2024-2025学年上海市普陀区高三上册期末数学检测试卷（一模）附解析

这是一份2024-2025学年上海市普陀区高三上册期末数学检测试卷（一模）附解析，共24页。
1．（4分）设全集U＝{﹣1，0，1，2，4}，若集合A＝{﹣1，2，4}，则A= ．
2．（4分）已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为 ．
3．（4分）设i为虚数单位，若复数z满足z⋅z+z−z=4+2i，则|z|＝ ．
4．（4分）若（x+x2）5＝a0x5+a1x6+a2x7+a3x8+a4x9+a5x10，则a3的值为 ．
5．（4分）设n≥1，m≥1，m、n∈N，等差数列{an}的首项a1＝0，公差d≠0，若am=i=111 ai，则m的值为 ．
6．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝4，sin(A+π3)=0，△ABC的面积为3，则a的值为 ．
7．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若椭圆C的离心率为13，则|F2A||AF1|的值为 ．
8．（5分）若圆锥PO的体积为22π3，它的母线与底面所成的角的余弦值为13，则圆锥PO的表面积为 ．
9．（5分）设λ∈R，在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD=π3，AA1＝2，AB＝AD＝1，点M是棱C1D1的中点，A1N→=λA1D1→，若AM→⋅CN→=2，则λ的值为 ．
10．（5分）设平面上四点P、Q、M、N满足：|PM|＝|PN|＝4，|PQ|＝2，若QM→⋅QN→=0，则|MN|的最小值为 ．
11．（5分）设t∈R，直线l：x+y﹣t＝0与曲线C1：y=14x2（0≤x≤4）和曲线C2：y＝2x12分别交于P，Q两点，则|PQ|的最大值是 ．
12．（5分）设a＞b＞0，函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝|x−1x+lnx|，若f（a）＝f（b），且关于x的方程|x2+ax+2ab|+|x2﹣ax+2ab|＝2a|x|的整数解有且仅有4个，则a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分。
13．（4分）已知α为任意角，则“cs2α=13”是“sinα=33”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（4分）某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（ ）
A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123
B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721
C．这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6
D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差
15．（5分）设a＞0且a≠1，k、m、n都是正整数，数列{an}的通项公式为an=(a−6)n+21(1≤n≤m)an−3(n＞m)，记数列{an}中前k项的最小值为hk，由所有hk的值所组成的集合记为A，若集合A中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ）
A．当m＝3时，a的取值范围是（1，6）
B．不存在a和m的值，使得a4∉A
C．当m＝4时，a的取值范围是（3，6）
D．存在a和m的值，使得a5∈A
16．（5分）在平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图像绕坐标原点O逆时针旋转π4后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数y＝f（x）为“R函数”．对于命题：
①设m∈R，若函数g（x）＝（m﹣1）x+1x为“R函数”，则m＞1；
②设k∈R，若函数h（x）=k(x+1)ex为“R函数”，则满足条件的k的整数值至少有4个．
则下列结论中正确的是（ ）
A．①为真②为真B．①为真②为假
C．①为假②为真D．①为假②为假
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．（14分）如图1所示的平行四边形ABCD中，CA＝CB＝1，CD=2，现将△DAC沿AC折起，得到如图2所示的三棱锥P﹣ABC，记棱PC的中点为M，且PB=3．
（1）求证：AM⊥BC；
（2）记棱AB的中点为E，在直线CE上作出点N，使得PN∥平面MAB，请说明理由，并求出二面角P﹣NB﹣A的大小．
18．（14分）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝sin（ωx），其中ω＞0．
（1）设ω＝1，m∈R，若有且只有一个x0∈（0，m），使得函数y=f(x+π4)取得最小值，求m的取值范围；
（2）若对任意的x∈R，皆有f(x)+f(2π3−x)=0成立，且函数y＝f（x）在区间(−π8，0)上是严格增函数，求函数y＝f（x）的最小正周期．
19．（14分）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目．某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中A、B、C、D四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立．下表统计的是A在近期热身中分别与B、C、D三人比赛的情况．
（1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中A至少获胜一场的概率；
（2）根据表格中的数据，请给B、C、D三人设计一个出场顺序，使得A在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由．
20．（18分）设a＞0，m＞0，F1、F2分别是双曲线Γ：x2a2−y2=1的左、右焦点，直线l：x﹣my﹣2＝0经过点F2与Γ的右支交于A、B两点，点O是坐标原点．
（1）若点M是Γ上的一点，|MF1|＝2，求|MF2|的值；
（2）设λ、μ∈R，点P在直线x＝6上，若点O、A、P、B满足：OA→=λBP→，OB→=μAP→，求点P的坐标；
（3）设AO的延长线与Γ交于G点，若向量OA→与OB→满足：OA→⋅OB→≥17，求△GAB的面积S的取值范围．
21．（18分）设t＞1，n≥1，n∈N，若正项数列{an}满足1tan＜an+1＜an，则称数列{an}具有性质“P（t）”．
（1）设m≥1，m∈N，若数列10，7，m，4，3具有性质“P（2）”，求满足条件的m的值；
（2）设数列{an}的通项公式为an＝（n+1）（t9）n，问是否存在t使得数列{an}具有性质“P（t）”？若存在，求出满足条件的t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝ln（ex﹣1）﹣lnx，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=23，an+1＝f（an），证明：数列{an}具有性质“P（3）”，并比较Sn与1−13n的大小．
答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分。
1．（4分）设全集U＝{﹣1，0，1，2，4}，若集合A＝{﹣1，2，4}，则A= {0，1} ．
【分析】根据集合补集的运算求解．
解：因为全集U＝{﹣1，0，1，2，4}，若集合A＝{﹣1，2，4}，
所以A={0，1}．
故{0，1}．
【点评】本题主要考查了补集的运算，属于基础题．
2．（4分）已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为 x2＝﹣4y ．
【分析】利用抛物线的准线方程，直接求解抛物线方程即可．
解：抛物线的准线方程为y＝1，
则该抛物线的标准方程为：x2＝﹣4y，
故x2＝﹣4y．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
3．（4分）设i为虚数单位，若复数z满足z⋅z+z−z=4+2i，则|z|＝ 2 ．
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入z⋅z+z−z=4+2i，整理后利用复数相等的条件列式求解．
解：设z＝a+bi（a，b∈R），
代入z⋅z+z−z=4+2i，得a2+b2+2bi＝4+2i，
∴a2+b2＝4，可得|z|=a2+b2=4=2．
故2．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数模的求法，是基础题．
4．（4分）若（x+x2）5＝a0x5+a1x6+a2x7+a3x8+a4x9+a5x10，则a3的值为 10 ．
【分析】由（x+x2）5＝x5（1+x）5，利用二项式展开式定理求解即可．
解：因为（x+x2）5＝x5（1+x）5
＝x5（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5）
＝a0x5+a1x6+a2x7+a3x8+a4x9+a5x10，
所以a3＝10．
故10．
【点评】本题考查了二项式定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5．（4分）设n≥1，m≥1，m、n∈N，等差数列{an}的首项a1＝0，公差d≠0，若am=i=111 ai，则m的值为 56 ．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
解：等差数列{an}的首项a1＝0，公差d≠0，
若am=i=111 ai，则0+（m﹣1）d＝11×0+11×102d，
因为d≠0，
所以m﹣1＝55，即m＝56．
故56．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
6．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝4，sin(A+π3)=0，△ABC的面积为3，则a的值为 21 ．
【分析】根据sin(A+π3)=0求出A=2π3，然后利用三角形的面积公式算出c＝1，进而根据余弦定理求出边a的值．
解：因为sin(A+π3)=0，且A∈（0，π），所以A=2π3．
由S△ABC=12bcsinA=3，得12×4c×32=3，解得c＝1．
根据余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccs2π3=16+1−2×4×1×(−12)=21，所以a=21．
故21．
【点评】本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查了计算能力，属于基础题．
7．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若椭圆C的离心率为13，则|F2A||AF1|的值为 2 ．
【分析】利用已知条件列出方程，结合离心率求解即可．
解：椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若椭圆C的离心率为13，
则|F2A||AF1|=a+ca−c=1+e1−e=1+131−13=2．
故2．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的应用，是基础题．
8．（5分）若圆锥PO的体积为22π3，它的母线与底面所成的角的余弦值为13，则圆锥PO的表面积为 4π ．
【分析】设圆锥底面半径AO＝OB＝r，则母线长l＝SA＝3r，高SO＝22r，根据体积求出r，由此能求出结果．
解：设圆锥底面半径AO＝OB＝r，则母线长l＝SA＝3r，高SO＝22r，
则V=13πr2•22r=223π，解得r＝1，l＝SA＝3，SO＝22，
故该圆锥的表面积为S＝πrl+πr2＝4π．
故4π．
【点评】本题考查圆棱的结构特征、圆锥的表面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（5分）设λ∈R，在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD=π3，AA1＝2，AB＝AD＝1，点M是棱C1D1的中点，A1N→=λA1D1→，若AM→⋅CN→=2，则λ的值为 13 ．
【分析】设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→为空间向量一组基底，根据空间向量的线性运算将AM→和CN→用基底表示，再根据AM→⋅CN→=2进行数量积运算即可求得λ的值．
解：设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，
由∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD=π3，AA1＝2，AB＝AD＝1，
可得|a→|=|b→|=1，|c→|=2，a→⋅b→=12，a→⋅c→=b→⋅c→=1，
因为点M是棱C1D1的中点，A1N→=λA1D1→，
所以AM→⋅CN→=(AA1→+A1D1→+D1M→)⋅(AN→−AC→)
=(c→+b→+12a→)⋅[c→+λb→−(a→+b→)]
=(12a→+b→+c→)⋅[−a→+(λ−1)b→+c→]
=−12a→2+(λ−1)b→2+c→2+λ−32a→⋅b→−12a→⋅c→+λb→⋅c→
=−12+λ−1+4+λ−34−12+λ=9λ4+54=2，
解得λ=13．
故13．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
10．（5分）设平面上四点P、Q、M、N满足：|PM|＝|PN|＝4，|PQ|＝2，若QM→⋅QN→=0，则|MN|的最小值为 27−2 ．
【分析】根据题设，可将点M，N和点Q分别看成是圆上的动点，且点Q在以MN为直径的圆上运动，由圆的弦长性质，可得当P，Q，F三点共线时，|MN|最小，据此求得结论．
解：由题意，|PM|＝|PN|＝4，|PQ|＝2，
则点M，N在以P为圆心，半径为4的圆上运动，
点Q在以P为圆心，半径为4的圆上运动，如图所示：
由QM→⋅QN→=0可知，点Q在以MN为直径的圆上运动，
取MN的中点F，则PF⊥MN，
则当P，Q，F三点共线时，点P到MN的距离最大，此时|MN|最小，
在Rt△MQN中，设QF＝MF＝a，
则有（a+2）2+a2＝42，解得a=7−1，
则|MN|的最小值为27−2．
故27−2．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质，考查圆的弦长问题，属中档题．
11．（5分）设t∈R，直线l：x+y﹣t＝0与曲线C1：y=14x2（0≤x≤4）和曲线C2：y＝2x12分别交于P，Q两点，则|PQ|的最大值是 2 ．
【分析】由题可得曲线C1：y=14x2(0≤x≤4)和曲线C2：y=2x12对应的函数互为反函数，所以|PQ|即为曲线C2：y=2x12到直线y＝x 距离的两倍，且在平行于直线y＝x且与两曲线相切，且直线l过两切点时|PQ|的值最大，然后利用导数求出切点即可得解．
解：由题，曲线C1：y=14x2(0≤x≤4)和曲线C2：y=2x12对应的函数互为反函数，
则两函数的图像关于直线y＝x对称，如图，
又直线x+y﹣t＝0与直线y＝x互相垂直，
所以|PQ|即为曲线C2：y=2x12到直线y＝x 距离的两倍，
所以在平行于直线y＝x且与两曲线相切，且直线l过两切点时|PQ|的值最大，
设与直线y＝x平行且与C2相切于点P（x0，y0），
因为C2：y=2x12，所以y′=x−12，
则x0−12=1，解得：x0＝1，即切点P（1，2），
则|PQ|的最大值是P点到直线y＝x 距离的两倍，
所以|PQ|max=2×12=2．
故2．
【点评】本题考查了函数与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
12．（5分）设a＞b＞0，函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝|x−1x+lnx|，若f（a）＝f（b），且关于x的方程|x2+ax+2ab|+|x2﹣ax+2ab|＝2a|x|的整数解有且仅有4个，则a的取值范围是 [3，113） ．
【分析】根据已知函数方程推断出0＜b＜1＜a，且ab＝1，即|x2+ax+2|+|x2﹣ax+2|＝2a|x|，当且仅当（x2+2+ax）（x2+2﹣ax）≤0时取等，得到（x2+2）2﹣（ax）2≤0，且a＞0，即x2+2≤a|x|，分别对x是否为0分类讨论判断即可．
解：易知函数y＝x+−1x+lnx在定义域单调递增，且y（1）＝0，
f（1x）＝|1x−x−lnx|＝f（x），
又因为f（a）＝f（b），a＞b＞0，
所以0＜b＜1＜a，且ab＝1，
即|x2+ax+2|+|x2﹣ax+2|＝2a|x|，
因为|x2+ax+2|+|x2﹣ax+2|＝2a|x|，
当且仅当（x2+2+ax）（x2+2﹣ax）≤0时取等，
所以（x2+2）2﹣（ax）2≤0，a＞0，
所以x2+2≤a|x|，
当x＝0时，2≤0，无解，
当x≠0时，a≥x2+2|x|=|x|+2|x|有四个整数解，
由图，a∈[3，113）．
故[3，113）．
【点评】本题考查函数与方程综合应用，所以中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分。
13．（4分）已知α为任意角，则“cs2α=13”是“sinα=33”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】通过证明，可判断充要性．
解：若cs2α=13，则cs2α＝1﹣2sin2α，sinα=±33，则cs2α=13”是“sinα=33”的不充分条件；
若sinα=33，则cs2α＝1﹣2sin2α，cs2α=13，则cs2α=13”是“sinα=33”的必要条件；
综上所述：“cs2α=13”是“sinα=33”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要性，属于基础题．
14．（4分）某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（ ）
A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123
B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721
C．这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6
D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差
【分析】由统计图，计算这组数据的中位数和极差，求出第70百分位数，判断前五年的年销售量方差与后五年的年销售量方差的大小．
解：由统计图知，这组数据的中位数为12×（120.6+125.6）＝123.1，选项A错误；
极差为728﹣7.5＝720.5，选项B错误；
因为10×70%＝7，所以第70百分位数是12×（136.6+352.1）＝244.35，选项C错误；
前五年的年销售量分别为7.5，33.1，50.7，77.7，125.6；
后五年的年销售量分别为120.6，136.6，352.1，668.7，728；
因为前五年的年销售量比较集中，极差为118.1，后五年的年销售量比较分散，极差为607.4，
所以前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了数据统计与应用问题，是基础题．
15．（5分）设a＞0且a≠1，k、m、n都是正整数，数列{an}的通项公式为an=(a−6)n+21(1≤n≤m)an−3(n＞m)，记数列{an}中前k项的最小值为hk，由所有hk的值所组成的集合记为A，若集合A中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ）
A．当m＝3时，a的取值范围是（1，6）
B．不存在a和m的值，使得a4∉A
C．当m＝4时，a的取值范围是（3，6）
D．存在a和m的值，使得a5∈A
【分析】分析可知若a≥6，则无论m取何值，集合A最多2个元素，若1＜a＜6，则前m项属于集合A，从第m+1项起，最多只有am+1∈A，所以m＝3或4，若0＜a＜1，则前m项属于集合A，此时只能是m＝4，且a4≤0．
解：对于A选项，若0＜a＜1，则因为a＜6，a3＝3a+3＞a＝a4，0＜a＜1，所以{an}单调递减，hk＝ak，集合A中有无穷多个元素，矛盾，
故a＞1，若1＜a＜6，则a﹣6＜0，所以a1＞a2＞a3，又a3＝3a+3＞a＝a4，所以hk＝ak（k＝1，2，3，4），
而a＞1，所以an＜an+1对n≥4恒成立，所以hk＝a4（k≥4），故集合A共有4个元素，满足，
若a＝6，则a1＝a2＝a3＝21＞a4，且an＜an+1对n≥4恒成立，所以集合A＝{21，6}，矛盾，
若a＞6，则a1＜a2＜a3，且an＜an+1对n≥4恒成立，集合A中最多只有两个元素，矛盾，
因此a的取值范围是（1，6），A选项正确；
对于C选项，若0＜a＜1，则{an}（1≤n≤4）单调递减，hk＝ak（k＝1，2，3，4），要使集合A中仅有4个元素，
则4a﹣3≤0，即0＜a≤34也满足要求，所以C选项必定错误；
对于B、D选项，
当a≥6时，hk＝a1（1≤k≤m），当k＞m时，hk＝min{a1，am+1}，集合A最多只有两个元素，矛盾；
若1＜a＜6，则hk＝ak（1≤k≤m），所以m≤4，若m＝4，则当a5=a2≥4a﹣3＝a4即a≥3时，集合A有4个元素，此时A＝{a1，a2，a3，a4}，且a＝3时a5＝a4∈A，所以D选项正确；
若m＝3，由A选项分析知a4∈A，a5∉A，若m＝1或2，则集合A不可能有4个元素，矛盾，
若0＜a＜1，则hk＝ak（1≤k≤m），所以m≤4，若m＝4，则同C选项分析知0＜a≤34，此时a4∈A，
若m≤3，则hk＝ak（k＞3），集合A中有无穷多个元素，矛盾，
综上可知，无论m和a取何值，只要集合A中仅有4个元素时，都有a4∈A，B正确．
故选：C．
【点评】本题考查分段数列的单调性和最值问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
16．（5分）在平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图像绕坐标原点O逆时针旋转π4后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数y＝f（x）为“R函数”．对于命题：
①设m∈R，若函数g（x）＝（m﹣1）x+1x为“R函数”，则m＞1；
②设k∈R，若函数h（x）=k(x+1)ex为“R函数”，则满足条件的k的整数值至少有4个．
则下列结论中正确的是（ ）
A．①为真②为真B．①为真②为假
C．①为假②为真D．①为假②为假
【分析】若函数y＝f（x）为“R函数”，则直线y＝x+t（t∈R）与y＝f（x）的图象至多只有一个交点，从而方程t＝f（x）﹣x至多只有一根，即y＝f（x）﹣x在定义域上单调．
解：依题意可得，若函数y＝f（x）为“R函数”，则直线y＝x+t（t∈R）与y＝f（x）的图象至多只有一个交点，
对于命题①：令x+t＝（m﹣1）x+1x得（m﹣2）x2﹣tx+1＝0，故m＝2或m≠2Δ=t2−4(m−2)=0，
若m＝2，则m＞1，若m≠2，则m=2+t24不可能对任意t∈R成立，因此m＞1成立，命题①为真命题；
对于命题②：令x+t=k(x+1)ex，得t=k(x+1)ex−x，令p（x）=k(x+1)ex−x，则p（x）在R上单调，
若k＝0，则p（x）＝﹣x在R上单调递减，满足要求，
若k＞0，则x→+∞时，p（x）→﹣∞，当x→﹣∞时，p（x）→﹣∞，而p（0）＝k＞0，故p（x）不单调，矛盾，
若k＜0，则p'（x）=−kxex−1，由p'（0）＝﹣1＜0知此时需p'（x）≤0恒成立，
因为p''（x）=k(x−1)ex，所以当x＜1时，p''（x）＞0，p'（x）单调递增，当x＞1时，p''（x）＜0，p'（x）单调递减，
所以p'（1）=−ke−1≤0，解得k≥﹣e，所以整数k可以取﹣2、﹣1，
故满足条件的整数k有且仅有三个值，命题②错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义，需要在理解“R函数”的基础上将问题转化为方程的解进而转化为函数在定义域上单调，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．（14分）如图1所示的平行四边形ABCD中，CA＝CB＝1，CD=2，现将△DAC沿AC折起，得到如图2所示的三棱锥P﹣ABC，记棱PC的中点为M，且PB=3．
（1）求证：AM⊥BC；
（2）记棱AB的中点为E，在直线CE上作出点N，使得PN∥平面MAB，请说明理由，并求出二面角P﹣NB﹣A的大小．
【分析】（1）由题设，证得PA⊥AC，PA⊥AB，从而得PA⊥平面ABC，则BC⊥PA，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，即可证得结论；
（2）在直线CE上作出CN→=2CE→，连接PN，即得所作，连接NA，NB，可证∠PNA是二面角P﹣NB﹣A的平面角，在Rt△PAN中可求得大小．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，CA＝CB＝1，CD=2，
则CA2+CB2＝AB2，CA2+DA2＝CD2，
即∠ACB=∠CAD=π2，则BC⊥AC，DA⊥AC，
在三棱锥P﹣ABC中，PB=3，
由PA2+AB2＝PB2，得∠PAB=π2，即PA⊥AB，
则PA垂直于平面ABC内的两条相交直线，
故PA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
则BC⊥PA，又BC⊥AC，
即BC垂直于平面PAC内的两条相交直线，
故BC⊥平面PAC，又AM⊂平面PAC，
则AM⊥BC；
（2）解：在直线CE上作出CN→=2CE→，连接PN，即得所作，
因为M、E分别是棱PC与棱AB的中点，所以PN∥ME，
又PN⊄平面MAB，且ME⊂平面MAB，
则PN∥平面MAB，连接NA，NB，
此时四边形ANBC为正方形，即BN⊥NA，
在（1）中已证得PA⊥平面ABC，则PA⊥BN，
又AN∩PA＝A，AN，PA⊂平面PAN，
所以BN⊥平面PAN，又PN⊂平面PAN，
则BN⊥NP，即∠PNA是二面角P﹣NB﹣A的平面角，
在Rt△PAN中，PA＝AN，则∠PNA=π4，
故二面角P﹣NB﹣A的大小为π4．
【点评】本题考查线面垂直的判定及性质，考查线面平行的判定及二面角大小的求法，属中档题．
18．（14分）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝sin（ωx），其中ω＞0．
（1）设ω＝1，m∈R，若有且只有一个x0∈（0，m），使得函数y=f(x+π4)取得最小值，求m的取值范围；
（2）若对任意的x∈R，皆有f(x)+f(2π3−x)=0成立，且函数y＝f（x）在区间(−π8，0)上是严格增函数，求函数y＝f（x）的最小正周期．
【分析】（1）由题意可得π4＜x+π4＜π4+m，结合正弦函数的图象可得3π2＜m+π4≤7π2，求解即可；
（2）由题意可得函数y＝f（x）关于点(π3，0)对称，从而得ω＝3k，其中k为整数．再由函数在区间(−π8，0)上是严格增函数，可得T=2πω≥π4，从而得ω＝3或ω＝6，检验得ω＝3，即得答案．
解：（1）当ω＝1时，f（x）＝sinx，
所以函数y=f(x+π4)=sin(x+π4)在区间（0，m）上只有一个最小值点，
又因为π4＜x+π4＜π4+m，
由正弦函数的图象可知：3π2＜m+π4≤7π2，
解得5π4＜m≤13π4，
所以m的取值范围为（5π4，13π4]；
（2）由f(x)+f(2π3−x)=0，
可知函数y＝f（x）关于点(π3，0)对称．
因此sin(ωπ3)=0，解得ω＝3k，其中k为整数．
由于函数在区间(−π8，0)上是严格增函数，
所以T2≥0﹣（−π8）=π8，
所以T=2πω≥π4，
结合ω＝3k，其中k为整数，
所以0＜ω≤8，
又ω＝3k，其中k为整数，
所以ω＝3或ω＝6，
当ω＝6时，f（x）＝sin（6x），
函数在区间(−π8，0)上不是严格增函数，
当ω＝3时，f（x）＝sin（3x），
函数在区间(−π8，0)上是严格增函数，且关于点(π3，0)对称．
所以ω＝3．
因此函数y＝f（x）的最小正周期为T=2π3．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．
19．（14分）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目．某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中A、B、C、D四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立．下表统计的是A在近期热身中分别与B、C、D三人比赛的情况．
（1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中A至少获胜一场的概率；
（2）根据表格中的数据，请给B、C、D三人设计一个出场顺序，使得A在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由．
【分析】（1）根据表格中所给数据可以得到A与B、C、D比赛获胜的概率p1，p2，p3，再利用对立事件的概率关系求解；
（2）结合题意可知：出场顺序共有6种，为：BCD、BDC、CBD、CDB、DBC、DCB，分别计算这6种出场顺序使得A在这三场比赛中连胜两场的概率，再比较大小即可求解．
解：（1）A与B比赛获胜的概率为：p1=412=13，A与C比赛获胜的概率为：p2=510=12，A与D比赛获胜的概率为：p3=1215=45，
因为“决赛中A至少获胜一场”的对立事件为“决赛中A一场都没有获胜”，
则“决赛中A一场都没有获胜”的概率为：P0=(1−p1)(1−p2)(1−p3)=(1−13) (1−12)(1−45)=23×12×15=115，
所以“决赛中A至少获胜一场”的概率为：P=1−P0=1−115=1415；
（2）①若出场顺序为BCD，则A在这三场比赛中连胜两场的概率为：P1=13×12×(1−45)+(1−13)×12×45= 130+415=310，
②若出场顺序为BDC，则A在这三场比赛中连胜两场的概率为：P2=13×45×(1−12)+(1−13)×45×12= 215+415=25，
③若出场顺序为CBD，则A在这三场比赛中连胜两场的概率为：P3=12×13×(1−45)+(1−12)×13×45= 130+215=16，
④若出场顺序为CDB，则A在这三场比赛中连胜两场的概率为：P4=12×45×(1−13)+(1−12)×45×13= 415+215=25，
⑤若出场顺序为DBC，则A在这三场比赛中连胜两场的概率为：P5=45×13×(1−12)+(1−45)×13×12=215+130=16，
⑥若出场顺序为DCB，则A在这三场比赛中连胜两场的概率为：P6=45×12×(1−13)+(1−45)×12×13= 415+130=310，
因为25＞310＞16，
所以要使A在这三场比赛中连胜两场的概率最大，出场顺序为BDC或CDB．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
20．（18分）设a＞0，m＞0，F1、F2分别是双曲线Γ：x2a2−y2=1的左、右焦点，直线l：x﹣my﹣2＝0经过点F2与Γ的右支交于A、B两点，点O是坐标原点．
（1）若点M是Γ上的一点，|MF1|＝2，求|MF2|的值；
（2）设λ、μ∈R，点P在直线x＝6上，若点O、A、P、B满足：OA→=λBP→，OB→=μAP→，求点P的坐标；
（3）设AO的延长线与Γ交于G点，若向量OA→与OB→满足：OA→⋅OB→≥17，求△GAB的面积S的取值范围．
【分析】（1）利用双曲线定义求解即可；
（2）由x−my−2=0x2−3y2=3，得（m2﹣3）y2+4my+1＝0，利用韦达定理求解即可；
（3）设A（x1，y1）B（x2，y2），G（﹣x1，﹣y1）⇒S△AGB＝2S△AOB，由OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+2m(y1+y2)+4≥17，结合韦达定理和函数得单调性求解即可．
解：（1）直线l：x﹣my﹣2＝0经过点F2，
令y＝0，则x＝2，
即F2(2，0)⇒c=2⇒a=3，
因为|MF1|＝2，
所以点M在左支，
所以|MF2|=2+23；
（2）点O、A、P、B满足OA→=λBP→，OB→=μAP→，
所以四边形OAPB为平行四边形，
因为双曲线Γ：x23−y2=1，
由x−my−2=0x2−3y2=3，得（m2﹣3）y2+4my+1＝0，
所以y1+y2=−4mm2−3，y1⋅y2=1m2−3，
所以x1+x2=my1+2+my2+2=m(y1+y2)+4=−4m2m2−3+4(m2−3)m2−3=−12m2−3，
x1⋅x2=(my1+2)⋅(my2+2)=m2y1⋅y2+2m(y1+y2)+4，
AB的中点(63−m2，2m3−m2)，即OP中点与AB中点相同，
所以3=63−m2⇒m=1⇒yp=2⋅2m3−m2=2，
所以P（6，2）；
（3）设A（x1，y1）B（x2，y2），G（﹣x1，﹣y1）⇒S△AGB＝2S△AOB，
y1⋅y2=1m2−3＜0⇒m2＜3，
OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+2m(y1+y2)+4≥17，
所以m2+1m2−3+2m−4mm2−3+4≥17m2−3＜0，
所以2≤m2＜3，
所以S△GAB=2×12×2|y1−y2|=2(y1+y2)2−4y1y2=43m2+13−m2，
令m2+1=t，t∈[3，2)⇒m2=t2−1，
f(t)=43t3−(t2−1)=43t4−t2=434t−t，
因为4t−t在t∈[3，2)单调递减，f（t）在t∈[3，2)单调递增，
所以f（t）在t=3时取得最小值为12，
所以S△GAB∈[12，+∞）．
【点评】本题考查直线与双曲线方程的应用，属于难题．
21．（18分）设t＞1，n≥1，n∈N，若正项数列{an}满足1tan＜an+1＜an，则称数列{an}具有性质“P（t）”．
（1）设m≥1，m∈N，若数列10，7，m，4，3具有性质“P（2）”，求满足条件的m的值；
（2）设数列{an}的通项公式为an＝（n+1）（t9）n，问是否存在t使得数列{an}具有性质“P（t）”？若存在，求出满足条件的t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝ln（ex﹣1）﹣lnx，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=23，an+1＝f（an），证明：数列{an}具有性质“P（3）”，并比较Sn与1−13n的大小．
【分析】（1）根据性质“P（t）”的定义可得关于m的不等式组，求解即可；
（2）根据性质“P（t）”的定义可得1t(n+1)(t9)n＜(n+2)(t9)n+1＜(n+1)(t9)n⇒t2＞9(n+1)n+2t＜9(n+1)n+2，根据单调性求出9(n+1)n+2的范围，从而可求解t的取值范围；
（3）求出an+1，通过构造函数，利用导数可分别证明an+1＜an，13an＜an+1，从而证得数列{an}具有性质“P（3）”，由13an＜an+1⇒an+1an＞13，利用累乘法可得当n≥2时，an＞2•(13)n，分n＝1和n≥2，即可比较Sn与1−13n的大小．
解：（1）∵数列10，7，m，4，3具有性质“P（2）”，
∴72＜m＜712m＜4＜m⇒4＜m＜7，m∈N，
∴m＝5，6．
（2）假设存在t使得数列an=(n+1)(t9)n具有性质“P（t）”，
∴1t(n+1)(t9)n＜(n+2)(t9)n+1＜(n+1)(t9)n⇒t2＞9(n+1)n+2t＜9(n+1)n+2，
∵9(n+1)n+2=9−9n+2在（0，+∞）上单调递增，∴9−9n+2∈[6，9)，
∴t2≥9t＜6⇒t∈[3，6)，
∴存在t∈[3，6）使得数列{an}具有性质“P（t）”．
（3）证明：∵a1=23，an+1=f(an)=ln(ean−1)−lnan，
∴a1=23，an+1=ln(ean−1)−lnan，
∴an+1−an=ln(ean−1)−lnan−an=lnean−1an⋅ean，
令g（x）＝ex﹣1﹣x•ex，x＞0，
则g′（x）＝﹣xex＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）＝0，即ex﹣1＜x•ex，
∴0＜ex−1x⋅ex＜1，即0＜ean−1an⋅ean＜1，lnean−1an⋅ean＜0，
∴an+1＜an，
13an−an+1=13an−ln(ean−1)+lnan=lne13an−ln(ean−1)+lnan＝lne13an⋅anean−1，
令h（x）=e13x⋅x−ex+1，x＞0，则h′（x）=13e13x⋅x+e13x−ex=e13x（13x+1−e23x），
令φ（x）=13x+1−e23x，x＞0，则φ′（x）=13−23e23x是减函数，
∴φ′（x）＜φ′（0）=13−23=−13＜0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴φ（x）＜φ（0）＝0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（0）＝0，即e13x⋅x＜ex﹣1，∴0＜e13x⋅xex−1＜1，
即0＜e13an⋅anean−1＜1，∴lne13an⋅anean−1＜0，
∴13an＜an+1，
综上：13an＜an+1＜an，∴数列{an}具有性质“P（3）”，
13an＜an+1⇒an+1an＞13，
∴当n≥2时，an=anan−1⋅an−1an−2⋅⋯⋅a2a1⋅a1＞23⋅(13)n−1=2•(13)n，
当n＝1时，S1=a1=23=1−13，
当n≥2时，Sn＞2⋅13(1−(13)n)1−13=1−(13)n．
综上，当n＝1时，Sn=1−(13)n，当n≥2时，Sn＞1−(13)n．
【点评】本题主要考查数列的新定义问题，导数的应用，不等式大小的比较，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
B
C
D
比赛的次数
12
10
15
A获胜的次数
4
5
12
题号
13
14
15
16
答案
B
D
C
B
B
C
D
比赛的次数
12
10
15
A获胜的次数
4
5
12