中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.1 向量的概念优秀教案

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.1 向量的概念优秀教案，共9页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。

教学重难点
2．能利用有向线段表示向量，能举例说明向量的大小和方向．
教学重点：向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．
教材分析
教学难点：向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．
教学工具
本课通过实际例引入向量的概念，进而介绍相关一些基本概念，为后续学习做好准备．本课概念较多，应结合具体例子引导学生在熟悉的环境中，分析、提炼向量的两个要素，了解向量概念；帮助学生用位移、力、速度等物理量理解相关知识，并数形结合进行说明．
教学课件
教学过程
（一）情境导入
我国是海洋大国，海域辽阔、资源丰富．如图所示，某海洋科考船从 A 点沿东北方向航行 100 n mile 到达 B 点．如果船 S 舰沿其他方向航行 100 n mile，能不能到达 B 点呢？
【设计意图】创设情境设置问题引导学生发现并抽象出向量相关知识渗透课程思政.
（二）探索新知
可以看出，船从 A 点出发沿其他方向航行 100 n mile 不能到达 B 点．
事实上，图中带箭头的线段 AB 包含两个要素：航程 100 n mile ，航向东北方向．
物理学中，把“船沿东北方向航行 100 nmile”称为船的位移．
生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．
在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量．向量常用小写黑体英文字母 a、b、
c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a 、b 、c 、…一些软件中也是用字母上方加箭头来表示向量．
除了位移，生活中常见的向量还有速度、加速度、力等．
向量 a 的大小也称为该向量 a 的模，记为|a|．模为 1 的向量称为单位向量．
规定：模为零的向量为零向量，记作 0 或
0 ．零向量的方向是任意的．

非零向量的方向如何表示呢？
平面中由两点 A、B 所确定的线段 AB有两个方向，即以点 A 为 起点、点 B 为终点的方向和以点 B 为起点、点 A 为终点的方向．
一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．
以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB．
习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．
“情境与问题”中，有向线段直观地表示了船的位移，其长度表示船位移的大小，其箭头指向表示船位移的方向．
一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． 这也是向量的几何表示．
【设计意图】结合实际生活说明向量与数量的区别，介绍了向量的符号表示.
（三）典例剖析
例1. 2022 年 2 月，我国成功举办了第 24 届冬季奥林匹克运动会，并取得历史最好成绩．冰球是最受关注的项目之一．如图所示是按 1:1000 比例尺绘制的甲运动员带球、传球的示意图，甲运动员从点 A 带球到了点 B，然后将球传给了位于点 C 的乙运动员．尝试用有向线段分别表示冰球、甲运动员的位移，并指出它们的大小和方向（精确到 1m）．
解 如右上图所示，用有向线段AB 表示甲运动员的位移．在图中测量可得，|AB|≈2.5cm．因此，甲运动员位移的实际大小| AB |≈2.5cm×1000=25m，方向是正北．
用有向线段AC表示冰球的位移．在图中测量可得，|AC|≈2.1cm．因此，冰球位移的实际大小| AC |≈2.1cm×1000=21m，方向是正东．
例2.如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量．
解 向量a：|a|=2²+2²=22，东北方向；
向量b：|b|=2²+2²=22，东北方向；
向量c：|c|=1²+1²=2，西南方向；
向量d：|d|=1²+1²=2，东北方向；
向量m：|m|=2，正北方向；
向量i：|i|=1，正东方向；
向量j：|j|=1，正北方向．
其中的单位向量有： i、 j．
例 2 中的下列四组向量,每组的两个向量之间有什么关系？
（1）i 与 j；（2）a 与 d；（3）a 与 b； （4）c 与 d．
向量 i 与 j 的模相等，但是方向不同，它们是不同的向量．
向量 a 与 d 的模不相等，但是方向相同，它们也是不同的向量．
向量 a 与 b 不仅模相等，而且方向相同．考虑到向量是由大小和方向所确定的，我们把 a 与 b 看作一样的向量．
向量 c 与 d 的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系．
一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量．向量 a 与 b 相等时，记 a=b．
与非零向量 a 的模相等、方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作−a．
规定：零向量的相反向量仍是零向量．进一步观察还可以发现，向量 a 与 d 的方向相同，向量 c 与 d 的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行．
一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量 a 与 b 平行时，记 a∥ b．
规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a．
进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行．
对于前面图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l ．然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA = a ， OC = c ， OD = d ，如右图所示．这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此，平行向量也称共线向量．（利用课件演示）
例3. 如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中符合下列要求的所有向量：
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量.
解: （1）与向量相等的向量有：
（2）与向量共线的向量有：
【设计意图】例1巩固向量的概念及要素强化向量的直观表达，通过作图等方式体会向量的几何特征；例2强化了向量的两个要素及单位向量等概念, 及时归纳总结三者之间的区别与联系，提醒学生分析平行向量是思考要全面.
（四）巩固练习
1．下列说法正确的是( )
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
解:平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选C．
2．如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：
（1）图中与共线的向量有 ；
（2）图中与相等的向量有 ；
（3）图中与的模相等的向量有 .
解:（1）图中与共线的向量有；
（2）图中与相等的向量有；
（3）图中与的模相等的向量有.
3.如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，
∴.
4.在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.
解:A地至B，C两地的位移分别用表示，图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：
，所以A地至B实际距离为：，
A地至C地的实际距离为：.
5．下列说法错误的是（ ）
A．B．，都是单位向量，则
C．若，则D．零向量方向任意
解:对于A，，A正确，
对于B, ，是单位向量，则，B正确，
对于C，向量有大小和方向，不可以比较大小，故C错误，
对于D，零向量是模长为0，方向任意的向量，D正确，
故选：C
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺.
（五）归纳总结
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（六）布置作业
练习2.1；习题2.1