高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案，共5页。
课例编号
2020QJ11SXRA036
学科
数学
年级
高二
学期
第一学期
课题
椭圆应用（1）
教科书
书名：高中数学人教A版选择性必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
姚未然
北京市一七一中学教育集团
指导教师
雷晓莉
东城区教师研修中心
教学目标
（一）教学内容
椭圆标准方程及其简单几何性质的综合运用．
（二）教学目标
1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，解决转化来的数学问题，从而解决关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养．
2.能综合运用椭圆的标准方程及其简单几何性质，讲解相关问题，发展逻辑推理和数学运算素养．
（三）教学重点与难点
重点：利用椭圆标准方程及其简单几何性质解决实际问题
难点：在现实背景下求解椭圆的方程．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3分钟
（一）温故知新
复习巩固所学的椭圆标准方程及其几何性质
设计意图：由复习引入新课的学习，再运用椭圆标准方程及其简单几何性质解决实际问题．
18分钟
（二）例题讲解
引导语：前面我们学习了椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质，这节课我们综合运用它们和坐标法来解决一些现实问题和数学问题．
例1如图6，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，｜F1B｜＝2.8 cm，｜F1F2｜＝4.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1 cm）．
师生活动：学生先独立思考，再同桌讨论交流．如果学生提出通过把点B的坐标代入方程求解，应在肯定其思维合理性的基础上，提醒学生思考有没有更简便的方法．应注意培养学生认真阅读题目的习惯和严谨、认真、不怕运算的习惯．
问题1 如何求解截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1 cm）．
追问1：要求解一个实际问题，我们需要做什么呢？
我们要对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型，最终解决实际问题．
具体到本题，首先我们就需要在图中，以两个焦点所在直线为x轴，两个焦点的中点为原点建立平面直角坐标系；之后，在此基础上将截口BAC所在椭圆的方程设为
（a＞b＞0）．
追问2：要得到一个椭圆的方程，我们需要求解几个未知量呢？
相信同学们不难理解，要想确定一个椭圆的方程，我们只需求解出椭圆的a和b，因此只需要找到关于这两个量的两个方程，联立求解即可．
由椭圆的定义可知，|F1F2|＝2c，所以
c＝2.25．
依题意，解得点B坐标为（-2.25，1.4）．
所以我们可以得到关于a和b的两个方程：
；
．
追问3：理论上我们通过这种方法可以求解出椭圆的方程，但请同学们思考有没有更简便的方法？
通过上面的求解过程，我们都发现了直接代入椭圆标准方程的方法可以求出两个未知量，这体现了数学解题过程中的方程思想，但由于本题是实际问题，数据比较复杂，运算量过大．
我们再观察题目的条件，椭圆上的一点和两个焦点都是已知的，因此可以通过椭圆的定义，直接得到2a，进而求解出椭圆方程．
在Rt△BF1F2中，
|F2B|＝．
由椭圆的性质知，|F1B|＋|F2B|＝2a，所以
a＝ QUOTE 12 （|F1B|＋|F2B|）＝ QUOTE 12 （2.8＋ QUOTE 2.82+4.52 ）≈4.1；
b＝ QUOTE 4.12-2.252 ≈3.4．
所以，所求的椭圆方程为
．
追问4：比较两种求解椭圆方程的方法，我们可以总结出什么经验呢？
首先，我们要肯定第一种方法的价值，体现了方程思想，即明确未知量，根据条件联立方程求解，这是一种通性通法；
其次，在解析几何的求解过程中，不可避免地会遇到比较复杂的计算和化简．一方面我们要通过做题不断磨砺自己的基本功，另一方面，也需要同学们在面对问题时认真阅读题目，挖掘条件的深层含义，合理设计运算路径，优化求解过程．
设计意图：体会椭圆在生产生活中的应用，同时促进学生数学抽象、数学运算和数学建模能力的发展．
例2点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点M的轨迹．
师生活动：先通过学生独立思考、生生讨论、师生交流，明确解题的思路与方法，然后学生独立解决问题．
问题2 求解点M的轨迹．
追问1：M的轨迹是什么呢？
设d是点M到直线：x＝ QUOTE 254 的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合
P＝ QUOTE 45} ．
追问2：这个集合我们该如何求解？
由两点间距离公式和点到直线距离公式，可得
QUOTE ．．．(x-4)2+y2254-x ．
将分式化为整式，可得
QUOTE ．．．(x-4)2+y2254-x ．
并两边同时平方，可得
QUOTE ．．．(x-4)2+y2254-x ．
进一步化简，可得
QUOTE ．．．(x-4)2+y2254-x ．
即
.
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．
3分钟
（三）总结提升
1.请梳理用坐标法和椭圆相关知识研究实际问题一般思路与方法：

2.在解析几何的求解过程中，一方面我们要通不断磨砺计算和化简这些基本功；另一方面，也需要同学们在面对问题时通过挖掘条件的深层含义，合理设计运算路径，优化求解过程．
3分钟
（四）布置作业
1.如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式
+，
那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程．
2.如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆x2+y2=4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
3. 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.