高中数学3.1 椭圆教学设计

这是一份高中数学3.1 椭圆教学设计，共7页。
课例编号
2020QJ11SXRA034
学科
数学
年级
高二
学期
第一学期
课题
椭圆及其标准方程（2）
教科书
书名：普通高中教科书 数学选择性必修第一册 （A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年 5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
许绮菲
北京一七一中学教育集团
指导教师
雷晓莉
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1. 形成和完善椭圆的标准方程的概念，及时巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程，以及之间的关系．
2. 初步尝试使用中间变量法，进一步使用依据曲线上点满足的几何条件列出点的坐标满足的方程，化简所列出的方程两种方法求解动点轨迹方程．
3. 通过求解椭圆标准方程及求动点轨迹方程发展直观想象、数学运算素养．
重点：椭圆的标准方程，以及a，b，c之间的关系，动点轨迹方程的求解方法．
难点：动点轨迹方程的求解方法．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2分钟
18分钟
２
分钟
新课引入
例题讲解
课
堂
小
结
作
业
引导语：上节课我们通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程．
请同学们回顾椭圆上点满足的几何条件．
焦点在x轴上椭圆的标准方程．
问题1：如果椭圆的焦点在y轴上，且的坐标分别为(0,c),(0,-c)，仍然令，那么椭圆的方程又是什么？
追问1：请同学们猜想方程形式是什么，猜想的依据是什么？
追问2：同学们是否有信心独立完成这一推导过程？如何推导？
师生活动：学生先猜想，并讨论猜想成立的依据，由学生课下独立完
成推导过程．
设计意图：形成和完善椭圆的标准方程的概念．
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
焦点坐标为及且经过点；
，．
解：（1）
方法1：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（a＞b＞0）.
由椭圆的定义知c＝1，

所以
所以
所以，所求椭圆的标准方程为
．
方法2：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（a＞b＞0）.
由椭圆的定义知c＝1，
有
解得，，
所求椭圆的标准方程为
．
追问：在方程求解过程中，是否体会到了方程与方程组思想？
由，得
解得，．
当焦点在轴上椭圆的标准方程为
，
当焦点在轴上椭圆的标准方程为
．

例
图1
2 如图1，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
追问1：解析几何视角下可以通过什么方法
确定线段PD的中点M的轨迹？
追问2：求一类轨迹问题的基本思路与方法是什么？
解：设点M的坐标为（x，y）， 点P的坐标为，则点D的坐标为（x0，0）．由点M是线段PD的中点，得
x＝x0，y＝．
因为点P在圆上，所以
． ①
把，代入方程①，得
，
即
QUOTE x24 ．
所以点M的轨迹是椭圆．
寻求点M的坐标（x，y）中与之间的关系，然后消去，得到点M的轨迹方程．这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法．
利用信息技术，可以更方便地探究点M的轨迹的形状.
追问3：由例3我们发现圆与椭圆的联系，圆通过哪些方式可以，得到椭圆. 你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？
师生活动：（1）明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点M的坐标(x,y)所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件．（2）掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法，即通过建立点M与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解．（3）明确圆与椭圆的联系，椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线．
设计意图：增强思维的探究性与挑战性，同时更好地理解椭圆与圆的关系．
图2
例3 如图2，设点A，B的坐标分别为（－5，0），（5，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程．
追问1：回顾椭圆标准方程推导过程，求点M的轨迹方程的方法是什么？
追问2：这个题目我们可以利用点M的什么几何性质求其轨迹方程？
设点M的坐标为（x， y）， 那么直线AM， BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示. 由直线AM， BM的斜率之积是－ QUOTE 49 ，可得出建立x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．
追问3：在求解过程中，是否有特殊点需要关注？
解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－5，0），所以直线AM的斜率
kAM＝ QUOTE yx+5 （x≠－5）．
同理，直线BM的斜率
kBM＝ QUOTE yx-5 （x≠5）．
由已知，有
×＝－ QUOTE 49 （x≠±5），
化简，得点M的轨迹方程为
（x≠±5）．
点 M的轨迹是除去（－5，0），（5，0）两点的椭圆．
追问4：当一个动点与两个定点连线的斜率之积是－1时，动点轨迹是什么？
追问5：一个动点与两个定点连线的斜率之积是一个正常数，那么动点轨迹又是什么？
这两个问题请同学们课下探究．
师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；（2）教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价．
设计意图：深化学生对求曲线的方程的方法、椭圆的几何特征的认识．追问4又一次让学生发现椭圆与圆之间的联系；追问5虽然是学习双曲线才能解决的，但这里的引导可以提升学生发现和提出问题的能力．
问题2：椭圆标准方程有哪些形式？
追问：给出一个椭圆方程，如何区分其焦点在轴或轴？
问题3：这节课我们用到了哪些求解动点轨迹方程的方法？
１. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a＝4，c＝ QUOTE 15 ，焦点在y轴上；
（2）a＋b＝10，c＝2 QUOTE 5 ．
２. 经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A， B两点，F1是椭圆的左焦点．
（1） 求△AF1B的周长；
（2） 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？