江苏无锡市东林中学网络提高班2024-2025学年八上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学网络提高班2024-2025学年八上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】，共30页。试卷主要包含了给出两列数等内容，欢迎下载使用。
1．给出两列数：（1）1，3，5，7，…，2007；（2）1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数为（ ）
A．201B．200C．199D．198
2．在277，355，544，633这四个数中，最大的数是（ ）
A．277B．355C．544D．633
3．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处B．二处C．三处D．四处
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列五个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤连接BM，若S△ABC＝16，则S△ABM＝8，其中正确的结论有（ ）
A．①②④B．①②③C．①②③⑤D．①②③④⑤
5．若a，b，c都是负数，并且，则a、b、c中（ ）
A．a最大B．b最大C．c最大D．c最小
6．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．25B．30C．35D．40
7．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
二．填空题（共10小题）
8．已知，x+5y﹣6＝0，则42x+y•8y﹣x＝ ．
9．已知5a＝a，25b＝b，则52a+4b＝ ．
10．如图1六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为m度，如图2六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为n度，则m﹣n＝ ．
如图，已知∠MON＝30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP＝a，当△PAB的周长最小时，∠APB＝ 度，△PAB的周长的最小值是 ．
12．五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝ ．
13．若关于x的分式方程有整数解，整数m的值是 ．
14．如图，在等边△ABC中，AC＝10，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是 ．
15．如图，过边长为2的等边△ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A'B'C'，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是 ．
16．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ．
17．在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED＝60°，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB等于 ．
三．解答题（共13小题）
18．（1）如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是多少？
（2）已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|．
19．动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
20．为了更好开展劳动教育，某校采购了一批木板供学生组装成课桌和椅子．该校共采购A类木板400块，B类木板500块．已知一张课桌需要2块A类木板和1块B类木板，一把椅子需要1块A类木板和2块B类木板．
（1）这批木板可以组装成多少张课桌和多少把椅子？
（2）现安排正在上劳动实践课的九年（1）班的30名学生来组装课桌和椅子，已知一名学生组装一张课桌需要10分钟，组装一把椅子需要7分钟．能否通过合理分组，使得组装课桌和组装椅子的任务同时完成？
21．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．
（1）AB＝ （用含m的代数式表示）；
（2）若点B为线段AC的中点，求BO的长；
（3）设AC＝x，求当BC与AB的差不小于时整数x的最小值．
22．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，n为自然数）；
（3）计算：．
23．在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一．容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一．
为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]＝x﹣a，[x]+a＝x，其中[x]是一个整数，0≤a＜1，a称为实数x的小数部分，记作{Zx}，所以有x＝[x]+{Zx}．例如，[﹣14.3]＝﹣15，{Z2.45}＝0.45．
关于取整运算有部分性质如下：
①x﹣1＜[x]≤x；
②若n为整数，则[x+n]＝[x]+n．
请根据以上材料，解决问题：
（1）＝ ；若m＝[﹣π]，n＝{Z﹣π}，则m2+mn＝ ；
（2）记，求[M]；
（3）解方程：[]＝．
24．（1）已知在△ABC中，三边分别为a、b、c，化简|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|+2|a+c|＝ ．
（2）已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，求x+y的值．
25．已知，∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP＝α．以线段AP为边在AP上方作等边△ABP，连接OB、BP，再以线段OB为边作等边△OBC（点C、P在OB的同侧），作CH⊥ON于点H．
（1）如图1，α＝60°．①依题意补全图形；②求∠BPH的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
26．请认真完成下列的数学活动：
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
•尝试探究（1）如图①，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间的数量关系．
•初步运用（2）如图②，在△ABC纸片中前去△CED，得到四边形ABDE，若∠2＝125°，则∠1﹣∠C＝ .小明联想到了的经解决的一个问题：如图③，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，则∠P与∠A之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）．
•拓展提升（3）如图④，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，设∠A+∠D＝α（0°＜α＜360°）试说明∠P与α的数量关系．
27．已知abc≠0，且a+b+c＝0，求a（+）+b（+）+c（+）的值．
28．已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED＝∠B．求证：AE＝BC．
29．已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．
（1）如图1当α＝90°时．求证：AE⊥BD；
（2）如图2，直接写出∠AFD的度数为 （用含α的式子表示）．
30．如图，AB∥CD．
（1）如图1，若∠E＝120°，∠C＝110°，求∠A+∠F的度数；
（2）如图2，若∠E＝110°，，，若GD∥FC，则∠AGF与∠GDC的数量关系是 ．请写出理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：第二列数排列的规律是一奇一偶，
1＝5×1﹣4，
6＝5×2﹣4，
11＝5×3﹣4，
16＝5×4﹣4，
第n个数为（5n﹣4），
由5n﹣4＝2006，解得n＝402，其中奇数由201个；
故选：A．
2．【解答】解：∵277，355，544，633这四个数变为（27）11，（35）11，（54）11，（63）11，
而27＝128，35＝243，54＝625，63＝216，
∴最大的数是544．
故选：C．
3．【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
4．【解答】解：如图，连接FN，
∵CN⊥AF，
∴∠AMC＝∠AMN＝90°，
∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
在△AMN和△AMC中，
，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC＝AN，故②正确；
∵△AMN≌△AMC，
∴CM＝NM，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，
∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵CM⊥AF，
∴EM＝FM，
∴四边形ENFC是菱形，
∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正确；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC≠BC，
∴∠B≠45°，故④错误；
∵四边形ENFC是菱形，
∴CM＝MN，
∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN，
∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCM＝S△ABC，
∴S△ABM＝S△ABC，
∴S△ABC＝16，则S△ABM＝8．故⑤正确．
综上所述：①②③⑤．
故选：C．
5．【解答】解：∵，
∴，
∴＜＜，又a、b、c都是负数，
∴a+b＜b+c＜c+a，
∴b＜a＜c，
故选：C．
6．【解答】解：BD＝2DC，
∴S△ABD＝2S△ACD，
∴S△ABC＝3S△ACD，
∵E是AC的中点，
∴S△AGE＝S△CGE，
又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4，
∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝3+3+4＝10，
∴S△ABC＝3S△ACD＝3×10＝30．
故选：B．
7．【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝，
∴MG＝CG＝，
∴HN＝，
故选：A．
二．填空题（共10小题）
8．【解答】解：∵x+5y﹣6＝0，
∴x+5y＝6，
∴42x+y•8y﹣x＝24x+2y•23y﹣3x＝2x+5y＝26＝64．
故答案是64．
9．【解答】解：当5a＝a，25b＝b时，
52a+4b
＝52a×54b
＝（5a）2×（52b）2
＝（5a）2×（25b）2
＝a2b2．
故答案为：a2b2．
10．【解答】解：如图，
将图1和图2的多边形转化为两个三角形和一个四边形，
图1中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2×180°+360°＝720°，
图2中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2×180°+360°＝720°，
∴m＝n＝720°
∴m﹣n＝0．
故答案为0．
11．【解答】解：分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；
连接P′、P″，分别交OM，ON于点A、点B，
则此时△PAB的周长最小．
如图所示：
则∠P′PP″＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，
∴∠PP'A+∠PP“B＝180°﹣∠P′PP″＝30°，
∴∠PAB+∠PBA＝2（∠PP'A+∠PP“B）＝60°，
∴∠APB＝120°；
连接OP′，OP″，
由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝a，
∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∵∠MON＝30°，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝60°，
∴△P′OP″是等边三角形，
∴P′P″＝OP＝a，
∴△PAB的周长＝a．
故答案为：120，a．
12．【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，又a1＜a2＜a3＜a4＜a5．则a2≥2．要想使a1，a2，a3构不成三角形，则a3﹣a2≥1，即a3≥3；
要想使a3，a4，a5构不成三角形，则a5﹣a4≥a3，即a4≤a5﹣a3＝6，
若a2，a3，a4构不成三角形，则a2+a3≤a4，即a3≤a4﹣a2＝4，
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3，a4，a5不能构成三角形，故排除．
所以a3＝3．
解法二：由题意，a1+a2≤a3，a2+a3≤a4，a3+a4≤a5，
三个不等式相加得到：a1+2a2+2a3+a4≤a3+a4+a5，
化简得到：2a2+a3≤a5﹣a1＝8，即2a2+a3≤8，
因为a2≥2，
所以a3只能取3或4，
当a＝4时．因为a4≤a5﹣a3＝5，
∴a4＝5，此时a2≤a4﹣a3＝1，与a2＝2矛盾，
当a3＝3时，可以找到1，2，3，5或6，9满足题意．
故答案为：3．
13．【解答】解：，
∴mx﹣1﹣1＝2（x﹣2），
∴x＝﹣，
而分式方程有整数解，
∴m﹣2＝1，m﹣2＝﹣1，m﹣2＝2，m﹣2＝﹣2，
但是m﹣2＝﹣1时，x＝2，是分式方程的增根，不合题意，舍去
∴m﹣2＝1，m﹣2＝2，m﹣2＝﹣2，
∴m＝4，m＝3，m＝0．
故答案为：m＝4，m＝3，m＝0．
14．【解答】解：∵AC＝10，AO＝3，
∴OC＝7，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，
∴OD＝OP，∠POD＝60°，
∵∠AOP+∠APO+∠A＝180°，∠AOP+∠COD+∠POD＝180°，
∴∠AOP+∠APO＝120°，∠AOP+∠COD＝120°，
∴∠APO＝∠COD，
在△AOP和△CDO中，
，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP＝CO＝7．
故答案为：7．
15．【解答】解：连接PB′，
因为△ABC与△A′B′C关于直线l对称，且△ABC是边长为2的等边三角形，
所以B′C＝BC＝2，∠B′CA′＝∠ACB＝60°，
又因为l⊥BC，
则∠ACP＝180°﹣2×60°＝60°，
所以∠B′CA′＝∠ACP．
在△B′CP和△ACP中，
，
所以△B′CP≌△ACP（SAS），
所以B′P＝AP，
所以PA+PB＝PB′+PB．
根据“两点之间，线段最短”可知，
当点P在点C位置时，PB′+PB取得最小值为BB′的长度4，
所以AP+PB的最小值是4．
故答案为：4．
16．【解答】解：作FH⊥FE交AC用H．
∵∠AFC＝∠EFH＝90°，
∴∠AFH＝∠CFE＝13°，
∵∠A＝∠FCE＝45°，FA＝FC，
∴△FAH≌△FCE，
∴FH＝FE，
∵∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝13°+32°＝45°，
∴∠DFH＝∠DFE＝45°，∵DF＝DF，
∴△DFE≌△DFH，
∴∠DEF＝∠DHF＝∠A+∠AFH＝58°，
∵∠FEB＝∠CFE+∠FCE＝58°，
∴∠DEC＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
故答案为64°．
17．【解答】解：延长AB到F使BF＝AD，连接CF，如图，
∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°，
∵∠CDB＝2∠CDE，
∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°，
∴∠CDB＝2∠CDE＝80°，
∵BF＝AD，
∴BF＝DE，
∵DE+BD＝CE，
∴BF+BD＝CE，即DF＝CE，
∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE，
∴AF＝AC，
而∠BAC＝60°，
∴△AFC为等边三角形，
∴CF＝AC，∠F＝60°，
在△ACD和△FCB 中
，
∴△ACD≌△FCB （SAS），
∴CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝80°，
∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°．
故答案为：20°．
三．解答题（共13小题）
18．【解答】解：（1）如图，
过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，
∵CD∥AB，
∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，
∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°；
（2）∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，
则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|
＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c
＝4a﹣2c．
19．【解答】解：探究一：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD），
＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD，
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD），
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），
＝（∠A+∠B）；
探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
＝180°﹣∠EDC﹣∠BCD，
＝180°﹣（∠EDC+∠ACD），
＝180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
20．【解答】解：（1）设这批木板可以组装成x张课桌和y把椅子，
由题意得：，
解得：，
答：这批木板可以组装成100张课桌和200把椅子；
（2）设a名学生来组装课桌，则有（30﹣a）名学生来组装椅子，当组装课桌和椅子用的时间相等时，才能最快完成全部组装任务，
则，
解得：a＝12.5．
∵a不为整数，
∴不能同时完成．
21．【解答】解：（1）AB＝m+1﹣（2﹣m）＝m+1﹣2+m＝2m﹣1，
故答案为：2m﹣1；
（2）∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，BC＝（2﹣m）﹣（9﹣4m）＝2﹣m﹣9+4m＝3m﹣7，
由（1）得AB＝2m﹣1，
∴3m﹣7＝2m﹣1，
∴m＝6，
∴B点为2﹣m＝2﹣6＝﹣4，
∴BO＝|﹣4|＝4，
∴BO的长为4；
（3）∵BC与AB的差不小于，
∴BC﹣AB≥，
∵BC＝2﹣m﹣（9﹣4m）＝3m﹣7，
AB＝m+1﹣（2﹣m）＝2m﹣1，
∴3m﹣7﹣（2m﹣1）≥，
∴m≥，
∵AC＝x，即AC＝x＝（m+1）﹣（9﹣4m）＝5m﹣8，m≥，
∴x的值：x≥5×﹣8，
∴x≥，
∴整数x的最小值为25．
22．【解答】解：（1）第7个等式：＝＝；
故答案为：＝＝；
（2）猜想的第n个等式：＝＝；
故答案为：＝＝；
（3）
＝
＝×××...×
＝．
23．【解答】解：（1）∵3＜＜4，
∴＝3，
∵﹣4＜﹣π＜﹣3，
∴m＝[﹣π]＝﹣4，n＝{Z﹣π}＝4﹣π，
∴m2+mn＝m（m+n）＝﹣4×π＝﹣4π，
故答案为：3，﹣4π；
（2）
＝﹣1++2﹣+…+﹣
＝﹣1，
∵44＜＜45，
∴43＜﹣1＜44，
∴[M]＝43；
（3）∵x﹣1＜[x]≤x，
∴﹣1＜[]≤，
∴﹣1＜≤，
解得＜x≤，
∴﹣＜6x﹣7≤3，
∵是整数，
∴6x﹣7＝0或6x﹣7＝3，
解得x＝或x＝．
24．【解答】解：（1）由题意，∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a﹣c＜b，c﹣a＜b，a+c＞b＞0．
∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a﹣b＜0，a+c＞0．
∴|a﹣c﹣b|＝c+b﹣a，|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c，|a+c|＝a+c．
∴|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|+2|a+c|＝c+b﹣a+a+b﹣c+a+c
＝a+2b+c．
故答案为：a+2b+c．
（2）由题意，∵x2+y2+2x﹣6y+10＝0，
∴x2+2x+1+y2﹣6y+9＝0．
∴（x+1）2+（y﹣3）2＝0．
∴x+1＝0，y﹣3＝0．
∴x＝﹣1，y＝3．
∴x+y＝﹣1+3＝2．
25．【解答】解：（1）①如图所示，即为所求；
②∵△ABP是等边三角形，
∴∠BPA＝60°，
∵∠OAP＝α＝60°，
∴∠OPA＝30°，
∴∠BPH＝180°﹣∠OPA﹣∠BPA＝90°；
（2）OA＝2CH，证明如下：
如图，连接BC，PC，
由（2）可知，△ABP是等边三角形，
∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°，
∵△BOC是等边三角形，
∴BO＝BC，∠BOC＝60°，
∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，
∵∠OAP＝α，
∴∠BAO＝∠BAP+∠OAP＝60°+α，
∴∠BPC＝60°+α，
∵∠BPN＝180°﹣∠APO﹣∠BPA＝120°﹣（90°﹣α）＝30°+α，
∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO＝90°，
在Rt△CHP中，PC＝2CH，
∴OA＝2CH．
26．【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠A＝∠DBC+∠ECB﹣180°；
（2）∵∠2＝125°，
∴∠CED＝180°﹣∠2＝55°，
∵∠1＝∠CED+∠C，
∴∠1﹣∠C＝∠CED＝55°；
∵BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，
∴∠PBC＝DBC，∠PCB＝ECB，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°∠A，
即∠P＝90°∠A；
故答案为：55°；∠P＝90°∠A；
（3）如图，
∠P＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）
＝180°﹣（180°﹣∠4+180°﹣∠3）
＝180°﹣（360°﹣∠4﹣∠3）
＝180°﹣（∠A+∠D）
＝180°﹣α．
27．【解答】解：由a+b+c＝0得：a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，
∴
＝
＝
＝﹣3；
28．【解答】证明：延长CD到F使DF＝CD，连接AF，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD，
在△ADF与△BCD中，，
∴△ADF≌△BCD，
∴∠F＝∠BCD，BC＝AF，
∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠AED＝∠F，
∴AE＝AF，
∴AE＝BC．
29．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD；
（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠AFB＝∠ACB＝α，
∴∠AFD＝180°﹣α．
故答案为：180°﹣α．
30．【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥FG∥CD，
∵AB∥EF，
∴∠A＝∠1，
∵FG∥EH，
∴∠2＝∠3，
∵FG∥CD，
∴∠4＝180°﹣∠C，
∵∠AEF＝120°，∠C＝110°，
∴∠A+∠EFC＝∠1+∠3+∠4
＝∠1+∠2+180°﹣∠C
＝∠AEF+180°﹣∠C
＝120°+180°﹣110°
＝190°，
∴∠A+∠EFC的度数和为190°；
（2）3∠AGF+∠GDC＝220°，
理由：连接GE并延长，
∵∠1是△AEG的一个外角，
∴∠1＝∠AGE+∠EAG，
∵∠2是△EFG的一个外角，
∴∠2＝∠EFG+∠EGF，
∵，，∠AEF＝110°，
∴∠AEF＝∠1+∠2
＝∠AGE+∠EAG+∠EFG+∠EGF
＝∠GAE+∠GFE+∠AGF
＝∠BAE+∠EFC+∠AGF
＝（∠BAE+∠EFC）+∠AGF
＝110°，
由（1）得：∠BAE+∠EFC＝∠AEF+180°﹣∠C，
∴（∠AEF+180°﹣∠C）+∠AGF＝110°，
∴（110°+180°﹣∠C）+∠AGF＝110°，
∴3∠AGF﹣∠C＝40°，
∵GD∥FC，
∴∠C＝180°﹣∠GDC，
∴3∠AGF﹣（180°﹣∠GDC）＝40°，
∴3∠AGF+∠GDC＝220°，
故答案为：3∠AGF+∠GDC＝220°．题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
A
C
D
C
C
B
A