高教版（2021）拓展模块一 上册4.3.1 直线与平面平行教案

这是一份高教版（2021）拓展模块一 上册4.3.1 直线与平面平行教案，共10页。

授课题目
4.3直线与平面的位置关系
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课时长
5课时
授课类型
新授课
教学提示
本课是整章的重点内容，将点、直线、平面均融合在一起．通过引导学生将笔抽象为直线，将桌面抽象为平面，比较笔与桌面的不同位置，来直观感受直线与平面之间的不同位置关系，并由此总结出直线与平面的三种位置关系．在此基础上通过平面性质2，引导学生从理论上归纳出直线与平面的三种位置关系，然后引导学生用自然语言表示出三种位置的定义，并用图形语言、符号语言来表示．教学时可以引导学生动手实验或观察教室、课桌等特殊长方体，加深对三种位置关系的理解．
教学目标
知道直线与平面之间的三种位置关系；知道直线与平面平行的定义、判定与性质定理，能根据判定定理来证明直线与平面平行，能根据性质定理来证明直线与直线平行；知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理，能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直，能根据性质定理来证明直线与直线平行；知道直线在平面内的射影的定义，知道直线与平面所成角的定义；会找出直线在平面内的射影，会解决直线与平面所成角的简单问题；逐步培养和提升直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
教学重点
直线与平面平行的判定与性质定理；直线与平面垂直的判定与性质定理．
教学难点
直线与平面垂直的判定定理、直线与平面所成角的求法．
教学环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
如图所示，将一支铅笔平放到桌面上，然后水平拿起来，再坚直放置在桌面上.在此过程中，这支铅笔(看作一条直线)与桌面分别有几个公共点？
提出
问题

引发
思考
思考

分析

回答
结合熟悉内容创设学习情境
新知探索
容易看出，当笔平放在桌面上时，它与桌面有无数多个公共点；将笔水平拿起，它与桌面没有公共点；当笔竖直放置时，它与桌面只有一个公共点.事实上，根据公理2，当一条直线与一个平面有两个公共点时，这条直线上的所有点都在这个平面内.除此之外，直线与平面或者只有1个公共点，或者没有公共点.因此，直线与平面有三种 位置关系.

1.直线在平面内，此时直线与平面有无数个公共点. 如图(1)所示，当直线a在平面α内时，记作a ⊆ α.
2. 直线与平面相交，此时直线与平面只有一个公共点.如图(2)所示，当直线b在平面α相交于点B时，记作b∩α=B.
3. 直线与平面平行，此时直线与平面没有公共点. 如图(3)所示，当直线c在平面α平行时，记作c∥α .画图时,把直线画在表示平面的平行四边形外,并与平行四边形的一条边平行.
直线l与平面α相交或平行，称直线 l 在平面α外，记作l与⊈α.
讲解


讲解说明
理解


思考
领会
借助实例总结出直线与平面的三种位置关系
情境导入
4.3.1 共面直线
如图所示，一本打开的书的封面右边沿所在直线m已经不在书内页所在平面α内，那么，m与α是相交还是平行呢？
观察发现，书脊所在直线n是封面所在平面与书内页所在平面的交线，且m∥n.
能否通过m∥n来判断直线m与平面α之间的位置关系呢？

提出问题
引发思考

观察
思考
讨论
交流

引出异面直线概念
新知探索
一般情形为，m⊈α，n⊆α，且m∥n，如图(1)所示.

假设直线m与平面α相交，记交点为点P，如图(2)所示. 由m∥n知P∉n.根据异面直线判定定理，m与n是异面直线，这与m∥n矛盾.故直线 m 与平面α不相交，从而m∥α.
于是有下面的结论：
直线与平面平行的判定定理  如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条平面外直线与这个平面平行.
讲解


展示图形提示说明




说明强调

理解


观察
特征
交流
讨论




领会
要点

该定理实质是通过证明直线与直线平行得到直线与平面平行

典型例题
例1 如图所示，在棱柱ABCD-A1B1C1D1中：
(1)与平面AC平行的棱所在直线有哪些？
(2)判断 AA1与平面DBB1D1的位置关系. 
解 (1)因为棱柱各侧面均为平行四边形，所以A1B1∥AB. 
又因为A1B1⊆平面AC，AB ⊆平面AC，所以
A1B1∥平面AC；同理可知，直线B1C1、C1D1、A1D1均与平面AC平行.
因此，与平面AC平行的棱所在直线有A1B1、B1C1、C1D1、A1D1. 
(2)因为 AA1∥BB1，且AA1⊈平面 DBB1D1，BB1⊆平面DBB1D1，所以AA1//平面DBB1D.

例2 在空间四边形ABCD 中，点E、F分别是AB、AD 的中点，如图所示，求证:EF//平面BCD. 
 证明 连接E、F.因为E、F分别是 AB、AD 的中点，所以EF//BD. 
又因为E⊈平面BCD，BD⊆平面BCD，所以BF//平 面 BCD.
提问
引导

讲解
强调

指导学习








提问
引导

讲解
强调

思考
分析

解决
交流

主动
求解








思考
分析

解决
交流

例1在回顾棱柱基础上初次利用判定定理解决问题
例2在回顾三角形中位线定理基础上巩固提升
情境导入
探究与发现
既然直线与直线的平行可以用来判定直线与平面平行，那么能否利用直线与平面的平行来判定直线与直线平行呢？

引发思考

讨论
交流
引导学生发现问题
新知探索
如图(1)所示， m∥α， m⊆β，α∩β=n.那么，m与n是什么位置关系？

显然，m与n共面于平面B内，则n与n要么相交，要么平行.若m与n相交，且交点为P，如图(2)所示，则P也是直线m与平面α的交点，这与条件m//α相矛盾.所以m//n.于是，有下面的结论：
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行.
讲解


展示图形提示说明




说明强调

理解


观察
特征
交流
讨论




领会
要点

解决设定问题引出性质定理，反证法提升逻辑推理核心素养
典型例题
例3 已知n //m，m//α，n⊈ α，求证：n //α.

证明 过直线n 作平面β交平面α于直线l，如图所示.
因为m//α，根据直线与平面平行的性质定理，可知m//l .又 m //n，故n//l.
根据直线与平面平行的判定定理，由n⊈l，l⊆α，可知n //α.
提问
引导

讲解
强调

指导
思考
分析

解决
交流

主动
求解
巩固定理，引导学生作辅助平面解决问题
巩固练习
练习4.3.1
1. 判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)如果m//n，n⊆α，那么m//α；
(2)如果m//n，m⊈α，那么m//α；
(3)如果m//α，n⊆α，那么m//n;
(4)如果m//α，m⊆β，α∩β=n，那么m//n. 
2. 填空题.
(1) 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面有 个公共点；
(2) 如果一条直线与一个平面有两个公共点，那么它们的位置关系是 ，此时直线与平面面共有 个公共点： 
(3)如果一条直线与一个平面相交，那么它们有 个公共点；
(4)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的 条直线平行.
3. 如图所示，四面体ABCD中，点E、F分别是 AB、AD 上的点，且AE=AB，AF=AD.
求证：EF∥平面ECD.

4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求证：
(1) CD∥平面A1C1；
(2) A1C1∥平面AC.
5. 某中职学校机械加工技术专业学生在加工长方体 ABCD-A1B1C1D1形状的零件时，如图所示，需要沿着由上底面A1C1上的点E与棱AD确定的平面将零件切开.切削前需在长方体相应的面上画出轮廓线，试问该怎样画这个轮廓线？经过点E所画的直线与底面AC 是什么位置关系？


提问


巡视




指导

思考


动手
求解



交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
4.3.2 直线与平面垂直
某型号无人机如图所示，其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直，垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α，显然，无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问，平面α与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系？
提出
问题
引发
思考
思考

分析
回答
从线面垂直概念的的形成过程引入
探索新知
容易看出，平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面α内不过点B的任意一条直线，它一定与平面α内过点B的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知，这条直线也与旋转轴AB 垂直.因此，平面α内的每一条直线都与AB 垂直.
据此，有如下定义：
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.
如图所示，若l⊥α，m⊆α，根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法.

在日常生活和生产中，常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如，国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是，判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的.
经过观察研究，人们发现以下判定直线与平面垂直的方法：
直线与平面垂直的判定定理  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
如图所示，若m、n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥m，l⊥n，则l⊥α.

讲解





说明




展示图像引发思考



理解





领会




观察
图像
分析
问题


通过“线线垂直”来说明“线面垂直”


利用三角形全等的证明过程较为复杂，教材对判定定理未作证明
典型例题
例4 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知
正四面体ABCD，如图所示.求证：BD⊥AC.

证明 设BD的中点为O，连接 AO 、CO. 
因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD，CO ⊥BD.
又AO∩CO=O，且AO、CO ⊆平面AOC，故BD⊥平面AOC.
根据直线与平面垂直的定义，由AC ⊆平面AOC，可知BD⊥AC.

例5  证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 
已知: m∥n，m⊥α，如图所示.
求证: n⊥α.

证明 在平面α内任取两条相交直线c和d ，因为 m⊥α,c⊆α，d ⊆ α，所以m⊥c，m⊥d. 又m∥n，故n⊥c，
n⊥d，根据直线与平面垂直的判定定理，由c与d相交，n⊥α.

温馨提示
例5是直线与平面垂直的另一个判定定理.

可以证明，例5中所述命题的逆命题也成立.如图所示若m⊥α，n⊥α，则m∥n.

直线与平面垂直的性质定理  如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 
根据该定理可以证明：
在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 
提问
引导

讲解
强调

指导
思考
分析

解决
交流

主动
求解
例4引导学生认识在空间怎样通过作辅助线来建立辅助面






例5巩固线面垂直判定定理的同时，介绍了线面垂直的另一种判定方法，可以看作线面垂直第二判定定理






典型例题
例6 如图所示，已知一条直线l和平面α平行，过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA'、BB'，垂足分别为A'、B'. 求证: AA'=BB'. 

证明 因为 AA'⊥α，BB'⊥α，所以AA'∥ BB'.
设经过直线AA'、BB'的平面为β，则β∩α=A'B'. 
由l∥α，可知l∥A'B' ，因此四边形AA'B'B为平行四边形，所以AA'=BB'. 
提问
引导

讲解
强调

指导分析
思考
分析

解决
交流

主动
求解
例6为学有余力学生思考“线面平行”距离打下基础

巩固练习
练习4.3.2
1.判断下列命题的真假.
(1)如果直线m垂直于平面α内的无数条直线，那么m⊥α；
(2)如果l⊥m，且m⊆α，n⊆α，那么l⊥α；
(3)如果l⊥α，m⊥α，那么l⊥m.
2.已知如图，PO⊥α，垂直为O， PA∩α=A，m⊆α，且m⊥OA.求证: m⊥PA.

3.如果l⊥α，m//α，求证: l⊥m.
4.己知线段AB、CD 位于平面α的同侧，AB ⊥α， DC⊥α，垂足分别为 B、C，AB=DC.求证: AD=BC.
5.某中职学校建设新校区时，修建了升旗台，用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时，要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面垂直.

提问


巡视




指导

思考


动手
求解



交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
4.3.3 直线与平面所成的角
我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示，斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交，但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？

提出
问题



引发
思考
观察
思考



交流
回答
感受直线与平面所成角的情况，渗透课程思政
探索新知
如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.
如图所示，直线m是平面α的斜线，点P为斜足，
A∈m且AB⊥α,垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线 AP 与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度. 

一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角. 
规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为于是,直线与平面所成的角的范围为. 
讲解


说明




展示图像帮助思考


讲解强调

理解


思考




观察
图像
理解
要点


学习
领会

将“线面”问题转化为“线线”问题，“降维”解决

典型例题
例7如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)找出BC1在底面ABCD上的射影；
(2)求BC1与底面ABCD所成角的大小；
(3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值.

解 (1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都是正方形，所以CC1⊥DC，CC1⊥BC，且DC∩BC=C，从而，
CC1⊥平面ABCD且垂足为C.
又BC1∩平面ABCD=B，故BC是BC1在平面ABCD上的射影.
(2)由(1)知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C1BC.因为BC1是正方形BCC1B1的对角线，所以∠C1BC=.于是，BC1与底面ABCD所成角为.
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为DD1⊥AD，
DD1⊥DC，且AD∩DC=D，所以DD1⊥底面ABCD，从而BD是BD1在平面ABCD上的射影，且DD1⊥BD.
因为DD1=a，BD=a，所以tanD1BD=，即BD1与底面ABCD所成角的正切值是.

例8 中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示，为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响，牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点C的距离是2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.
解 由题意可知电杆与地面是垂直的，所以 BC⊥AC，且AC是AB在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.
在RtΔABC中，因为AC=2.5m，所以BC=ACtan∠BAC=
2.5tan60°=.
因此，牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离是 .
提问
引导

讲解
强调

指导分析






















提问
引导


讲解
强调



指导分析
思考
分析

解决
交流

主动
求解






















思考
分析


解决
交流



主动
求解
例7在学生熟悉的正方体中习得线面所成角的概念及求法，归纳出求线面所成角的三个基本步骤：“找”、“证”、“求”

例8是线面所成角在实际生活中的应用，同时实施课程思政


巩固练习
练习4.3.3
1. 观察教室墙面，从中找出直线与平面之间三种位置关系的情形.
 2. 画出符合下列描述的一个图形，并用符号表示出来. 
(1)直线l与平面α平行，直线m 在平面α内； 
(2)点M在直线l上，且在平面β内，l不在平面β内；
(3)直线AB与平面γ相交于点 A，直线 BC 垂直于平面γ，且垂足为C. 
3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, 找出对角线AC1分别在六个面上的射影. 
4. 己知AB∩α=A, 线段AB 的长是它在平面α上射影的2倍, 求直线 AB 与平面α所成的角的大小.
5.在长正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求： 
(1) AD1 与平面ABCD所成的角的大小；
(2) AC1 与平面BCC1B1所成的角的正切值.

提问


巡视




指导

思考


动手
求解



交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养
学生
总结
学习
过程
能力
布置作业
1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究
延伸学习