中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）第4章 立体几何4.3 直线与平面的位置关系4.3.1 直线与平面平行优秀教案

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）第4章 立体几何4.3 直线与平面的位置关系4.3.1 直线与平面平行优秀教案，共9页。
4.3 直线与平面的位置关系
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
5 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课是整章的重点内容，将点、直线、平面均融合在一起．通过引导学生将笔抽象为直线，将桌面抽象为平面，比较笔与桌面的不同位置，来直观感受直线与平面之间的不同位置关系，并由此总结出直线与平面的三种位置关系．在此基础上通过平面性质 2，引导学生从理论上归纳出直线与平面的三种位置关系，然后引导学生用自然语言表示出三种位置的定义，并用图形语言、符号语言来表示．教学时可以引导学生动手实验或观察教室、课桌等特殊长方体，加深对三种
位置关系的理解．
教学目标
知道直线与平面之间的三种位置关系；知道直线与平面平行的定义、判定与性质定理，能根据判定定理来证明直线与平面平行，能根据性质定理来证明直线与直线平行；知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理，能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直，能根据性质定理来证明直线与直线平行；知道直线在平面内的射影的定义，知道直线与平面所成角的定义；会找出直线在平面内的射影，会解决直线与平面所成角的简单问题；逐步培养和提升直观想象、逻辑
推理和数学运算等核心素养.
教学
重点
直线与平面平行的判定与性质定理；直线与平面垂直的判定与性质定理．
教学
难点
直线与平面垂直的判定定理、直线与平面所成角的求法．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
如图所示，将一支铅笔平放到桌面上，然后水平拿起来，再坚直放置在桌面上.在此过程中，这支铅笔(看作一条直线)与桌面分别有几个公共点？
提出
思考
结合
问题
熟悉
情境导入
引发思考
分析
回答
内容
创设学习
情境
新知探索
容易看出，当笔平放在桌面上时，它与桌面有无数多个公共点；将笔水平拿起，它与桌面没有公共点；当笔竖直放置时，它与桌面只有一个公共点.事实上，根据公理 2，当一条直线与一个平面有两个公共点时，这条直线上的所有点都在这个平面内.除此之外，直线与平面或者只有 1 个公共点，或者没有公共点.因此，直线与平面有三种 位置关系.
讲解
讲解说明
理解
思考领会
借助实例总结出直线与平面的三种位置关系
1.直线在平面内，此时直线与平面有无数个公共点.
如图(1)所示，当直线 a 在平面 α 内时，记作 a ⊆ α.
直线与平面相交，此时直线与平面只有一个公共点.如图(2)所示，当直线 b 在平面 α 相交于点 B 时，记作 b∩α=B.
直线与平面平行，此时直线与平面没有公共点.如图(3)所示，当直线 c 在平面 α 平行时，记作 c∥α .画图时,把直线画在表示平面的平行四边形外,并与平行四边形的一条边平行.
直线 l 与平面 α 相交或平行，称直线 l 在平面 α 外，
记作 l 与⊈α.
情境导入
4.3.1 共面直线
如图所示，一本打开的书的封面右边沿所在直线 m 已经不在书内页所在平面 α 内，那么，m 与 α 是相交还是平行呢？
观察发现，书脊所在直线 n 是封
面所在平面与书内页所在平面的交
提出问题引发思考
观察思考讨论交流
引出异面直线概念
线，且 m∥n.
能否通过 m∥n 来判断直线 m 与平面 α 之间的位置关系呢？
一般情形为，m⊈α，n⊆α，且 m∥n，如图(1)所示.
讲解
理解
该定
展示图形提示
观察特征交流
理实质是通过证明
直线
新知探索
假设直线 m 与平面 α 相交，记交点为点 P，如图(2)所示. 由 m∥n 知 P∉n.根据异面直线判定定理，m 与 n 是异面直线，这与 m∥n 矛盾.故直线 m 与平面 α 不相交，从而 m∥α.
于是有下面的结论：
直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条平面外直线
说明
说明强调
讨论
领会要点
与直线平行得到直线与平面
平行
与这个平面平行.
例 1如图所示，在棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中：
与平面 AC 平行的棱所在直线有哪些？
判断 AA1 与平面 DBB1D1 的位置关系.
解 (1)因为棱柱各侧面均为平行四边形，所以 A1B1∥AB.
又因为 A1B1⊆平面 AC，AB ⊆平面 AC，所以
A1B1∥平面 AC；同理可知，直线 B1C1、C1D1、A1D1 均与平面 AC 平行.
因此，与平面 AC 平行的棱所在直线有 A1B1、B1C1、
提问
引导
思考
分析
例 1
在回
顾棱
讲解
解决
柱基
典型例题
强调
指导
交流
主动
础上初次
利用
学习
求解
判定
定理
解决
问题
C1D1、A1D1.
(2)因为 AA1∥BB1，且 AA1⊈平面 DBB1D1，BB1⊆平面 DBB1D1，所以 AA1//平面 DBB1D.
例 2
在回顾三
角形
例 2 在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，如图所示，求证:EF//平面 BCD.
证明 连接 E、F.因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点，所以 EF//BD.又因为 E⊈平面 BCD，BD⊆平
面 BCD，所以 BF//平 面 BCD.
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
中位线定理基础上巩固提升
探究与发现
引导
情境
既然直线与直线的平行可以用来判定直线与平面平行，那
引发
讨论
学生
导入
么能否利用直线与平面的平行来判定直线与直线平行
思考
交流
发现
呢？
问题
如图(1)所示， m∥α， m⊆β，α∩β=n.那么，m 与 n 是
什么位置关系？
讲解
理解
解决
设定
新知
展示图形提示说明
观察特征交流讨论
问题引出性质定
理，
探索
显然，m 与 n 共面于平面 B 内，则 n 与 n 要么相交，要么平行.若 m 与 n 相交，且交点为 P，如图(2)所示，则 P 也是直线 m 与平面 α 的交点，这与条件 m//α 相矛盾.所以 m//n.于是，有下面的结论：
直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个
平面平行，那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交
说明强调
领会要点
反证法提升逻辑推理核
心素
线与这条直线平行.
养
例 3 已知 n //m，m//α，n⊈ α，求证：n //α.
证明 过直线 n 作平面 β 交平面 α 于直线 l，如图所示.
因为 m//α，根据直线与平面平行的性质定理，可知 m//l .又 m //n，故 n//l.
根据直线与平面平行的判定定理，由 n⊈l，l⊆α，可知
n //α.
提问
思考
巩固
引导
分析
定
理，
讲解
解决
引导
典型
强调
交流
学生
例题
指导
主动
作辅
助平
求解
面解
决问
题
巩固练习
练习 4.3.1
1. 判断下列命题的真假,并说明理由.
如果 m//n，n⊆α，那么 m//α；
如果 m//n，m⊈α，那么 m//α；
提问
思考
及时掌握学生
如果 m//α，n⊆α，那么 m//n;
如果 m//α，m⊆β，α∩β=n，那么 m//n.
2. 填空题.
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面有个公共点；
如果一条直线与一个平面有两个公共点，那么它们的位置关系是，此时直线与平面面共有个公共点：
如果一条直线与一个平面相交，那么它们有个公共点；
如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的条直线平行.
如图所示，四面体 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、
AD 上的点，且 AE= 1 AB，AF= 1 AD.
33
求证：EF∥平面 ECD.
已知正方体 ABCD-A1B1C1D1.求证：
CD∥平面 A1C1；
A1C1∥平面 AC.
5. 某中职学校机械加工技术专业学生在加工长方体 ABCD-A1B1C1D1 形状的零件时，如图所示，需要沿着由上底面 A1C1 上的点 E 与棱 AD 确定的平面将零件切开.切削前需在长方体相应的面上画出轮廓线，试问该怎样画这个轮廓线？经过点 E 所画的直线与底面 AC 是什么位置关系？
巡视
动手
掌握
求解
情况
查漏
补缺
指导
交流
4.3.2 直线与平面垂直
某型号无人机如图所示，其每根螺旋桨(如 BC)与旋转轴 AB 均垂直，垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为 α，显然，无人机的每根螺旋桨都在平面 α
内.试问，平面 α 与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系？
提出
思考
从线
问题
面垂
引发
分析
直概
情境
思考
回答
念的
导入
的形
成过
程引
入
探索新知
容易看出，平面 α 内经过点 B 的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面 α 内不过点 B 的任意一条直线，它一定与平面 α 内过点 B 的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知，这条直线也与旋转轴 AB 垂直.因此，平面 α 内的每一条直线都与 AB 垂直.
据此，有如下定义：
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足.直线 l 与平面 α 垂直记作 l ⊥α.
如图所示，若 l⊥α，m⊆α，根据直线与平面垂直的定义可知 l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法.
在日常生活和生产中，常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如，国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是，判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的.
经过观察研究，人们发现以下判定直线与平面垂直的方法：
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.如图所示，若 m、n 是平面 α 内的两条相交直线，且
直线 l⊥m，l⊥n，则 l⊥α.
讲解
说明
展示图像引发思考
理解
领会
观察图像分析问题
通过 “线线垂直”来说明 “线面垂直”
利用三角形全等的证明过程较为复 杂，教材对判定定理未作证明
典型例题
例 4四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体 ABCD，如图所示.求证：BD⊥AC.
证明 设 BD 的中点为 O，连接 AO 、CO.
因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
例 4引导学生认识在空间怎样通过作辅助线来建立辅助
AO⊥BD，CO ⊥BD.
又 AO∩CO=O，且 AO、CO ⊆平面 AOC，故 BD⊥平面 AOC.
根据直线与平面垂直的定义，由 AC ⊆平面 AOC，可知 BD⊥AC.
例 5 证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知: m∥n，m⊥α，如图所示.
求证: n⊥α.
证明 在平面 α 内任取两条相交直线 c 和 d ，因为 m⊥ α,c⊆α，d ⊆ α，所以 m⊥c，m⊥d. 又 m∥n，故 n⊥c， n⊥d，根据直线与平面垂直的判定定理，由 c 与 d 相交， n⊥α.
温馨提示
例 5 是直线与平面垂直的另一个判定定理.
可以证明，例 5 中所述命题的逆命题也成立.如图所示若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n.
直线与平面垂直的性质定理如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
根据该定理可以证明：
在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂
直.
面
例 5巩固线面垂直判定定理的同时，介绍了线面垂直的另一种判定方法，可以看作线面垂直第二判定定理
典型例题
例 6 如图所示，已知一条直线 l 和平面 α 平行，过直线 l上任意两点 A、B 分别引平面 α 的垂线 AA'、BB'，垂足分别为 A'、B'. 求证: AA'=BB'.
提问引导
讲解强调
指导分析
思考分析
解决交流
主动求解
例 6为学有余力学生思考 “线面平
行”
证明 因为 AA'⊥α，BB'⊥α，所以 AA'∥ BB'.
设经过直线 AA'、BB'的平面为 β，则 β∩α=A'B'.
由 l∥α，可知 l∥A'B' ，因此四边形 AA'B'B 为平行四边形，所以 AA'=BB'.
距离打下基础
巩固练习
练习 4.3.2
1.判断下列命题的真假.
如果直线 m 垂直于平面 α 内的无数条直线，那么
m⊥α；
如果 l⊥m，且 m⊆α，n⊆α，那么 l⊥α；
如果 l⊥α，m⊥α，那么 l⊥m.
已知如图，PO⊥α，垂直为 O， PA∩α=A，m⊆α，且 m⊥OA.求证: m⊥PA.
如果 l⊥α，m//α，求证: l⊥m.
己知线段 AB、CD 位于平面 α 的同侧，AB ⊥α，
DC⊥α，垂足分别为 B、C，AB=DC.求证: AD=BC.
某中职学校建设新校区时，修建了升旗台，用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时，要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面
垂直.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
4.3.3 直线与平面所成的角
我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示，斜拉索 AC 所在的直线与桥面所在的平面口相交，但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？
提出问题
引发思考
观察思考
交流回答
感受直线与平面所成角的情况，
透课程思政
探索新知
如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.
如图所示，直线 m 是平面 α 的斜线，点 P 为斜足， A∈m 且 AB⊥α,垂足为 B,则 BP 是斜线 m 在平面 α 内的射影.显然, 直线 AP 与射影 BP 所成的角 θ 反映了斜线相
对于平面的倾斜程度.
讲解
说明
理解
思考
将 “线
面”问题转化为 “线
线”
一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.
规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是 0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角

为 于是,直线与平面所成的角的范围为0，  .
22 
展示图像帮助思考
讲解强调
观察图像理解要点
学习领会
问 题， “降
维”解决
典型例题
例 7 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a.
找出 BC1 在底面 ABCD 上的射影；
求 BC1 与底面 ABCD 所成角的大小；
求 BD1 与底面 ABCD 所成角的正切值.
解 (1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1 的各个面都是正方形，所以 CC1⊥DC，CC1⊥BC，且 DC∩BC=C，从而， CC1⊥平面 ABCD 且垂足为 C.
又 BC1∩平面 ABCD=B，故 BC 是 BC1 在平面 ABCD 上的射影.
由(1)知，BC1 与底面 ABCD 所成的角是∠C1BC.因

为 BC1 是正方形 BCC1B1 的对角线，所以∠C1BC= .于是，
4

BC1 与底面 ABCD 所成角为 .
4
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，因为 DD1⊥AD， DD1⊥DC，且 AD∩DC=D，所以 DD1⊥底面 ABCD，从而 BD 是 BD1 在平面 ABCD 上的射影，且 DD1⊥BD.
因为 DD1=a，BD= 2 a，所以 tanD1BD= DD1 2 ，
BD2
即 BD1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2 .
2
例 8 中国于 2015 年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示，为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响，牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点 C 的距离是 2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成
提问引导
讲解强调
指导分析
提问引导
思考分析
解决交流
主动求解
思考分析
例 7在学生熟悉的正方体中习得线面所成角的概念及求法，归纳出求线面所成角的三个基本步 骤： “找
”、
“证
”、
“求
”
例 8是线面所
成角
的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点 B 到点 C 的距离.解 由题意可知电杆与地面是垂直
的，所以 BC⊥AC，且 AC 是 AB 在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.
在RtΔABC 中，因为 AC=2.5m，所以 BC=ACtan∠BAC=
2.5tan60°= 5  3= 5 3 (m) .
22
因此，牵拉绳与电杆的连接处点 B 到点 C 的距离是
5 3 m .
2
讲解强调
指导分析
解决交流
主动求解
在实际生活中的应用，同时实施课程思政
巩固练习
练习 4.3.3
观察教室墙面，从中找出直线与平面之间三种位置关系的情形.
画出符合下列描述的一个图形，并用符号表示出
来.
直线 l 与平面 α 平行，直线 m 在平面 α 内；
点 M 在直线 l 上，且在平面 β 内，l 不在平面 β 内；
直线 AB 与平面 γ 相交于点 A，直线 BC 垂直于平面 γ，且垂足为 C.
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 找出对角线 AC1 分别在六个面上的射影.
己知 AB∩α=A, 线段 AB 的长是它在平面 α 上射影的 2 倍, 求直线 AB 与平面 α 所成的角的大小.
在长正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求：
AD1 与平面 ABCD 所成的角的大小；
AC1 与平面 BCC1B1 所成的角的正切值.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习