2025高考数学一轮复习-第9章-圆锥曲线-第6讲 直线与抛物线的位置关系【课件】

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课程标准　1.能解决直线与抛物线相交、相切时等有关问题．　2.在问题的解决过程中，进一步体会函数与方程的思想．
1．直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ___0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ____0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ____0.特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
(3)过点(－1，0)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线有2条．(　　)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)A．2　　　　　　　B．4C．8 D．16
直线与抛物线的位置关系判断
例1　过点(0，3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________________________．
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．注意二次项系数为零的情况．
(非焦点弦)弦长问题及中点弦问题
角度1　(非焦点弦)弦长问题例2　已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cs ∠AFB＝________．
1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p.若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
角度2　中点弦问题例3　设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)
解决有关中点或中点弦问题常用点差法．
直线与抛物线的综合问题
例4　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．