数的顶点坐标是，
故选：B．
4. 如图，一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（ ）

A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】解：∵将一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，
∴与是对应边，
∴旋转角．
故选：D．
5. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x＋3）2，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x＋3）2＋2．
故选：A．
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】解：，
所以方程无实数根．
故选：C．
7. 关于二次函数．下列说法错误的是（ ）
A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 时，的值随值的增大而增大D. 当时，函数有最小值为5
【答案】C
【解析】解：A、当时，，即图像与轴的交点坐标为，则此项正确，不符合题意；
B、二次函数的对称轴为直线，则图像的对称轴在轴的右侧，此项正确，不符合题意；
C、∵二次函数的对称轴为直线，
∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大，
则此项错误，符合题意；
D、∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴当时，函数有最小值为5，则此项正确，不符合题意；
故选：C．
8. 如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”

若设秋千绳索长x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：设秋千的绳索长为尺，则尺
由题意可知：尺，尺，则尺，则尺，
由勾股定理可得：，
则可列方程为：．
故选：D．
10. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】解：①由图可知，图象开口向上，得；当时，；进而推断出，那么①错误，不符合题意．
②由图可知，二次函数与轴有两个交点，故，那么②正确，符合题意．
③由图可知，当时，，那么③错误，不符合题意．
④由图可知，对称轴，结合得，那么④正确，符合题意．
综上：正确的有②④，共2个．
故选：C．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为______．
【答案】
【解析】解：把代入，得：，
解得：；
故答案为：．
12. 若点关于原点的对称点，那么________．
【答案】1
【解析】∵点关于原点的对称点是，
故答案为：1．
13. 已知抛物线．若抛物线与x轴有且只有一个交点，则m的值为 _______．
【答案】17
【解析】解：抛物线与轴有且只有一个交点，
，
解得，
故答案为：17．
14. 在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是_________米．
【答案】10
【解析】解：建立如图所求的平面直角坐标系，
则点的坐标为，顶点为．
设抛物线的表达式为，
点在抛物线上，
，
解得．
抛物线的表达式为，
令，则，
解得或（不合实际，舍去）．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
故选：10．
15. 如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为___，点的坐标为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】解：设直线函数关系式为，
点坐标为，
，
直线为，
，轴，
，
∵，
设直线为，
将代入得，
，
，解得或，
，
，
同理可得 ，
，
∴，，
∴，
故答案为：，．
三、解答题
16. 解方程：．
解：∵，
∴，∴或，
解得．
17. 如图，将绕点A逆时针旋转60°得到，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的度数．
解：（1）证明：由旋转可知：，，
∴是等边三角形．
（2）解：∵等边三角形．，
∴，
由旋转可知：
∴
∵是的外角，
∴．
18. 如图，一农户准备盖一所小型的矩形鸡场，其中一面靠墙，墙足够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进20米，其中新型材料至少购进8米，若鸡场的面积为42平方米，求新型材料的长度？
解：设新型材料x米，则木栅栏米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，得：，．
∵新型材料至少购进8米，
∴，
∴，
答：新型材料的长为14米．
19. 如图，在中，，，，点P从点A沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度运动．P，Q分别从A，B同时出发，当P，Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为 ()．
（1）当t为何值时，的长度等于？
（2）求关于t的函数关系式，计算P，Q出发几秒时，的面积最大？并求出这个最大面积．
解：（1）由题意得∶，，
因为，
所以，
在中，
，
所以，
解得∶或，
答∶当t为0秒或2秒时，的长度等于；
（2）由（1）知∶，，
当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，
有，
解得，
，
关于t的函数关系式为，
，
，
当时，面积最大，最大值为，
即P，Q出发秒时，的面积最大，最大面积为．
20. 如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点．
（1）求B，C，D三点的坐标；
（2）当时，则函数y的取值范围是_________；
（3）平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式．
解：（1）∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得，，
∴B，C，
当时，，
∴
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当，时，
y的最小值出现在顶点处，即，
y的最大值出现在处，即．
故答案为：；
（3）∵，，
∴把A点平移后落到D点的位置，抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，
∴平移后的抛物线的解析式为，即．
21. 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根.
解：（1）证明：∵，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：设方程的两个根分别为，，则
，
∴.
∴.
∴.
故k的值为1，方程的另一个根为.
22. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，经过市场调查，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．设销售单价为x元/千克，每月的销售量为y，每月的销售利润为w元．
（1）分别求出y与x，w与x的函数解析式；
（2）当商店月销售利润为6750元时，求销售单价；
（3）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．
解：（1）由题意可得：，
且，
，
与之间的函数解析式为；
根据题意可得，w与x的函数解析式为：，
整理后得：；
（2）根据题意得：，
整理，得：，
解得：，，
答：当月销售利润为6750元时，售价为55元或85元；
（3），
，
当时，取得最大值，此时，
答：当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润是9000元．
23. 如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
（1）猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，点D等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；
（3）如图3，若是边长为1的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值_________（直接写答案）．
解：（1）解：，理由如下：
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
∵是等边三角形，
，，
，
∴，
；
（2）证明：将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
∵B、D、E三点共线，
，
∵是等边三角形，
，，
，
∴，
，
，
，
平分；
（3）解：连接，
∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是边长为1的等边三角形，
，，
，
∴，
；
∴的周长，
当时，长最小，此时的周长最小，
此时，，
∴的周长的最小值为．
故答案为：．
24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
∴二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得
，
直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴，

交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3），
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-，
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．