2024-2025学年上海市闵行区高三上册期末数学质量检测试卷（一模）含解析

这是一份2024-2025学年上海市闵行区高三上册期末数学质量检测试卷（一模）含解析，共18页。
2．（4分）不等式2x−1x−1＜0的解集为 ．
3．（4分）直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为 ．（用反三角函数表示）
4．（4分）已知正数a，b满足ab＝1，则1a+1b的最小值为 ．
5．（4分）已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为 ．
6．（4分）(x+1x)8的二项展开式中，x4项的系数为 ．
7．（5分）已知函数y=lg2x，x＞0，f(x)，x＜0为奇函数，则f（﹣8）＝ ．
8．（5分）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ．
9．（5分）已知f（n）＝in+1+in+2+in+3+in+4+in+5（i为虚数单位，n为正整数），当n1、n2取遍所有正整数时，f（n1）+f（n2）的值中不同虚数的个数为 ．
10．（5分）已知F1、F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若AF1→⋅AF2→=0，则AF2→⋅BF2→= ．
11．（5分）如图，某小区内有一块矩形区域ABCD，其中AB＝40米，AD＝20米，点E、F分别为AB、CD的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为A、B，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段EF上，另外两个顶点在线段CD上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数）
12．（5分）已知f（x）＝|sinωx|，若存在x1、x2∈[ωπ，2ωπ]，且x1≠x2，使得1f(x1)+1+1f(x2)+1=1成立，则ω的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．（4分）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
14．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是严格减函数的为（ ）
A．y=x12B．y=1x2+1C．y＝2xD．y＝lg|x|
15．（5分）设f（x）＝（sinx﹣csx）（csx﹣tanx）（tanx﹣sinx），若α、β为同一象限的角，且不存在α、β，使得f（α）f（β）＜0，则α、β所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
16．（5分）已知数列{an}满足an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|，其中λ为常数．对于下述两个命题：
①对于任意的λ＞0，任意的a1∈R，都有{an}是严格增数列；
②对于任意的λ＜0，存在a1∈R，使得{an}是严格减数列．
以下说法正确的为（ ）
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90°，连接A1C，M、E分别为A1C和BC的中点．
（1）证明：直线EM∥平面A1ABB1；
（2）求二面角A1﹣BC﹣A的大小．
18．（14分）已知f（x）=x2−ax，x≥0，x+1x，x＜0.
（1）若a＝1，求函数y＝f（x）的值域；
（2）若存在φ∈（0，π4），使得f（sinφ）＝f（csφ），求实数a的取值范围．
19．（14分）为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：
注：睡眠时长在[8，10]的为睡眠充足，在[6，8）的为睡眠良好，在[4，6）的为睡眠不足．
（1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？
（2）估计该市高三学生日均睡眠时长；
（3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率．
20．（18分）已知圆O：x2+y2＝1，双曲线Γ：x2−y2b2=1，直线l：y＝kx+b，其中k∈R，b＞0．
（1）当b＝2时，求双曲线Γ的离心率；
（2）若l与圆O相切，证明：l与双曲线Γ的左右两支各有一个公共点；
（3）设l与y轴交于点P，与圆O交于点A、B，与双曲线Γ的左右两支分别交于点C、D，四个点从左至右依次为C、A、B、D．当k=22时，是否存在实数b，使得PA→⋅PC→=PB→⋅PD→成立？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
21．（18分）设函数y＝f（x）的定义域为R，集合M＝{x|f（x）＝a，x∈R}．若M中有且仅有一个元素，则称a为函数y＝f（x）的一个“S值”．
（1）设f（x）＝x2﹣2x，求y＝f（x）的S值；
（2）g（x）＝3x4﹣（4k+4）x3+6kx2+1，且0＜k≤1，若y＝g（x）的函数值中不存在S值，求实数k取值的集合；
（3）已知定义域为R的函数y＝h（x）的图像是一条连续曲线，且函数y＝h（x）的所有函数值均为S值，若m＜n，证明：y＝h（x）在[m，n]上为严格增函数的一个充要条件是h（m）＜h（n）．
答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果。
1．（4分）设集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝ {1，2} ．
【分析】结合交集的定义，即可求解．
解：集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x＜3}，
则A∩B＝{1，2}．
故{1，2}．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（4分）不等式2x−1x−1＜0的解集为 {x|12＜x＜1} ．
【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可求解．
解：由2x−1x−1＜0可得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，
解得12＜x＜1．
故{x|12＜x＜1}．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
3．（4分）直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为 arctan3 ．（用反三角函数表示）
【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
解：直线3x﹣y+1＝0的斜率为3，
所以直线的倾斜角为arctan3．
故arctan3．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题．
4．（4分）已知正数a，b满足ab＝1，则1a+1b的最小值为 2 ．
【分析】利用基本不等式即可得出．
解：∵正数a，b满足ab＝1，
∴1a+1b=a+bab=a+b≥2ab=2，当且仅当a＝b＝1时取等号．
∴1a+1b的最小值为2．
故2．
【点评】本题考查基本不等式的性质，属于基础题．
5．（4分）已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为 60π ．
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可．
解：因为圆锥的高为8，底面半径为6，
所以圆锥的母线长为82+62=10，
所以该圆锥的侧面积为π×6×10＝60π．
故60π．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．
6．（4分）(x+1x)8的二项展开式中，x4项的系数为 28 ．
【分析】利用通项公式即可得出．
解：(x+1x)8的二项展开式的通项为C8rx8﹣2r，r＝0，1，2…，8．
令8﹣2r＝4，解得r＝2，
则x4项的系数为C82=28．
故28．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知函数y=lg2x，x＞0，f(x)，x＜0为奇函数，则f（﹣8）＝ ﹣3 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（8）的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．
解：根据题意，函数y=lg2x，x＞0，f(x)，x＜0为奇函数，
则f（8）＝lg28＝3，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣3．
故﹣3．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
8．（5分）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 144 ．
【分析】利用分步乘法计数原理求解．
解：从10名老师中选出3人安排值班，其中甲老师必须参加且不能安排在第一天，
首先，甲老师有2种选择（第二天或第三天），
然后，从剩下的9名老师中选出2人安排在剩余的两天，共有A92=9×8=72种方法，
根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为2×72＝144种．
因此，不同的值班安排方法种数为144．
故144．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
9．（5分）已知f（n）＝in+1+in+2+in+3+in+4+in+5（i为虚数单位，n为正整数），当n1、n2取遍所有正整数时，f（n1）+f（n2）的值中不同虚数的个数为 6 ．
【分析】化简f（n），可得f（n）的所有取值，再由复数的加法运算得答案．
解：∵f（n）＝in+1+in+2+in+3+in+4+in+5
＝in（i+i2+i3+i4+i5）＝in（i﹣1﹣i+1+i）＝in+1，
∴f（n）∈{﹣1，1，﹣i，i}，
当n1、n2取遍所有正整数时，f（n1）+f（n2）＝{﹣2，0，2，﹣2i，2i，﹣1﹣i，﹣1+i，1﹣i，1+i}，
其中不同虚数的个数为6．
故6．
【点评】本题考查虚数单位i的性质，考查复数的代数运算，是中档题．
10．（5分）已知F1、F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若AF1→⋅AF2→=0，则AF2→⋅BF2→= 4 ．
【分析】设A（x，y），则AF1→=(−2−x，−y)，AF2→=(2−x，−y)，由AF1→⋅AF2→=0，然后联立椭圆的方程即可解得：x=0，y=±2，再利用向量的数量积运算即可得解．
解：因为F1、F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，
则F1(−2，0)，F2(2，0)，设A（x，y），
所以AF1→=(−2−x，−y)，AF2→=(2−x，−y)，
因为AF1→⋅AF2→=0，
所以(−2−x)(2−x)+(−y)(−y)=0，
即x2+y2=2，又x24+y22=1，解得：x=0，y=±2，
不妨设A(0，2)，F2(2，0)，
则AF2→⋅BF2→=AF2→⋅(AF2→−AB→)=|AF2→|2−AF2→⋅AB→=|AF2→|2=4．
故4．
【点评】本题考查了椭圆的性质及向量与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
11．（5分）如图，某小区内有一块矩形区域ABCD，其中AB＝40米，AD＝20米，点E、F分别为AB、CD的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为A、B，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段EF上，另外两个顶点在线段CD上，则该游乐区面积的最大值为 137 平方米．（结果保留整数）
【分析】游乐区为△PMQ，当M在EF上移动时，让PQ最大，则△PMQ的面积最大，即PM、QM与圆弧相切，
由对称性，求出Rt△PMF面积的最大值，即可求解，设∠MAE＝θ，θ∈[0，π4），由此求出ME，MF，PD，PF，求解即可．
解：游乐区为△PMQ，当M在EF上移动时，让PQ最大，则△PMQ的面积最大，即PM、QM与圆弧相切，
由对称性知，在Rt△PMF中，设∠MAE＝θ，θ∈[0，π4），
则ME＝20tanθ，MF＝20﹣20tanθ，PD＝20tan（π4−θ），PF＝20﹣20tan（π4−θ），且S△PMQ＝2S△PMF，
S△PMF=12PF•MF=12（20﹣20tanθ）[20﹣20tan（π4−θ）]＝200（1﹣tanθ）（1−tanπ4−tanθ1+tanπ4tanθ）＝400•tanθ(1−tanθ)1+tanθ，
其中θ∈[0，π4），tanθ∈[0，1）；
设1+tanθ＝t，则tanθ＝t﹣1，t∈[1，2）；
则S△PMF＝400•(t−1)(2−t)t=−400（t+2t−3），
因为t+2t∈[22，3），所以t+2t−3∈[22−3，0）；
所以S△PMF的最大值为﹣400（22−3）＝1200﹣8002，
所以△PMQ的最大值为2400﹣（2=3﹣22）≈137，
即该游乐区面积的最大值为137平方米．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
12．（5分）已知f（x）＝|sinωx|，若存在x1、x2∈[ωπ，2ωπ]，且x1≠x2，使得1f(x1)+1+1f(x2)+1=1成立，则ω的取值范围是 [52，62]∪[72，+∞) ．
【分析】化简函数的解析式推出f（x1）＝f（x2）＝1，t＝ωx∈[ω2π，2ω2π]，说明|sint|＝1至少有两个解，通过推理ω的范围，推出结果．
解：f（x）＝|sinωx|，故0≤f（x）≤1，12≤1f(x)+1≤1，1f(x1)+1+1f(x2)+1=1，故f（x1）＝f（x2）＝1，而x∈[ωπ，2ωπ]（ω＞0），t＝ωx∈[ω2π，2ω2π]，故|sint|＝1至少有两个解，
①当ω2≤32时，2ω2≥52⇒52≤ω≤62；
②当32≤ω2≤2时，2ω2≥72⇒72≤ω≤2；
③当ω2≥2⇒ω≥2时，显然成立．
故综上可得ω∈[52，62]∪[72，+∞)．
故[52，62]∪[72，+∞)．
【点评】本题考查正弦函数的图象的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．（4分）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【分析】根据题意，由异面直线的定义和充分必要条件的判断方法分析可得答案．
解：根据题意，若a、b为异面直线，则a、b一定不相交，
反之，若a、b不相交，则a、b为异面直线或a∥b，
故“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线的定义，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
14．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是严格减函数的为（ ）
A．y=x12B．y=1x2+1C．y＝2xD．y＝lg|x|
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x12=x，在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；
对于B，y=1x2+1，设t＝x2+1，则y=1t，
在区间（0，+∞）上，t＝x2+1为增函数，而y=1t在（0，+∞）上为减函数，
则y=1x2+1在区间（0，+∞）上是严格减函数，符合题意；
对于C，y＝2x，是指数函数，在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；
对于D，y＝lg|x|，在（0，+∞）上，y＝lgx，是增函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
15．（5分）设f（x）＝（sinx﹣csx）（csx﹣tanx）（tanx﹣sinx），若α、β为同一象限的角，且不存在α、β，使得f（α）f（β）＜0，则α、β所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由题意，分类讨论，利用三角函数在各个象限的符号即可求解．
解：f（x）＝（sinx﹣csx）（csx﹣tanx）（tanx﹣sinx），
若α、β为同在第一象限，tanx﹣sinx＝|tanx|﹣|sinx|＞0，sinx﹣csx不确定正负，csx﹣tanx不确定正负，则f（x）不确定正负，故错误；
若α、β为同在第二象限，tanx﹣sinx＝﹣|tanx|﹣|sinx|＜0，sinx﹣csx不确定正负，csx﹣tanx不确定正负，则f（x）不确定正负，故错误；
若α、β为同在第三象限，tanx﹣sinx＝|tanx|+|sinx|＞0，sinx﹣csx不确定正负，csx﹣tanx＝﹣|csx|﹣|tanx|＜0，则f（x）不确定正负，故错误；
若α、β为同在第四象限，tanx﹣sinx＝﹣|tanx|+|sinx|＜0，sinx﹣csx＝﹣|sinx|﹣|csx|＜0，csx﹣tanx＝|csx|+|tanx|＞0，则一定有f（x）＞0，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数在各个象限的符号，考查了分类讨论思想，属于中档题．
16．（5分）已知数列{an}满足an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|，其中λ为常数．对于下述两个命题：
①对于任意的λ＞0，任意的a1∈R，都有{an}是严格增数列；
②对于任意的λ＜0，存在a1∈R，使得{an}是严格减数列．
以下说法正确的为（ ）
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
【分析】对于①，分an＞0和an≤0两种情况来证明若λ＞0，则an+1＞an；对于②，可取反例λ＝﹣1，说明此时不论a1取何值均不能使{an}是严格减数列．
解：对于①，当λ＞0时，若an≤0，则an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|＞λ|an﹣1|＝λ（1﹣an）＞0≥an，即an+1＞an，
若an＞0，则an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|＞|an+1|＝an+1＞an，
综上，对于任意的λ＞0，都有an+1＞an，所以{an}是严格增数列，①正确；
对于②，当λ＜0时，取λ＝﹣1，若a1≥1，则a2＝2，a3＝2，不是递减数列，
若a1∈[0，1），则a2＝2a1≥a1，不是递减数列，
若a1≤﹣1，则a2＝﹣2，a3＝﹣2，不是递减数列，
若a1∈（﹣1，0），则a2＝2a1，若a2≤﹣1，则a3＝a4＝﹣2，不是递减数列，若a2∈（﹣1，0），则a3＝2a2，
同样的，对a3进行讨论，一直下去，必存在k∈N，使得ak≤﹣1，则ak+1＝ak+2＝﹣2，矛盾，
综上所述，当λ＝﹣1时，对任意的a1∈R，{an}都不是是严格减数列，因此②错误．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，数列的递推关系式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90°，连接A1C，M、E分别为A1C和BC的中点．
（1）证明：直线EM∥平面A1ABB1；
（2）求二面角A1﹣BC﹣A的大小．
【分析】（1）先证ME∥A1B，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）先证∠A1EA为所求二面角的平面角，再解三角形即可．
解：（1）证明：连接A1B，∵M为A1C中点，E为BC中点，∴ME∥A1B，
又∵A1B⊂平面A1ABB1，ME⊄平面A1ABB1，
∴EM∥平面A1ABB1；
（2）连接AE，∵AB＝AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，又∵AA1⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，
∴∠A1EA即为所求二面角的平面角，
则tan∠A1EA=A1AAE=32=322∴∠A1EA=arctan322，
∴二面角A1﹣BC﹣A的大小为arctan322．
【点评】本题考查线面平行的判定，以及二面角的计算，属于中档题．
18．（14分）已知f（x）=x2−ax，x≥0，x+1x，x＜0.
（1）若a＝1，求函数y＝f（x）的值域；
（2）若存在φ∈（0，π4），使得f（sinφ）＝f（csφ），求实数a的取值范围．
【分析】（1）代入a＝1，可得f（x）的解析式，再结合对勾函数和二次函数的单调性，求值域即可；
（2）分析可得x＝sinφ和x＝csφ关于直线x=a2对称，从而有a＝sinφ+csφ，再结合辅助角公式与正弦函数的性质，求解即可．
解：（1）若a＝1，则f（x）=x2−x，x≥0x+1x，x＜0，
当x＜0时，y＝x+1x在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
所以y≤﹣2；
当x≥0时，y＝x2﹣x在[0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，
所以y≥−14，
综上，函数y＝f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[−14，+∞）．
（2）因为φ∈（0，π4），所以sinφ＞0，csφ＞0，
此时f（x）＝x2﹣ax，是开口向上，对称轴为x=a2的二次函数，
若f（sinφ）＝f（csφ），则x＝sinφ和x＝csφ关于对称轴对称，
即sinφ+csφ＝2×a2=a，
所以a＝sinφ+csφ=2sin（φ+π4），
由φ∈（0，π4），知φ+π4∈（π4，π2），
所以sin（φ+π4）∈（22，1），
所以a=2sin（φ+π4）∈（1，2），
故实数a的取值范围为（1，2）．
【点评】本题考查分段函数的应用，熟练掌握对勾函数和二次函数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（14分）为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：
注：睡眠时长在[8，10]的为睡眠充足，在[6，8）的为睡眠良好，在[4，6）的为睡眠不足．
（1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？
（2）估计该市高三学生日均睡眠时长；
（3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率．
【分析】（1）利用样本估算总体即可；
（2）利用平均数的定义求解；
（3）利用古典概型的概率公式求解．
解：（1）600名样本中睡眠时长大于等于6小时的人数为450人，频率为34，
该市所有高三学生日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为34×66000=49500人；
（2）先求出各区间的中点值分别为：5、7、9，
估计该市所有高三学生日均睡眠时长为150×5+270×7+180×9600=7.1（小时）；
（3）按照分层抽样方法，在睡眠充足中抽取的人数为6人，在睡眠良好中抽取的人数为9 人，在睡眠不足中抽取的人数为5人，
再从这20人中随机抽取4人，可能的情况有C204=4845种，
设A表示事件“这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生”，
A所包含的样本点有C51×C91×C62+C51×C61×C92+C91×C61×C52=2295个，
因此事件A的概率是P（A）=22954845=919．
【点评】本题主要考查了频数分布表的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
20．（18分）已知圆O：x2+y2＝1，双曲线Γ：x2−y2b2=1，直线l：y＝kx+b，其中k∈R，b＞0．
（1）当b＝2时，求双曲线Γ的离心率；
（2）若l与圆O相切，证明：l与双曲线Γ的左右两支各有一个公共点；
（3）设l与y轴交于点P，与圆O交于点A、B，与双曲线Γ的左右两支分别交于点C、D，四个点从左至右依次为C、A、B、D．当k=22时，是否存在实数b，使得PA→⋅PC→=PB→⋅PD→成立？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由双曲线的性质求出a，c即可得解；
（2）因为直线l与圆O相切，可得b2＝k2+1，再联立x2−y2b2=1y=kx+b，可得x2﹣2kbx﹣2b2＝0，Δ＝4k2b2+8b2＞0，两根之积为﹣2b2＜0，由二次方程的两根一正一负即可得证；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）、D（x4，y4），联立x2+y2=1y=kx+b，可得x1+x2=−2kb1+k2x1x2=b2−11+k2，联立x2−y2b2=1y=kx+b，可得x3+x4=2kbb2−k2x3x4=−2b2b2−k2，由PA→⋅PC→=PB→⋅PD→，C、A、B、D四个点在同一直线上，可得x1x2=x4x3，x2x1=x3x4，所以x1x2+x2x1=x4x3+x3x4，即x12+x22x1x2=x32+x42x3x4，然后代入化简得4b4+b2﹣3＝0即可得解．
解：（1）由题可得，a2＝1，b2＝4，
所以c2＝a2+b2＝5，即c=5，
故双曲线Γ的离心率e=ca=5；
（2）证明：因为直线l与圆O相切，
所以|b|k2+1=1，即b2＝k2+1，
联立x2−y2b2=1y=kx+b，化简得（b2﹣k2）x2﹣2kbx﹣2b2＝0，又b2＝k2+1，
即x2﹣2kbx﹣2b2＝0，则Δ＝4k2b2+8b2＞0，
因此有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣2b2＜0，
所以两根一正一负，
即l与双曲线Γ的左右两支各有一个公共点；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）、D（x4，y4），
联立x2+y2=1y=kx+b，化简得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣1＝0，
则Δ1＝4k2b2﹣4（1+k2）（b2﹣1）＞0，即4b2﹣k2＜1，
所以x1+x2=−2kb1+k2x1x2=b2−11+k2，
联立x2−y2b2=1y=kx+b，化简得（b2﹣k2）x2﹣2kbx﹣2b2＝0，
则x3+x4=2kbb2−k2x3x4=−2b2b2−k2，
所以Δ2＝4k2b2+8b2（b2﹣k2）＝4b2（2b2﹣k2）＞0，且分别交于左右两支，
所以2b2−k2＞0b2−k2＞0，
又PA→⋅PC→=PB→⋅PD→，C、A、B、D四个点在同一直线上，
所以|PA→|⋅|PC→|=|PB→|⋅|PD→|，
即|PA||PB|=|PD||PC|，即|x1||x2|=|x4||x3|
所以x1x2=x4x3，还可得x2x1=x3x4，
所以x1x2+x2x1=x4x3+x3x4，即x12+x22x1x2=x32+x42x3x4，
则(x1+x2)2x1x2=(x3+x4)2x3x4，
即(−2kb1+k2)2b2−11+k2=(2kbb2−k2)2−2b2b2−k2，
化简得：2b2k2+1=b2−1k2−b2，又k=22，
代入后化简可得4b4+b2﹣3＝0，
解得：b=±32，由b＞0，得b=32，
经检验，此时l与双曲线Γ的两支分别有交点，
所以b=32为唯一满足条件的实数b．
【点评】本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属于难题．
21．（18分）设函数y＝f（x）的定义域为R，集合M＝{x|f（x）＝a，x∈R}．若M中有且仅有一个元素，则称a为函数y＝f（x）的一个“S值”．
（1）设f（x）＝x2﹣2x，求y＝f（x）的S值；
（2）g（x）＝3x4﹣（4k+4）x3+6kx2+1，且0＜k≤1，若y＝g（x）的函数值中不存在S值，求实数k取值的集合；
（3）已知定义域为R的函数y＝h（x）的图像是一条连续曲线，且函数y＝h（x）的所有函数值均为S值，若m＜n，证明：y＝h（x）在[m，n]上为严格增函数的一个充要条件是h（m）＜h（n）．
【分析】（1）由定义可得方程x2﹣2x＝a有唯一实数解，由Δ＝0即可得解；
（2）对g（x）求导，讨论当0＜k＜1时，利用导数判断函数的单调性，结合题意可得及“S值”的定义可得k的值，当k＝1时，存在“S值”，不符合题意，综合可得答案；
（3）分别从必要性和充分性两方面证明即可．
解：（1）设a为函数y＝f（x）的S值，
则方程x2﹣2x＝a有唯一实数解，即x2﹣2x﹣a＝0有唯一解，
由Δ＝4+4a＝0，可得a＝﹣1，∴y＝f（x）的S值为﹣1；
（2）由题意，g'（x）＝12x3﹣（12k+12）x2+12kx＝12x（x﹣1）（x﹣k），
当0＜k＜1时，函数y＝g（x）在（﹣∞，0]上严格减，在[0，k]上严格增，在[k，1]上严格减，在[1，+∞）上严格增，
若y＝g（x）的函数值中不存在S值，则g（0）＝g（1），即1＝2k，解得k=12．
当k＝1时，函数y＝g（x）在（﹣∞，0]上严格减，在[0，+∞）上严格增，显然g（0）是S值，舍，
因此，实数k的取值集合为{12}．
（3）证明：必要性：∵m＜n，y＝h（x）是[m，n]上的严格增函数，∴h（m）＜h（n）；
充分性：假设y＝h（x）不是区间[m，n]上的严格增函数，
则存在m≤x1＜x2≤n，使得h（x1）≥h（x2），
∵y＝h（x）的所有函数值均为S值，显然h（x1）≠h（x2），∴h（x1）＞h（x2）；
①若x1＝m，∵h（m）＜h（n），即h（x1）＜h（n），又∵h（x1）＞h（x2），
构造函数H（x）＝h（x）﹣h（x1），则H（x2）＜0，H（n）＞0，且函数y＝H（x）的图像是一连续曲线，
由零点存在性定理得：存在x0∈（x2，n）使得H（x0）＝0，即h（x0）＝h（x1），
这与y＝h（x）所有函数值都是S值矛盾．
②若m＜x1＜n，
（i）若h（x1）＝h（m），这与y＝h（x）所有函数值都是S值，矛盾；
（ii）若h（x1）＞h（m）：
a．若h（x2）＞h（m），构造函数H（x）＝h（x）﹣h（x2），
则H（m）＜0，H（x1）＞0且函数y＝H（x）的图像是一条连续曲线，
由零点存在性定理得：存在x0∈（m，x1），使得H（x0）＝0，即h（x0）＝h（x2），
这与y＝h（x）所有函数值都是S值矛盾．
b．若h（x2）＝h（m），这与y＝h（x）所有函数值都是S值矛盾．
c．若h（x2）＜h（m），同理可证矛盾．
（iii）若h（x1）＜h（m），同理可证矛盾．
综上假设不成立，∴y＝h（x）是[m，n]上的严格增函数．
【点评】本题主要考查新定义问题，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
睡眠时长（小时）
[4，6）
[6，8）
[8，10]
人数
150
270
180
题号
13
14
15
16
答案
A
B
D
A
睡眠时长（小时）
[4，6）
[6，8）
[8，10]
人数
150
270
180