【高考数学】二轮优化提优专题训练：专题15 直线与圆

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1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
2、（2023年全国乙卷数学（文））已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】（中任意一个皆可以）
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）（多选题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
5、（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A． 1B． C． D． 2
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．
6、（2020·新课标Ⅰ文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A． 1B． 2
C． 3D． 4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为．
7、（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，∴圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，
∴圆心到直线的距离为．故选B．
8、（2020全国Ⅰ理11】已知⊙，直线，为上的动点，过点作⊙的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，∴直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
∴，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
∴以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程，故选D．
9、【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．
【答案】(x−1)2+(y+1)2=5
【解析】：∵点M在直线2x+y−1=0上，
∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴(a−3)2+(1−2a)2=a2+(−2a)2=R，
a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,−1)，R=5，
⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x−1)2+(y+1)2=5
10、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】x−22+y−32=13或x−22+y−12=5或x−432+y−732=659或x−852+y−12=16925；
【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
若过0,0，4,0，−1,1，则F=016+4D+F=01+1−D+E+F=0，解得F=0D=−4E=−6，
所以圆的方程为x2+y2−4x−6y=0，即x−22+y−32=13；
若过0,0，4,0，4,2，则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=−4E=−2，
所以圆的方程为x2+y2−4x−2y=0，即x−22+y−12=5；
若过0,0，4,2，−1,1，则F=01+1−D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=−83E=−143，
所以圆的方程为x2+y2−83x−143y=0，即x−432+y−732=659；
若过−1,1，4,0，4,2，则1+1−D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=−165D=−165E=−2，
所以圆的方程为x2+y2−165x−2y−165=0，即x−852+y−12=16925；
故答案为：x−22+y−32=13或x−22+y−12=5或x−432+y−732=659或x−852+y−12=16925；
11、【2022年新高考1卷】写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程________________．
【答案】y=−34x+54或y=724x−2524或x=−1
【解析】圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1，圆(x−3)2+(y−4)2=16的圆心O1为(3,4)，半径为4，
两圆圆心距为32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为kOO1=43，所以kl=−34，设方程为y=−34x+t(t>0)
O到l的距离d=|t|1+916=1，解得t=54，所以l的方程为y=−34x+54，
当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k