【高考数学】二轮优化提优专题训练：专题20 数列中常见的求和问题

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1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
【答案】 (1). 5 (2).
【解析】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：
，
因此，.
故答案为：；.
2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
3、（2023年全国甲卷数学（理））已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，
4、【2021年新高考1卷】已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
题组一、利用周期性（规律性求和）
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）记表示不超过实数的最大整数，记，则的值为（ ）
A．5479B．5485C．5475D．5482
【答案】B
【解析】由题意可知，当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
故选：B
1-2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前n项和为，则（ ）
A．4950B．4953C．4956D．4959
【答案】C
【解析】由，可得，
根据累加法可得
所以，
故，当时，；当时，；当时，；当时，，
因此.
故选：C.
题组二、裂项相消求和
2-1、（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.
【答案】
【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列的前n项和为，，，当时，，
两式相减得：，即，而，解得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
，
所以.
故答案为：.
2-2、（2023·江苏泰州·统考一模）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
【答案】(1)选①②，①③或②③均可得(2)
【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式；
（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）若选①②，设公差为，
则，
解得：，
；
选①③，设公差为，
，
解得：，
；
选②③，设公差为，
，
解得：，
；
（2），
.
2-3、（2022·河北张家口·高三期末）已知是数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)当时，由，得，
则.
当时，有，符合上式.
综上，.
(2)由（1）得，，
则
.
题组三、分组求和
3-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且， ，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【分析】方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式；
（2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和.
其余两个方案与方案一的解法相近似.
【详解】解：方案一：
（1）∵数列都是等差数列，且，
，解得
，
综上
（2）由（1）得：
方案二：
（1）∵数列都是等差数列，且，
解得
，
.
综上，
（2）同方案一
方案三：
（1）∵数列都是等差数列，且.
，解得，
，
.
综上，
（2）同方案一
3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据，，得到为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出和公比，求出的通项公式；
（2）在第一问的基础上得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.
【详解】（1），，，
即，，，
故为等差数列，设公差为，
故，，
解得：，，
所以，
设等比数列的公比为，，
因为，成等差数列，所以，
即，与联立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由题意得：为中的整数个数，
故，
所以
.
3-3、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.
(1)求数列的前n项和；
【解析】(1)
解：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，
即，所以数列是以2为公比的等比数列，
又，，所以，解得，所以，，
所以，
所以
，
所以；
题组四、错位相减
4-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列满足，，则__________
【答案】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求数列的通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从而得到结果.
【详解】由得：，
；
设，
则，
，
，
，即，
，，
.
故答案为：.
4-2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【答案】（1）．（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得的通项公式．
（2）数列可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解．
【详解】
（1）由题意得，，故，
所以的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，则
，
，两式相减得
，
所以．
4-3、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
题组五、奇偶项
5-1、（2022·山东烟台·高三期末）已知数列满足，．
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和．
【解析】(1)
依题意，，
而，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，，.
(2)由(1)知，，则有，
又，则，
于是有，
因此，，
所以.
5-2、(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)
(10分)已知等差数列eq {a\s\d(n)}满足eq a\s\d(n)＋a\s\d(n＋1)＝4n，n∈N*．
(1)求eq {a\s\d(n)}的通项公式；
(2)设eq b\s\d(1)＝1，b\s\d(n＋1)＝\B\lc\{(\a\al(a\s\d(n)，n为奇数，,－b\s\d(n)＋2\s\up6(n)，n为偶数，))求数列eq {b\s\d(n)}的前2n项和eq S\s\d(2n)．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得与已知条件两式相减可得求得的值，再由求得的值，利用等差数列的通项公式可得的通项公式；
（2）当为奇数时，，当为偶数时，，再利用分组并项求和以及等比数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，所以，
设等差数列的公差为，则，可得，
当时，，可得，所以.
【小问2详解】
当为奇数时， ，当为偶数时，，
所以

1、（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
2、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的第2021项为
C．数列的前项和
D．数列的前项和
【答案】CD
【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和
【详解】数列各项乘以10再减4得到数列
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；
从而所以故B错误
当时；
当时
0.3.
当时也符合上式，所以故C正确
因为所以当时
当2时，
所以
所以
又当时也满足上式，所以，故D正确.
故选：CD.
3、（2023·江苏南京·校考一模）已知等比数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式.
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将题设条件转化为，从而得到，进而求出公比，由此得解；
（2）利用（1）结论，结合裂项相消求和法即可得解.
【详解】（1）当时,
即,又是等比数列,;
数列的通项公式为:.
（2）由（1）知,,
,
即.
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
(1)求b的值和数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：由题设，显然等比数列的公比不为1，
若的首项、公比分别为、，则，
∴且，所以，
故的通项公式为．
当时，；
（2）解：令，，解得，所以
数列在中的项的个数为，则，所以，
∵，①
∵②
两式相减得∴．
∴
5、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.
（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．
【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为
所以，解得
所以
正项等比数列中，，，设公比为
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：

6、（2023·安徽·统考一模）已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)见解析.
【分析】（1）求出函数的零点，并求出数列的通项，再利用累加法求出的通项；
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）函数的零点为3，8，而数列递增，则，，
因此数列是以5为首项，2为公差的等差数列，则，
当时，
，而也满足上式，
所以数列的通项公式是.
（2）证明：由（1）得，
因此
，而，
所以.