初中数学北师大版（2024）八年级下册1 平行四边形的性质达标测试

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册1 平行四边形的性质达标测试，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BO=DOB．S△COD=S△AODC．∠BAD=∠BCDD．AC=BD
2．如图，在平行四边形中，为的中点，若，则，的夹角度数是（ ）
A．90°B．95°C．85°D．100°
3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝ODB．AB＝BCC．AC⊥BDD．∠ABD＝∠CBD
4．如图，的对角线AC，BD交于点O，EF和GH过点O，且点E，H在边DC上，点G，F在边AB上，若的面积为10，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．4C．3D．
5．已知▱的对角线，的长分别为，，则长的范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平行四边形中，为边延长线上一点，连接．若平行四边形的面积为12，则的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．如图，在▱ABCD中，BC＝5，DC＝3，若∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长度为（ ）
A．3B．5C．8D．2
8．如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点E，、交于点G．要使，那么平行四边形应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，平分交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，、是平行四边形的对角线，与交于点O，，，， 则的周长（ ）

A．7.5B．12C．6D．无法确定
11．如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
12．若从平行四边形的一个锐角顶点引两边的垂线,两垂线夹角为135°,则此四边形的四个角分别是( )
A．45°,135°,45°,135°
B．50°,130°,50°,130°
C．35°,35°,135°,135°
D．50°,135°,50°,135°
二、填空题
13．如图，P是平行四边形ABCD对角线AC上的点，且满足PB=PC=CD，若∠PCB=20°，则∠D的度数是 ．
14．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF．若∠A＝45°，AD＝，AB＝8，则AE的长为 ．
15．已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A= ，∠C= ，∠D= .
16．面积为1的平行四边形的边和被分为等份，边和被分为等份，按如图所示的方式连接分点，则图中形成的小平行四边形的面积 ．
17．在中，，则 ．
三、解答题
18．已知：P（a-2b）．
(1)化简P；
(2)如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BE＝a，ABb，若△ABE的周长为，求P的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A3,2，，．
(1)画出将向左平移4个单位后得到的图形；
(2)画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状；
(3)在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
20．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
21．综合与实践
综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示：
【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P．
【观察发现】
（1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______．
【类比探究】
（2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，请直接写出线段的长．

22．仅有无刻度的直尺作图，保留作图痕迹（过程）用虚线表示：

(1)直接写出的长为______；
(2)找到格点，画出以点为顶点且周长最小的平行四边形；
(3)画的角平分线；
(4)直接写出的面积是______．
23．如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，，当时，求的面积．
24．已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
《6.1平行四边形的性质》参考答案
1．D
【分析】根据平行四边形的性质即可判定．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，DO=BO，∠BAD=∠BCD，故A、C正确，
∴S△COD=S△AOD，故B正确，
∵平行四边形对角线不一定相等，
∴D错误，
故选：D．
2．A
【分析】利用已知得到DM=AD，∠DAB+∠CBA=180°，进一步推出∠DAM=∠BAM，同理得到∠ABM=∠CBM，即：∠MAB+∠MBA=90°，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，ADBC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：∠MAB+∠MBA=，
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运用知识进行证明是解此题的关键．
3．A
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
【详解】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
4．D
【分析】根据平行四边形的中心对称性得到S△OEH=S△OFG，推出阴影面积=△OCD的面积即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，EF和GH过点O，
∴△OEH与△OFG关于点O成中心对称，
∴S△OEH=S△OFG，
∴阴影部分的面积=S△OCD=，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，熟记性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据平行四边形的性质可得，然后根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：如图，
∵平行四边形ABCD的对角线，的长分别为，，
∴AO=CO=6，BO=DO=4；
∴2＜AB＜10．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形面积公式，由平行四边形的性质得出和之间的距离相等，设和之间的距离为，则，再表示出的面积即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
和之间的距离相等，
设和之间的距离为，则，
，
，
故选：C．
7．D
【分析】在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD-AE=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等腰三角形是解此题的关键．
8．D
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB＝∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE＝∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB＝AE，同理可得DC＝DF，再由AB＝DC得到AE＝DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF＝DE，当EF＝AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB＝AF＋EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DC＝DF，
∴AE＝DF，
∴AE－EF＝DF－EF，
即AF＝DE，
当EF＝AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，
∴AF＝DE＝（AD－EF）＝1.5x，
∴AE＝AB＝AF＋EF＝2.5x，
∴AB：BC＝2.5：4＝5：8．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．
9．A
【分析】本题考是平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
先证明，再证明，根据求出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
平分交于点F，平分交于点E，
，
，
，
，
故选：A．
10．A
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，故可求，，再求的周长．
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∴的周长．
故选：A．
11．D
【分析】由是平行四边形，得到，，然后由等腰三角形的性质可得，，得到，即可用勾股定理求得的长
【详解】∵在平行四边形中，M是的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键
12．A
【详解】
∵在四边形AECF中，∠CEA=90°，∠CFA=90°，∠ECF=135°，
∴∠A=360°－90°－90°－135°=45°，
∴∠BCA=∠A=45°，∠CBA=∠CDA=180°－45°=135°.
所以此四边形的四个角分别为：45°，135°，45°，135°.
故选A.
点睛：本题关键利用四边形的内角和以及平行四边形的性质解题.
13．
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据平行四边形的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据平行四边形的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
14．
【分析】作CM⊥AB于M，由平行四边形的性质得出BC=AD=，BC∥AD，得出∠CBM=∠A=45°，利用勾股定理求出BM、CM，设AE=CE=，则BE=，EM=，根据勾股定理得出方程，解方程即可求出AE的长．
【详解】作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠M=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=，BC∥AD，
∴∠CBM=∠A=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：，即，
∴BM=CM=4，
由折叠的性质得：AE=CE，
设AE=CE=，则BE=，EM=BE+BM=，
∵，即，
解得：．
即AE．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15． 110° 110° 70°
【详解】解：由平行四边形的性质得：∠A=180°-∠B=110°，∠C=∠A=70°，∠D=180°-∠B=110°．
故答案为110°，110°，70°．
16．
【分析】通过作平行线组成新的平行四边形EFGH，算出平行四边形EFGH有个小平行四边形，多出来部分有个小平行四边形，进而求出平行四边形ABCD中小平行四边形的个数即可求出答案．
【详解】过点A、B、C、D分别作平行线，所作的平行线分别交于E、F、G、H，形成新的平行四边形EFGH，如图所示：
EH、FG是m+1等份，EF、GH是n+1等份，
平行四边形EFGH有小平行四边形：个，
△BEC与△ACD两个三角形拼成一个平行四边形，有小平行四边形m个，
△ABF与△CDH两个三角形拼成一个平行四边形，有小平行四边形n个，
平行四边形ABCD有小平行四边形的总个数，
平行四边形ABCD的面积为1，
单个小平行四边形的面积．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形与面积问题，通过构造新的平行四边形，在减去多出来部分小平行四边形的个数，得出平行四边形ABCD中小平行四边形的个数是解决本题的关键．
17．50°
【分析】利用平行四边形的对角相等，进而求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=50°．
故答案为：50°．
【点睛】考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）原式括号中先通分利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可化简
（2）根据角平分线的性质，平行四边形的性质可证为等腰三角形，即可得到，代入（1）中即可求解
【详解】（1）
（2）四边形为平行四边形
平分
，，的周长为
的周长
【点睛】本题考查了分式的化简，平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是准确的对分式进行化简，运用整体代入得思想进行求值．
19．(1)见解析
(2)画图见解析，四边形是平行四边形
(3)或或
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，中心对称等知识，解题的关键是∶
（1）根据平移规则，确定的位置，再进行连线即可得到；（2）根据成中心对称的性质，画出，然后根据中心对称的性质、平行四边形的判定即可得出结论；（3）分①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线，三种情况讨论，然后利用平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解∶如图， 即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∵将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：设，
①以，为对角线，
则，
解得，
∴；
②以，为对角线，
则，
解得，
∴；
③以，为对角线，
则，
解得，
∴
综上，D的坐标为或或．
20．(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．
（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
21．（1），；（2）成立，证明见解析；（3）或
【分析】（1）根据折叠的性质得到，．由E为的中点，推出，根据三角形内角和定理及平角的定义得到，推出，由四边形是平行四边形，得到，继而证明四边形为平行四边形，即可得出结论．
（2）同理（1）证明即可；
（3）过点A作交CB的延长线于点M，分点F在平行四边形内和点F在平行四边形外；两种情况讨论即可．
【详解】解：（1），，理由如下：
证明：由折叠，可得，．
∵E为的中点，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴．
（2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立．
同理（1）证明即可；
（3）①当点F在平行四边形内时，过点A作交CB的延长线于点M，如解图1所示．

由（2）可知，
∵，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∵，，
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴．
设，则，．
由（2）可得，
∴．
在中，
，即，
解得（负值已舍去）．
由（2），可知，
∴．
②当点F在平行四边形外时，过点A作于点M，如解图2所示．

同理可得．设，则，，
可得，
∴．
在中，
，即，
解得（负值已舍去）．
由（2），可知，
∴．
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质是解题的关键．
22．(1)
(2)画图见解析
(3)画图见解析
(4)
【分析】（1）根据勾股定理可进行求解；
（2）根据勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的性质可进行求解；
（3）根据等腰三角形的性质可进行求解；
（4）根据等积法及割补法可求解三角形的面积．
【详解】（1）解：由图可知：；
故答案为；
（2）由图可知：，，
∴，
∴当以为边构成的平行四边形周长最小；
所作图形如下：
．
（3）的角平分线如图所示；

∴，
取格点，连接，取的中点，然后连接点C与这个中点，则根据等腰三角形的“三线合一”可知平分；
（4）由图可知：

∴；
故答案为9．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．
（1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度；
（3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，，
，
；
（2），
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3），
，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
24．证明见解析．
【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
C
C
D
D
A
A
题号
11
12








答案
D
A