江苏省无锡市新城中学2024-2025学年八（上）数学第17周提高训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏省无锡市新城中学2024-2025学年八（上）数学第17周提高训练模拟练习【含答案】，共16页。试卷主要包含了下列命题中正确的是，若，，则a与b的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
1．在 ，1.414，﹣，π，2+，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若m≠n，则|m|≠|n|
B．若a+b＝0，ab＞0
C．若ab＜0，且a＜b，则|a|＜|b|
D．互为倒数的两数之积为正
3．若x是整数，则使分式的值为整数的x值有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
4．若，，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．无法确定
5．当x分别取2020、2018、2016、…、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2020
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
7．如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，连接CE，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD；③∠DAC＝∠DEC； ④AD＝DC．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．b＜c＜a
9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，……，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
A．•80°B．2n•80°
C．•80°D．•80°
10．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）
A．分钟B．分钟
C．分钟D．分钟
二．填空题（共9小题）
11．已知，则yx的算术平方根是 ．
12．已知不等式3x﹣a≤0的正整数解恰是1，2，3，4，那么a的取值范围是 ．
13．a化简二次根式号后的结果是 ．
14．如果代数式（x+2）x﹣1的值等于1，那么x的值为 ．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 ．
16．已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
17．已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
18．M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长等于 ．
19．根据a1＝n，，，，…，所蕴含的规律可得a2022等于 ．
三．解答题（共4小题）
20．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时，则PA+PB+PC取得最小值．
（1）如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
（2）如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，连接CB'，求证：CB'过△ABC的费马点．
（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
21．已知，求的值．
22．永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
23．如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连CF，交AB于点G、交AD于点M，连DG．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）求证：∠ADC＝∠BDG；
（3）连AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：，1.414是分数，故是有理数；
＝3是整数，故是有理数；
﹣，π，2+，是无限不循环小数，故是无理数．
故选：D．
2．【解答】解：A、可举例子﹣1≠1，则|﹣1|＝|1|，故本选项错误；
B、可举例子a＝﹣1，b＝1，ab＜0，故本选项错误；
C、可举例子a＝﹣5，b＝1，|﹣5|＞|1|，故本选项错误；
D、互为倒数的两数之积为1，所以互为倒数的两数之积为正，故本选项正确．
故选：D．
3．【解答】解：＝＝＝4+，
要使的值为整数，就是为整数，
即2x﹣1＝±1，2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±3，2x﹣1＝±6，
而当2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±6时，x不是整数，
因此x是整数，分式的值也是整数的x值有4个，
故选：C．
4．【解答】解：∵a﹣b＝
＝
＝
＞＞0，
∴a＞b．
故选：A．
5．【解答】解：当x＝a（a≠0）时，＝，
当x＝时，＝＝﹣，
即互为倒数的两个数代入分式的和为0，
当x＝0时，＝﹣1，
故选：A．
6．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，
边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，
故选：C．
7．【解答】解：AC和DE交于O，
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠ADE，∠ACE＝∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴∠DAC＝∠DEC，
∵∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
由条件不能推出AD＝DC，
∴①②③正确．
故选：C．
8．【解答】解：a＝20220＝1；
b＝2021×2023﹣20222
＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1；
c＝（﹣）3022×（）3023
＝（﹣）3022×（）3022×
＝（﹣×）3022×
＝（﹣1）3022×
＝；
∵﹣1＜1＜，
∴b＜a＜c，
故选：B．
9．【解答】解：在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝80°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×80°；
同理可得，
∠EA3A2＝（）2×80°，∠FA4A3＝（）3×80°，
∴第n个等腰三角形的底角度数是（）n﹣1×80°．
故选：C．
10．【解答】解：由题意列代数式得：，化简得：．
故选：C．
二．填空题（共9小题）
11．【解答】解：要使++3有意义，必须x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得：x＝2，
即y＝++3＝3，
所以yx＝32＝9，
所以yx的算术平方根是＝3，
故答案为：3．
12．【解答】解：不等式的解集是：x≤，∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，∴4≤＜5，∴a的取值范围是12≤a＜15．
13．【解答】解：a
＝a•（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
14．【解答】解：①当指数为0，即x﹣1＝0∴x＝1，
原式＝30＝1，成立；
②当底数为1，即x+2＝1，∴x＝﹣1，
原式＝1﹣2＝1，成立；
③当底数为﹣1，即x+2＝﹣1，∴x＝﹣3，
原式＝（﹣1）﹣4＝1，成立，
综上所述，x的值为：1或﹣1或﹣3．
15．【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；
综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°．
故答案为：60°或120°．
16．【解答】解：将第二个方程组两个方程的两边都除以9，得，
，
∵方程组的解是，
∴，
解得．
故答案为：．
17．【解答】解：，
去分母得：x﹣5﹣（a﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
（11﹣2a）x＝（3a﹣10），
当11﹣2a＝0，即a＝时，整式方程无解，分式方程也无解；
当11﹣2a≠0，即a≠时，整式方程有唯一解，但是x＝＝5或x＝＝﹣分式方程无解，
当x＝＝5时，a＝5，
当x＝＝﹣时a不存在．
∴a＝5或a＝时分式方程无解．
故答案为：5或．
18．【解答】解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，
又∵AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE＝AB＝10，BN＝NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE＝2MN＝2×3＝6，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝10+15+10+6＝41．
故答案为41．
19．【解答】解：∵a1＝n，
a2＝1﹣＝1﹣＝，
a3＝1﹣＝1﹣＝，
a4＝1﹣＝1+n﹣1＝n，
…
∴每3个数为一周期循环，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共4小题）
20．【解答】（1）解：如图2中，连接PP′．
∵点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，
∴AP＝3，BP＝4，CP＝5，
由旋转的性质得：△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3，CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，∠CAP′＝∠BAP，
∴∠CAP′+∠PAC＝∠BAP+∠PAC，
即∠PAP′＝∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠PAP′＝60°，
∴△PAP′是等边三角形，
∴∠AP′P＝60°，PP′＝AP＝3，
∵32+42＝52，
∴PP′2+CP′2＝CP2，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，
∴∠AP′C＝∠AP′P+∠CP′P＝60°+90°＝150°，
∴∠APB＝150°，
故答案为：150°；
（2）证明：证明：在CB'上取点P，使∠BPC＝120°．连接AP，再在PB'上截取PE＝PB，连接BE．
∠BPC＝120°，
∴∠EPB＝60°，
∴△PBE为正三角形，
∴PB＝BE，∠PBE＝60°，∠BEB'＝120°．
∵△ABB'为正三角形，
∴AB＝B′B，∠ABB'＝60°，
∴∠PBA＝∠EBB′，
∴△ABP≌△B′BE，
∴∠APB＝∠B′EB＝120°，PA＝EB′，
∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴CB'过△ABC的费马点P；
（3）解：将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A'P'B处，连接PP'，如图4所示：
则∠ABP＝∠A′BP′，∠APB＝∠A′P′B，∠PBP′＝60°，PA＝P′A′，PB＝P′B，AB＝A′B，
∴△PBP′是等边三角形，
∴PB＝PP′，∠P′PB＝∠PP′B＝60°，
∵点P为直角三角形ABC的费马点，
∴∠APC＝∠BPC＝∠BPA＝120°，
∴∠A′P′B＝∠BPC＝120°，
∵∠P′PB＝∠PP′B＝60°，
∴C、P、P′、A′四点共线，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴A′B＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A′BC＝∠A′BP′+∠CBP+∠PBP′＝∠ABP+∠CBP+∠PBP′＝∠ABC+∠PBP′＝30°+60°＝90°，
在Rt△A′BC中，由勾股定理得：A′C＝＝＝，
∴PA+PC+PB＝P′A′+PC+PP′＝A′C＝．
21．【解答】解：两边平方，得：x2+﹣2＝4，
则x2+＝6．
22．【解答】解：（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，
根据题意得：5×（+）+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：完成这项工程的规定时间为30天．
（2）选择方案三，理由如下：
方案一需付工程款：2.4×30＝72（万元）；
方案二不能如期完工，不符合题意；
方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30＝66（万元）．
∵72＞66，
∴选择方案三．
23．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴∠CAB＝45°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF＝∠ACB＝90°，
∴∠ABF＝∠CBA＝45°，即BE平分∠DBF，
而DE⊥AB，
∴AB垂直平分DF，
∴BD＝BF，
∵D点为BC的中点，
∴DC＝DB，
∴CD＝BF，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠2＝∠1，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴AD⊥CF；
（2）证明：在△BGD和△BFG中，
，
∴△BDG≌△BFG（SAS），
∴∠BDG＝∠BFG，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠ADC＝∠CFB，
∴∠ADC＝∠BDG；
（3）解：△ACF为等腰三角形．理由如下：
∵AB垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
∴AF＝CF，
∴△ACF为等腰三角形．
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答案
D
D
C
A
A
C
C
B
C
C