2024-2025学年上海市黄浦区高三上册期末数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区高三上册期末数学检测试卷（附解析），共20页。
2．不等式x2﹣3x+2＜0的解集是 ．
3．椭圆x24+y23=1的焦距等于 ．
4．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 ．
5．在(x+1x)6的二项展开式中，常数项是 ．
6．若正数x、y满足x+4y＝1，则xy的最大值为 ．
7．从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为 ．
8．在正四面体ABCD中，点N是△ABC的中心，若DN→=λDA→+μDB→+νBC→（λ、μ、v∈R），则λ+μ+v＝ ．
9．若f（x）＝x3，g(x)=f(x)，x≥0，f(−x)，x＜0，则不等式g（x）＜﹣x的解集为 ．
10．i为虚数单位，若复数z1满足|z1﹣1+i|≤2，复数z2满足|z2|＝|z2+1﹣i|，则|z1﹣z2|的最小值为 ．
11．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，AB＝8cm，BC＝6cm，且AB⊥BC，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）
12．设常数b为整数，数列{an}的通项公式为an=(n+b)2+b2，若am+am+1+am+2（m≥1，m∈Z）的最小值为﹣7，则b＝ ．
二、选择题（本大题共有4题，满分0分．其中第13-14题每题满分0分，第15-16题每题满分0分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．E与FB．F与GC．E与HD．G与H
14．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
15．设0≤x＜2π，满足sin(x+π6)=sinx+sinπ6的x的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
16．设函数y＝f（x）在区间I上有导函数y＝f'（x），且f'（x）＜0在区间I上恒成立，对任意的x∈I，有f（x）∈I．对于各项均不相同的数列{an}，a1∈I，an+1＝f（an），下列结论正确的是（ ）
A．数列{a2n﹣1}与{a2n}均是严格增数列
B．数列{a2n﹣1}与{a2n}均是严格减数列
C．数列{a2n﹣1}与{a2n}中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列
D．数列{a2n﹣1}与{a2n}均既不是严格增数列也不是严格减数列
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．
（1）求证：BC1⊥平面CDE；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
18．已知f（x）＝sinx．
（1）求函数y=f(x)⋅f(π2−x)的最小正周期；
（2）求函数y=f(2x+π3)，x∈[0，π2]的单调减区间．
19．A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．
（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？
（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；
（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）
20．双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过点F1的直线l与Γ右支在x轴上方交于点A．
（1）若a=5，点A的坐标为（3，4），求c的值；
（2）若AF2⊥F1F2，且a，b，c是等比数列，求证：直线l的斜率为定值；
（3）设直线l与Γ左支的交点为B，c＝3，当且仅当a满足什么条件时，存在直线l，使得|AB|＝|AF2|成立．
21．函数y＝f（x）的定义域为D，在D上仅有一个极值点x0，方程f（x）＝0在D上仅有两解，分别为x1、x2，且x1＜x0＜x2．若x1+x22＞x0，则称函数y＝f（x）在D上的极值点左偏移；若x1+x22＜x0，则称函数y＝f（x）在D上的极值点右偏移．
（1）设f（x）＝x2﹣1，D＝R，判断函数y＝f（x）在D上的极值点是否左偏移或右偏移？
（2）设m＞0且m≠1，f（x）＝x3﹣mx2﹣x+m，D＝（0，+∞），求证：函数y＝f（x）在D上的极值点右偏移；
（3）设a∈R，f（x）＝lnx﹣ax，D＝（0，+∞），求证：当0＜a＜e﹣1时，函数y＝f（x）在D上的极值点左偏移．
答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分0分．其中第1～6题每题满分0分，第7～12题每题满分0分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．若集合A＝{1，2}，B＝{1，3}，则A∪B＝ {1，2，3} ．
【分析】进行并集的运算即可．
解：∵A＝{1，2}，B＝{1，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}．
故{1，2，3}．
【点评】本题考查了并集的运算，是基础题．
2．不等式x2﹣3x+2＜0的解集是 （1，2） ．
【分析】原不等式可变形为：（x﹣1）（x﹣2）＜0，结合相应二次函数的图象可求解集
解：原不等式可变形为：（x﹣1）（x﹣2）＜0
结合相应二次函数的图象可得1＜x＜2
故（1，2）
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，体现了二次函数与二次不等式之间的相互联系与转化，属于基础试题
3．椭圆x24+y23=1的焦距等于 2 ．
【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，b=3，运用c=a2−b2，即可得到焦距2c．
解：椭圆x24+y23=1的焦点在x轴上，
且a＝2，b=3，
c=a2−b2=4−3=1，
即2c＝2，
则椭圆的焦距为2．
故2．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，掌握椭圆的a，b，c的关系是解题的关键．
4．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 2π ．
【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得．
解：由圆柱的底面半径与高均为1，
可得圆柱的侧面积为：S＝2πrh＝2π．
故2π．
【点评】本题主要考查圆柱的侧面积，考查计算能力，属于基础题．
5．在(x+1x)6的二项展开式中，常数项是 20 ．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
解：由Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(1x)r=C6r⋅x6−2r．
由6﹣2r＝0，得r＝3．
∴常数项是C63=20．
故20．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
6．若正数x、y满足x+4y＝1，则xy的最大值为 116 ．
【分析】令x＝1﹣4y，再结合二次函数的性质求解即可；
解：因为正数x、y满足x+4y＝1，
所以x＝1﹣4y＞0，
所以0＜y＜14，
所以xy=y(1−4y)=−4y2+y=−4(y−18)2+116，
根据二次函数的性质可知，当y=18时，xy取得最大值为116．
故116．
【点评】本题主要考查了二次函数性质在函数最值求解中的应用，属于基础题．
7．从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为 11 ．
【分析】根据组距即可求解．
解：因为第一组下限为151.5，组距为3，
所以151.5+3×11＝184.5，
故第11组的下限为184.5，
所以组数为11．
故11．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的性质，属于基础题．
8．在正四面体ABCD中，点N是△ABC的中心，若DN→=λDA→+μDB→+νBC→（λ、μ、v∈R），则λ+μ+v＝ 43 ．
【分析】依题意设OA＝a，OB＝b，OC＝c，利用勾股定理即可得到a＝b＝c，设该正四面体的棱长为2，求出点的坐标，结合DN→=λDA→+μDB→+νBC→利用空间向量法计算求解．
解：因为在正四面体ABCD中，AB＝BC＝CA，
所以正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在以O为端点且两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，
设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
由OA，OB，OC两两垂直及勾股定理得：a2+b2＝b2+c2＝c2+a2，
所以a＝b＝c，即OA＝OB＝OC，所以O﹣ABC是正三棱锥，
设该正四面体的棱长为2，则a＝b＝c＝1，
以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以：
A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（1，1，1），
又因为点N是△ABC的中心，且△ABC为正三角形，所以N=(13，13，13)，
所以DN→=(−23，−23，−23)，DA→=(0，−1，−1)，DB→=(−1，0，−1)，BC→=(0，−1，1)，
因为DN→=λDA→+μDB→+νBC→，
所以(−23，−23，−23)=λ(0，−1，−1)+μ(−1，0，−1)+ν(0，−1，1)=（﹣μ，﹣λ﹣v，﹣λ﹣μ+v），
即−23=−μ−23=−λ−ν−23=−λ−μ+ν，解得μ=23ν=13λ=13，
所以λ+μ+ν=23+13+13=43．
故43．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于中档题．
9．若f（x）＝x3，g(x)=f(x)，x≥0，f(−x)，x＜0，则不等式g（x）＜﹣x的解集为 （﹣1，0） ．
【分析】先求出分段函数g（x）的解析式，再求不等式g（x）＜﹣x的解集．
解：x≥0时，g（x）＝x3，
x＜0时，﹣x＞0，g（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3，
∴g(x)=x3，x≥0，−x3，x＜0，
由g（x）＜﹣x得，x≥0x3＜−x，无解，
或x＜0−x3＜−x，的解集为（﹣1，0）
综上，不等式g（x）＜﹣x的解集为（﹣1，0）．
故（﹣1，0）．
【点评】本题考查函数的性质，属于基础题．
10．i为虚数单位，若复数z1满足|z1﹣1+i|≤2，复数z2满足|z2|＝|z2+1﹣i|，则|z1﹣z2|的最小值为 22 ．
【分析】设z1＝a1+b1i，a1，b1∈R，z2＝a2+b2i，a2，b2∈R，由题设易得z1对应的点（a1，b1）的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以r=2为半径的圆面（包括边界）内，z2对应的点（a2，b2）是直线x﹣y+1＝0上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可．
解：设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
则z1﹣1+i＝（a1﹣1）+（b1+1）i，
因为|z1−1+i|≤2，
所以(a1−1)2+(b1+1)2≤2，
即(a1−1)2+(b1+1)2≤2，
所以复数z1对应的点（a1，b1）的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以r=2为半径的圆面（包括边界）内，
因为z2+1﹣i＝a2+b2i+1﹣i＝（a2+1）+（b2﹣1）i，且|z2|＝|z2+1﹣i|，
所以a22+b22=(a2+1)2+(b2−1)2，
整理得a2﹣b2+1＝0，
则复数z2对应的点（a2，b2）是直线x﹣y+1＝0上一点，
又z1﹣z2＝a1+b1i﹣（a2+b2i）＝（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i，
所以|z1−z2|=(a1−a2)2+(b1−b2)2表示点（a1，b1）与点（a2，b2）之间的距离，
由点到直线的距离公式可得，圆心（1，﹣1）到直线x﹣y+1＝0的距离为d=|1+1+1|2=322，
所以|z1﹣z2|的最小值为d−r=322−2=22．
故22．
【点评】本题主要考查复数的有关知识，考查计算能力，属于中档题．
11．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，AB＝8cm，BC＝6cm，且AB⊥BC，则圆心到点B的距离约为 7.3 cm．（结果精确到0.1cm）
【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可．
解：如图所示，
设圆心为D，AC的中点为E，则AD＝13，由题意易知AC=AB2+BC2=10=2AE，
则cs∠DAC=AEAD=513，cs∠BAC=ABAC=45，
所以sin∠DAC=1213，sin∠BAC=35，
所以cs∠BAD＝cs（∠DAC﹣∠BAC）＝cs∠DACcs∠BAC+sin∠DACsin∠BAC=513×45+1213×35=5665，
由余弦定理知BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cs∠BAD＝132+82﹣2×13×8×5665=53.8，
所以BD＝7.3cm．
故7.3．
【点评】本题考查余弦定理的应用及勾股定理的应用，属于中档题．
12．设常数b为整数，数列{an}的通项公式为an=(n+b)2+b2，若am+am+1+am+2（m≥1，m∈Z）的最小值为﹣7，则b＝ ﹣6 ．
【分析】根据对称轴n＝﹣b在数轴上的位置分类讨论，结合二次函数的性质研究最值，进而求解．
解：设常数b为整数，数列{an}的通项公式为an=(n+b)2+b2，知b∈Z，
当﹣b≤1，即b≥﹣1时，根据二次函数的性质可知，数列{an}在[1，+∞）上单调递增，
又am+am+1+am+2（m≥1，m∈Z）的最小值为﹣7，
此时am+am+1+am+2的最小值为a1+a2+a3，故a1+a2+a3＝﹣7，
可得(1+b)2+b2+(2+b)2+b2+(3+b)2+b2=−7，化简得2b2+9b+14＝0，
因为Δ＝92﹣4×2×14＝﹣31＜0，所以方程无解，故﹣b≤1不符合题意；
当﹣b≥2，即b≤﹣2时，根据二次函数的性质可知，
am+am+1+am+2的最小值为a﹣b﹣1+a﹣b+a﹣b+1，故a﹣b﹣1+a﹣b+a﹣b+1＝﹣7，
即(−1)2+b2+b2+12+b2=−7，解得b＝﹣6；
综上所述，b＝﹣6．
故﹣6．
【点评】本题考查数列与函数的综合，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分0分．其中第13-14题每题满分0分，第15-16题每题满分0分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．E与FB．F与GC．E与HD．G与H
【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解．
解：因为事件E和事件F不能同时发生，所以E与F互斥，故A错误，
当朝上面的点数为6时，F与G同时发生，即F与G不是互斥事件，故B正确，
因为事件E和事件H不能同时发生，所以E与H互斥，故C错误，
因为事件G和事件H不能同时发生，所以G与H互斥，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查互斥事件的定义，属于基础题．
14．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据正方体的结构特征判断．
解：两条棱所在直线异面时所成角的度数是90°，
面对角线与棱异面时所成角的度数是45°或90°，
两条面对角线异面时所成角的度数是60°或90°，
体对角线与棱所在直线异面时所成角的度数是arctan2，
体对角线与面对角线异面时所成角的度数是90°，
所以直线AB与CD所成角的大小不可能为30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方体的结构特征，考查了异面直线的夹角，属于基础题．
15．设0≤x＜2π，满足sin(x+π6)=sinx+sinπ6的x的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可．
解：由sin(x+π6)=sinx+sinπ6，
可得3−22sinx+12csx−12=0，
即2−3sin(x−θ)+12=0，其中sinθ=122−3，θ∈(0，π2)，
所以原方程化为sin(x−θ)=−122−3，
不妨令f（x）＝sin（x﹣θ），因为0≤x＜2π，所以x﹣θ∈[﹣θ，2π﹣θ），
易知x＝0时，sin(−θ)=−122−3成立，即x＝0满足题意；
又f（x）＝sin（x﹣θ）的周期为T＝2π，且−122−3∈(−1，0)，
所以在区间[﹣θ，2π﹣θ）上还有一个根，如图所示．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．设函数y＝f（x）在区间I上有导函数y＝f'（x），且f'（x）＜0在区间I上恒成立，对任意的x∈I，有f（x）∈I．对于各项均不相同的数列{an}，a1∈I，an+1＝f（an），下列结论正确的是（ ）
A．数列{a2n﹣1}与{a2n}均是严格增数列
B．数列{a2n﹣1}与{a2n}均是严格减数列
C．数列{a2n﹣1}与{a2n}中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列
D．数列{a2n﹣1}与{a2n}均既不是严格增数列也不是严格减数列
【分析】根据题意，由函数导数与单调性的关系可得f（x）在I上递减，构造a2n+2﹣a2n＝f（a2n+1）﹣f（a2n﹣1），n∈N*，分情况讨论a2n+1和a2n﹣1的大小，进而分析a2n+2和a2n的大小关系，即可得结论．
解：根据题意，由于f'（x）＜0在区间I上恒成立，则f（x）在I上递减，
而a2n+2﹣a2n＝f（a2n+1）﹣f（a2n﹣1），n∈N*，数列{an}各项均不相同，且a1∈I，
若a2n+1＞a2n﹣1，则f（a2n+1）＜f（a2n﹣1），即a2n+2＜a2n，即数列{a2n﹣1}严格递增，数列{a2n}严格递减，
若a2n+1＜a2n﹣1，则f（a2n+1）＞f（a2n﹣1），即a2n+2＞a2n，即数列{a2n﹣1}严格递减，数列{a2n}严格递增，
综上：数列{a2n﹣1}与{a2n}中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列．
故选：C．
【点评】本题考查数列单调性的判断，涉及函数导数的性质和应用，属于难题．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．
（1）求证：BC1⊥平面CDE；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
【分析】（1）连接B1C，结合正方体的性质易得EC⊥BC1，DC⊥BC1，进而求证即可；
（2）过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，易得∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，进而结合直角三角形中正切的定义求解即可．
解：（1）证明：连接B1C，
由题意，E是B1C的中点，且B1C⊥BC1，即EC⊥BC1，
因为DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
可得DC⊥BC1，
又DC∩EC＝C，DC，EC⊂平面CDE，
可得BC1⊥平面CDE，得证；
（2）过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，
由题意，EF⊥平面ABCD，
又DF⊂平面ABCD，
可得以EF⊥DF，
所以∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，
由题意，设CC1＝CB＝CD＝2a，
则EF=12CC1=a，CF=12CB=a，
所以DF=5a，
所以在Rt△DEF，tan∠EDF=EFDF=a5a=55，
故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan55．
【点评】本题考查了线面垂直的判定和性质，考查了正切函数的定义，考查了数形结合思想，属于中档题．
18．已知f（x）＝sinx．
（1）求函数y=f(x)⋅f(π2−x)的最小正周期；
（2）求函数y=f(2x+π3)，x∈[0，π2]的单调减区间．
【分析】（1）先得函数解析式，再利用二倍角公式变形，结合正弦型函数的周期公式求解即可；
（2）由定义域得2x+π3的取值范围，根据正弦函数的单调性列不等式，求解即可．
解：（1）由f（x）＝sinx，得f(π2−x)=sin(π2−x)=csx，
则函数y=f(x)⋅f(π2−x)=sinx⋅csx=12sin2x，
故最小正周期为2π|2|=π．
（2）由f（x）＝sinx，得y=f(2x+π3)=sin(2x+π3)；
由0≤x≤π2，得π3≤2x+π3≤4π3，
令π2≤2x+π3≤4π3，解得π12≤x≤π2；
故单调减区间为[π12，π2]．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．
（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？
（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；
（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）
【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数；
（2）利用古典概型计算公式可得结果；
（3）根据方差定义，利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果．
解：（1）根据题意可知，抽样比为5：1，
所以该校高一学生中男生有34×5＝170名，
女生有32×5＝160名；
（2）从这66名学生中随机抽取两名共有C662种，
两名都是男生的抽法共有C342种，
所以这两名都是男生的概率为P=C342C662=1765．
（3）根据题意可设正确的31个数据为x1，x2，…，x31，
易知i=131 xi+156=32×161，可得i=131 xi=4996，
所以原始数据平均值为132(i=131 xi+165)=161.28125，
由方差定义可得132[i=131 (xi−161)2+(156−161)2]=23.6875，
因此i=131 (xi−161)2=i=131 xi2−2×161i=131 xi+31×1612=733，
可得i=131 xi2=2×161i=131 xi−31×1612+733=805894；
原始数据的方差为132[i=131 (xi−161.28125)2+(165−161.28125)2]
=132[i=131 xi2−2×161.28125i=131 xi+31×161.281252+3.718752]
≈132×746.46875≈23.33，
即原始数据的方差为23.33．
【点评】本题主要考查分层随机抽样，古典概型概率公式，方差的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20．双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过点F1的直线l与Γ右支在x轴上方交于点A．
（1）若a=5，点A的坐标为（3，4），求c的值；
（2）若AF2⊥F1F2，且a，b，c是等比数列，求证：直线l的斜率为定值；
（3）设直线l与Γ左支的交点为B，c＝3，当且仅当a满足什么条件时，存在直线l，使得|AB|＝|AF2|成立．
【分析】（1）由题意，将a值和点坐标代入双曲线方程求出b值，进而可得c值；
（2）设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，结合b2＝ac求出k2=14，进而即可得证；
（3）利用双曲线定义得到|BF1|＝2a，|BF|＝4a，设∠F1BF2＝θ，根据直线l斜率的取值范围，得到csθ的取值范围，利用余弦定理得到关于a的不等式，再进行求解即可．
解：（1）因为a=5，
所以双曲线Γ的方程为x25−y2b2=1，
因为点A（3，4）在双曲线上，
所以95−16b2=1，
解得b2＝20，
则c=a2+b2=5；
（2）证明：设直线l的方程为y＝k（x+c），
联立y=k(x+c)x2a2−y2b2=1，消去y并整理得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2ck2x﹣a2c2k2﹣a2b2＝0，
若AF2⊥F1F2，
此时点A横坐标为c恰是方程（b2﹣a2k2）x2﹣2a2ck2x﹣a2c2k2﹣a2b2＝0的解，
所以（b2﹣a2k2）c2﹣2a2c2k2﹣a2c2k2﹣a2b2＝0，
解得4a2c2k2＝b4，①
因为a，b，c是等比数列，
所以b2＝ac，②
联立①②，
解得k2=14，
因为过点F1的直线l与双曲线右支在x轴上方交于点A，
所以k=12，
则直线l的斜率为定值，定值为12；
（3）因为c＝3，
所以|F1F2|＝6，
若存在直线l，使得|AB|＝|AF2|成立，
设|AB|＝|AF2|＝x，
此时|BF1|＝2a，
因为|BF2|﹣|BF1|＝2a，
所以|BF1|＝4a，
设∠BF1F2＝θ，
易知0＜tanθ＜ba，
则a3＜csθ＜1，
由余弦定理得csθ=4a2+36−16a22⋅2a⋅6=3−a22a，
此时a3＜3−a22a＜1，
因为a＞0，
解得1＜a＜355．
所以当且仅当a∈（1，355）时，存在直线l，使得|AB|＝|AF2|成立．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．
21．函数y＝f（x）的定义域为D，在D上仅有一个极值点x0，方程f（x）＝0在D上仅有两解，分别为x1、x2，且x1＜x0＜x2．若x1+x22＞x0，则称函数y＝f（x）在D上的极值点左偏移；若x1+x22＜x0，则称函数y＝f（x）在D上的极值点右偏移．
（1）设f（x）＝x2﹣1，D＝R，判断函数y＝f（x）在D上的极值点是否左偏移或右偏移？
（2）设m＞0且m≠1，f（x）＝x3﹣mx2﹣x+m，D＝（0，+∞），求证：函数y＝f（x）在D上的极值点右偏移；
（3）设a∈R，f（x）＝lnx﹣ax，D＝（0，+∞），求证：当0＜a＜e﹣1时，函数y＝f（x）在D上的极值点左偏移．
【分析】（1）先求f（x）＝0的根及f（x）＝x2﹣1的极值点，再根据题设定义，即可求解；
（2）先求f（x）＝0的根，对f（x）求导，得到f′（x）＝3x2﹣2mx﹣1，通过计算得到f′(x1+x22)＜0，再利用二次函数的性质，即可求解；
（3）设f（x）＝0的两个零点为x1，x2，根据条件得到0＜x1＜e＜x0=1a＜x2，再构造函数g(x)=f(x)−f(2a−x)=lnx−ax−ln(2a−x)+a(2a−x)，利用函数的单调性，得到f(2a−x1)＞f(x2)，即可求解．
解：（1）由f（x）＝x2﹣1＝0，得到x2＝1，所以x1＝﹣1，x2＝1，
又f′（x）＝2x，由f′（x）＝2x＝0，得到x＝0，
又当x＜0时，f′（x）＝2x＜0，当x＞0时，f′（x）＝2x＞0，
所以f（x）＝x2﹣1只有一个极值点，且极值点为x0＝0，此时x0=x1+x22，
所以函数y＝f（x）在D上的极值点不偏移．
（2）证明：因为f（x）＝x3﹣mx2﹣x+m＝x2（x﹣m）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）（x﹣1）（x+1），m＞0且m≠1，D＝（0，+∞），
由f（x）＝0，得到x1＝1，x2＝m或x1＝m，x2＝1，则x1+x2＝m+1＞0，
又f′（x）＝3x2﹣2mx﹣1，Δ＝4m2+12＞0，则f′（x）＝3x2﹣2mx﹣1＝0有两根，
不妨设为t1，t2，且t1＜t2，又t1+t2=2m3＞0，t1t2=−13＜0，所以t1＜0＜t2，
又x∈（0，t）时，f′（x）＜0，x∈（t2，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数y＝f（x）在D上只有一个极值点x0且x0＝t2，
又f′（x1+x22）＝f（m+12）＝3（m+12）2﹣2m（m+12）﹣1=−14m2+12m−14=−14（m﹣1）2＜0，
所以x1+x22＜t2=x0，故函数y＝f（x）在D上的极值点右偏移．
（3）证明：由题知，f′（x）=1x−a，令f'（x）=1x−a＝0，得到x=1a，
当x∈（0，1a）时，f′（x）＞0，当x∈（1a，+∞）时，f′（x）＜0，所以x=1a是f（x）＝lnx﹣ax的极值点，
且f（x）在区间（0，1a）上单调递增，在区间（1a，+∞）上单调递减，
又f(x0)=f(1a)=ln1a−1＞0，x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→﹣∞，f（e）＝lhe﹣ae＝1﹣ae＞0，
则f（x）＝0有两个零点，不妨设为x1，x2且x1＜x2，所以0＜x1＜e＜x0=1a＜x2，f（x1）＝f（x2），
令g（x）＝f（x）−f(2a−x)=lnx﹣ax﹣ln（2a−x）+a（2a−x）（0＜x＜2a），
则g'（x）=1x−a+12a−x−a=2a(x−1a)2x(2a−x)＞0在x∈（0，2a）恒成立，
所g（x）＝f（x）﹣f（2a−x）在区间（0，2a）上单调递增，
所以g(1a)＞g(x1)，即0＞f(x1)−f(2a−x1)=f(x2)−f(2a−x1)，
故f(2a−x1)＞f(x2)，又2a−x1＞x0=1a，x2＞x0=1a，
故2a−x1＜x2，得到1a＜x1+x22，即x0＜x1+x22，
所以当0＜a＜e﹣1时，函数y＝f（x）在D上的极值点左偏移．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的新定义问题，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
题号
13
14
15
16
答案
B
A
C
C