江苏无锡市东林中学2024-2025学年八上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】

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A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞﹣1
2．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣1D．+1
4．在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y＝﹣x+3，直线y＝4和直线x＝1所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为R（2，2），则QP+QR的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
5．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等边三角形，则点A的坐标为（ ）
A．（，）B．（，2）C．（，）D．（1，）
6．如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
二．填空题（共9小题）
7．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为 ．
8．如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 ．
9．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝ ．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为 ．
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为 ．
12．如图，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'与AD交于点E．若AD＝20cm，AB＝5cm，则DE＝ cm．
13．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是 ；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是 ．
14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °．
15．中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
17．如图，已知一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图象相交于点C．
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
18．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： ；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
20．【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【解答】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故选：A．
2．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
【解答】解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣1D．+1
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠DAB，
∴DB＝DA＝，
在Rt△ADC中，
DC＝＝＝1，
∴BC＝+1．
故选：D．
4．在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y＝﹣x+3，直线y＝4和直线x＝1所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为R（2，2），则QP+QR的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【解答】解：当点P在直线y＝﹣x+3和x＝1的交点上时，
作P关于x轴的对称点P′，连接P′R，交x轴于Q，此时PQ+QR最小，
连接PR，
∵PR＝1，PP′＝4，
∴P′R＝＝，
∴QP+QR的最小值为．
故选：A．
5．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等边三角形，则点A的坐标为（ ）
A．（，）B．（，2）C．（，）D．（1，）
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D，
∵点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0），
∴AB＝+＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD＝BD＝1，AB＝BC＝2，
∴OD＝1﹣＝，
由勾股定理得：AD＝＝，
∴A（，）．
故选：A．
6．如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
【解答】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0，
所以关于x的不等式kx﹣2b＞0的解集是x＜3，
所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3，
即：x＜4，
故选：D．
二．填空题（共9小题）
7．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为 3 ．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
∵S△BEC＝BE•CD，且CD＝12，且△BCE的面积为48，
∴48＝，
∴BE＝8，
∴DE＝8﹣5＝3，
∵CE为△ACD的角平分线，DE⊥CD，EF⊥AC，
∴EF＝DE＝3，即点E到AC的距离为3．
故答案为：3．
8．如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 （5﹣2，0） ．
【解答】解：如图，过点B作BT⊥BC，使得BT＝AB，连接AT，CT．
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO＝4，OB＝OA＝2，
∵TB⊥BC，
∴∠TBC＝90°，
∴∠TBA＝60°，
∵BT＝BA，
∴△ABT是等边三角形，
∴AT＝AB，∠BAT＝60°，
∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠BAT＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠TAC，
在△BAD和△TAC中，
，
∴△BAD≌△TAC（SAS），
∴BD＝CT＝，
在Rt△BCT中，BC＝＝＝5，
∴OC＝BC﹣OB＝5﹣2，
∴C（5﹣2，0）．
9．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝ 40° ．
【解答】解：连接OA，
∵∠BOC＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴AO＝BO，AO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，
故答案为：40°．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为 （1，﹣4） ．
【解答】解：作AC⊥x轴于C，
∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），
∴AC＝2，BC＝3+1＝4，
把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，
∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2，
∴点A′的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为 ．
【解答】解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF，
∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF，
在△MAN和△FAN中
∴△MAN≌△FAN，
∴MN＝NF，
∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，
∴∠FCN＝90°，
∵CF＝BM＝1，CN＝3，
∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝，
故答案为：．
12．如图，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'与AD交于点E．若AD＝20cm，AB＝5cm，则DE＝ cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由翻折的性质可知∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴EB＝ED，
设BE＝DE＝x（cm），AD＝20（cm），AB＝5（cm），则AE＝（20﹣x）（cm），
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2，
∴52+（20﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝DE＝（cm），
故答案为：．
13．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是 （2，0） ；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是 ﹣1 ．
【解答】解：（1）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴当x＝2时，y1＝0，
∴这个点的坐标是（2，0），
故答案为（2，0）；
（2）∵无论x取何值，y1＞y2，
∴y1的图象始终在y2上方，
∴两个函数的图象即两条直线平行，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ 78 °．
【解答】解：连接BO并延长至D，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠OBA，∠COD＝2∠OBC，
∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝78°，
故答案为：78．
15．中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是 （2，5） ．
【解答】解：根据题意得：
，
①+②，得x＝2，
把x＝2代入①，得8﹣y＝3，
解得：y＝5，
所以方程组的解为，
∴两直线交点坐标是（2，5），
故答案为：（2，5）．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）①如图①，点M为所作；
②如图②，点N为所作．
17．如图，已知一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图象相交于点C．
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： y＝x﹣7 ．
【解答】解：（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，﹣x+8），
当Q点在C的上方时，S△OCQ＝S△OBC﹣S△OBQ＝12，
∴×8×4﹣＝12，解得，x＝1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在C的下方时，S△OCQ＝S△OAC+S△OAQ＝12，
∴××3+＝12，解得，x＝7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，
∵C（4，3），
∴OM＝4，CM＝3，
∴PM＝4﹣m，
∵∠CPM+∠C′PN＝90°＝∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN＝∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN＝CM＝3，C′N＝PM＝|4﹣m|，
∴ON＝|3+m|，
∴C′（|3+m|，|m﹣4|），
∴点C′始终在直线上y＝x﹣7运动，
故答案为y＝x﹣7．
18．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： 12≤AQ≤20 ；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DPA＝∠PAB，
由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，
∴∠EPA＝∠PAB，
∴BP＝AB＝20，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC＝＝＝16，
∴PD＝4＝2t，
∴t＝2；
（2）①解法一：如图2，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，
∴PH＝QG＝AD＝12，
∵∠APQ＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+122＝144+PG2，
∴AQ2＝144+PG2，
∵AQ＝DG＝DP+PG，
∴（DP+PG）2＝144+PG2，
∵PD＝2t，
∴（2t+PG）2＝144+PG2，
解得：PG＝，
∵AQ＝PD+PG＝2t+＝＝t+，
∵t+＝（t﹣）2+2≥2＝12，
∴AQ＝t+≥12，
由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，
∴12≤AQ≤20；
解法二：由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，
如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ＝AD＝12，
∴12≤AQ≤20，
故答案为：12≤AQ≤20；
②存在，分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，如图3，
∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，
∵QE＝QB，PQ＝AQ，
∴QB＝AQ﹣2t，
∵AQ+BQ＝AB＝20，
∴AQ+AQ﹣2t＝20，
∴AQ＝10+t，
由①可知：AQ＝t+，
∴t+＝10+t，
解得：t＝3.6；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，
∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，
∵QE＝QB，
∴BQ＝2t﹣AQ，
∴AB﹣AQ＝2t﹣AQ，
∴AB＝2t，
∴t＝＝10（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为3.6或10．
19．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
【解答】解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，
∴PA＝PC＝CD，
∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等边三角形．
20．【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．
【解答】证明：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠FDC，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CE＝CF，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴AC平分∠DAB；
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点C作CG⊥AE，交AE的延长线于G，连接BE，
∵AC＝4，CB＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CH，
∴3×4＝5CH，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝，
∵将△CBD沿CD翻折后得到△CED，
∴EC＝BC，∠B＝∠DEC，BE⊥CD，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴BD＝AD＝CD＝DE，
∴∠AEB＝90°，∠DAC＝∠DCA，
∴AE∥CD，
∴∠GAC＝∠ACD＝∠DAC，
又∵∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，
∴△ACG≌△ACH（AAS），
∴AG＝AH＝，CG＝CH，
又∵CE＝CB，
∴Rt△CEG≌Rt△CBH（HL），
∴EG＝BH＝，
∴AE＝AG﹣EG＝．
．题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．
题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．