人教版（2024）八年级下册第十九章 一次函数19.1 变量与函数19.1.1 变量与函数表格教案及反思

这是一份人教版（2024）八年级下册第十九章 一次函数19.1 变量与函数19.1.1 变量与函数表格教案及反思，共5页。教案主要包含了要点探究，课堂小结，作业布置等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
初中数学
年级
八年级
学期
春期
课题
19.1《变量与函数》
教科书
书 名：《义务教育教科书数学》教材
出版社：人民教育出版社
教学目标
结合实例，让学生参与变量的发现和函数概念的生成过程,理解变量与常量及函数的概念.
2. 能在具体情境中找出变量，并会判断两个变量间是否存在函数关系.
3. 探索实际问题中的变化规律，经历“找出变量，建立函数模型表示变量之间的单值对应
关系，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
在利用函数刻画实际问题中变化规律的过程中，渗透运动变化与联系对应的思想，体会
数学建模的思想，领略数学知识背后的人文素养.
教学内容
教学重点：
1.理解变量和常量的概念。
2.函数概念的生成过程。
教学难点：
理解函数概念的本质。
教学过程
引入
请同学们观看多媒体的几幅图片，卫星绕地球，风云变幻的大气，海拔不同，温度迥异的高山，奔驰的汽车，这些都体现了一个“变”字，万物皆变，从数学角度，我们常用变量与函数来刻画各种运动变化，这节课我们就来学习《变量与函数》.
二、要点探究
探究点1：常量与变量
问题1：一辆汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
(1)请同学们根据题意填写下表：
t/小时
1
2
3
4
5
6
s/千米
(2)试用含t的式子表示s,则s= ；
(3)在以上这个过程中，变化的量有 ，不变化的量有__________．
问题2：每张电影票的售价为40元，如果2人进去，门票为80元，3人进去，门票为120元，5人进去，门票为200元，设一共进去x人，门票的总费用y元．
试用含x的式子表示y,则y= ；
(2)在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
(3)这个问题反映了门票总费用____随进去人数数_____的变化过程．
问题3：你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?
r
10
20
30
S
(1)填空：
当圆的半径为10cm时，圆的面积为 ；
当圆的半径为20cm时，圆的面积为 ；
当圆的半径为30cm时，圆的面积为 ；
当圆的半径为r时，圆的面积S= ；
(2)在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
要点归纳：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ，数值始终不变的量为 .在这些变化过程中，有些量发生变化，有些量不发生变化，我们把在某一变化过程中，可以取不同数值的量称作变量；在问题的研究过程中，取值固定不变的量称作常量。为了研究这些变化的量之间的依赖关系，数学中逐渐形成了函数概念.
探究点1：函数
要想更好地理解函数的概念，我们先来了解一下函数的由来。清朝数学家李善兰在翻译《代数学》是首次将“functin”译做“函数”，“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数。”意思是“一个量随着另一个量的变化而变化，刻画两个两之间的关系就产生了函数”。到底什么是函数，我们通过几个实际的例子来理解一下。
问题1：从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．
①这天的2时30分、9时和14时的气温分别为少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
②这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
③这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
在以上变化过程中存在着两个变量t和T,任给一个时间t的确定值，温度T都有唯一的一个值和它对应。
问题2：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值：
波长 越大，频率f就_____．任给一个波长λ的确定值，频率ƒ都有唯一的一个值和它对应。
问题3：下面问题中变化的量和不变的量：
圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？可以看出：圆的半径越大，它的面积就 。
任给一个半径r的确定值，面积S都有唯一的一个值和它对应。
要点归纳：
思考：（1）在上述每个变化过程中，变量是什么？
（2）在每个变化过程中，是哪一个量随另一个量的变化而变化的？
（3）当一个变量取某个确定值时，另一个变量的值如何？
在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称 y是x的函数。如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
同学们，从你身边熟悉的实例中，寻找一个变化过程，分析一下存在的函数关系，加深你对函数的理解.可以按下暂停想一想。
下面通过一道例题对函数的概念加深理解。（例1）（练习）
探究点3：函数的三种表示方法
下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标表示时间t，纵坐标表示心脏部位的生物电流y，在这个变化过程中存在函数关系吗？这个变化过程中，变量是时间t和生物电流y；生物电流y随着时间t的变化而变化；观察图象可得出：当t取某个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以可称t是自变量，y是t的函数.这种表示方法称作图像法；下面的我国人口数统计表中，年份与人口数的对应关系，分析这个变化过程中,存在函数关系吗？这个变化过程中，变量是年份和人口数；人口数随着年份的变化而变化；观察表格可得出：当年份取某个确定的值时，人口数都有唯一确定的值与其对应，所以可称年份是自变量，人口数是年份的函数。这种表示方法称作列表法；前面见到用一个解析式表示函数的方法称作解析法。
例2：汽车油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶的路程x（单位：km）的增加而减少，耗油量为0.1L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系式的式子；（2）指出自变量的取值范围；（3）汽车行驶200km时，油箱中还剩下多少汽油？
练习：梯形的上底长2cm，高3cm，下底x cm大于上底但不超过5cm.写出梯形面积S关于x的解析式及自变量x的取值范围。
三、课堂小结
变量与常量的概念；2.探索了函数的概念的生成过程，及自变量，函数，函数值；3.函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法；4.确定自变量取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义。
在这节课中，我们看到函数是研究变化过程中变量间的某种对应关系.我们需要通过大量具体实例来理解函数的概念这个比较抽象的知识.理解函数的概念时需要关注三个关键点：有两个变量，在变量中确定自变量，对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与其对应.这种对应关系确定的方法可以通过观察一些表达式，表格或者图象中两个变量所取数值间的对应关系.函数作为刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，它是怎么发展起来的呢？介绍函数发展简史.
四、作业布置
1.从身边熟悉的情境中，找出存在的函数关系，并解释原因.
2.查阅函数相关资料，了解函数史的发展过程.
思考题：
设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量满足图中的函数关系。结合图像，讲出这对变量的变化过程的实际意义。