2024~2025学年湖北省恩施州巴东县九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省恩施州巴东县九年级上学期期中数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了 一元二次方程的解是， 对于抛物线，下列说法正确的是， 一元二次方程配方后可变形为等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数的图象与二次函数开口方向一致的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】二次函数开口向下，
A．，不确定的符号，
不确定开口方向，故本选项不符合题意；
B．，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．开口向下，故本选项符合题意；
D．开口向上，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”.下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. ，
C. D. 无解
【答案】B
【解析】解：，
，
∴，，
故选：．
4. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排6场比赛．问：共有多少个队伍参加比赛？设共有个队参赛，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为：
，
故选：A．
5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 随的增大而减小
B. 当时，有最大值
C. 经过第一、二、四象限
D. 若点，都在抛物线上，则
【答案】D
【解析】解：、由，可知对称轴为直线，，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故原选项说法错误，不符合题意；
、由，可知对称轴为直线，，
∴当时，有最大值，故原选项说法错误，不符合题意；
、由，可知顶点坐标为，
∵开口向下，
∴经过第三、四象限，故原选项说法错误，不符合题意；
、由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下，
则图象上的点离对称轴越远，则的值越小，
∵，，
∴，
∴，故原选项说法正确，符合题意；
故选：．
6. 如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点顺时针旋转的最小角度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，
，
直线与的夹角，
，
要使，直线绕点顺时针旋转的最小角度为，
故选：B．
7. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，
，
故选：D．
8. 已知，，是二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，
，
故选：C．
9. 如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点的坐标为，点是轴上的定点，将绕点逆时针旋转后，点与点重合，则旋转前点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：已知点的坐标为，
，
绕点逆时针旋转后，点与点重合，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作轴，垂足为，
，
，
即，
，
即，
，
旋转前点的坐标是．
故选：A．
10. 二次函数的图象过点，对称轴是直线，如图所示，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的为（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴的负半轴相交，
∴，，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过点，对称轴是直线，顶点在第四象限，
∴，，（m为实数），
∴，则，故②正确；
（m为实数），故④正确；
∵，
∴，故③错误，
综上，结论正确的是①②④，
故选：B．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则______．
【答案】1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴且，
解得：，
故答案为：．
12. 抛物线的顶点坐标是，且关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴抛物线的最小值为，
∵关于的一元二次方程无实数根，
∴抛物线与直线无交点，
∴，
故答案为：．
13. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】5
【解析】解：∵已知α、β是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
14. 如图，在一次学校运动会上，体育组设计了一个“祥云”会标，“祥云”会标是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称，其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为、，与轴分别相交于点、．已知，，则图案中这段抛物线的函数表达式为______．
【答案】
【解析】连，记与y轴的交点为F，
∵，且半圆关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
∴左侧抛物线的顶点E坐标为，
∴可设左侧抛物线解析式为，
∵，
∴，
将A点代入抛物线解析式得：，
∴图案中这段抛物线的函数表达式为，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在线段上，点的对应点为，连接．则______．
【答案】
【解析】∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，过点E作交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共75分）
16. 按要求解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
解：（1），
，
，
，
则，
所以，，
（2），
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴， ．
17. 为了解决居民停车难的问题，社区利用矩形空地建了一个露天停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度相等的道路．已知阴影部分的面积为，求道路的宽．
解：设道路的宽为x米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）．
答：道路的宽是5米．
18. 如图，中，，将绕点旋转得到，使得点的对应点落在直线上（点不与点重合）．
尺规作图：作出（不写作法，保留作图痕迹）．
解：如图，以为圆心，长度为半径画弧交延长线于点；
分别以为圆心，长度为半径画弧，两弧交；
连接；
∴即为所求．
19. 某“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表：
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中已经画出了函数图象的一部分，请你结合表中的数据画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：______．
（2）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有个实数根时，的取值范围是______．
解：（1）画出函数图像如下：
性质：其图象关于轴对称（答案不唯一）；
（2）①如图，直线与函数的图象有两个交点，
方程有个实数根，
故答案为：；
②如图，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
即关于的方程有个实数根，
故答案为：或．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）若是以为斜边的直角三角形，的长为5，另两边、的长是方程的两个根，求的面积．
解：（1）证明：∵，
，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由题意，得：，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵当时， （不合题意，舍去），
∴，
∴原方程为，
解得：， ，
∴的两直角边的长分别为1，，
∴．
21. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．

（1）以-1,1为对称中心，画出关于该点对称的；
（2）可以看成是______得到：经探究发现，和成中心对称，则对称中心的坐标为______．
解：（1）如图所示，即为所求图形；

（2）如图所示，可以看成是向下平移5个单位长度得到：
连接，的对应点，

∴对称中心的坐标为．
故答案为：向下平移5个单位长度；．
22. 某超市销售一款月饼深受大家的喜爱，超市以每件80元的价格购进该款月饼，以每件120元的价格出售，每日可售出200件，中秋节当天，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该款月饼每降价1元，日销售量就会增加10件，设售价为元，日销售量为件．
（1）直接写出日销售量为（件）与每件售价（元）之间的函数关系式______；
（2）为了让顾客得到更大的实惠，当月饼售价定为多少元时，日销售利润达8750元？
（3）该超市如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
解：（1），
故答案为：；
（2）由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴舍去，
∴，
答：当月饼售价为105元时，日销售利润达8750元．
（3）设日销售利润为W元，
由题意得：
，
∵，
∴当时，（元），
答：每件售价为110元时，可使日销售利润最大，最大利润9000元.
23. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求值．
解：（1），
，，，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
直角三角形，且，
；
故答案为：；
（2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得， ，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
（3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
在中，，，
，
，
绕点B顺时针方向旋转，
，，
，
，
绕点B顺时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
C，O，，四点共线，
在中， ，
．
24. 如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为．
（1）直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将点代入抛物线中，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点D坐标为；
（2）令，
解得，，
∴B4,0，
∵P横坐标为且，
∴，
∴将代入，
∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为；
①如右图所示，当点P在x轴上方时，
则，即，
此时：，
解得：，符合题意；
②如右图所示，当点P在x轴下方时，
则，即，
此时：，
解得：，（舍去），
③当点P在x轴上时，
则，即，
此时：（或），解得：（舍去），
综上所述，或；
（3）存在点P，使，点P的坐标为，
理由如下：
如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
将B4,0代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
由，
解得：，（舍去），
∴．
…
…
…
…