数学八年级下册19.1.1 变量与函数优质第2课时教案

这是一份数学八年级下册19.1.1 变量与函数优质第2课时教案，共11页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
一、内容和内容解析
1. 内容
函数的概念.
2.内容解析
函数是描述运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系. 函数概念是中学数学的核心概念,是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础. 函数与方程、不等式等知识有密切的联系，函数的表示法中体现了数形结合的思想方法.
本章内容包括函数的概念和表示法、正比例函数和一次函数. 一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型. 研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤（下定义——画图象——观察图象——概括性质）和基本思想（模型思想、数形结合的思想、运动变化和对应的思想），发展数学观察、表征、抽象概括和推理能力. 函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动.
变量y要成为变量x的函数，需满足两个条件:（1）在同一变化过程中，有两个变量x和y；（2）对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与之对应. “单值对应”是函数概念的关键词，是函数概念的核心所在.
综上所述，本节课教学的重点是：概括并理解函数概念中的单值对应关系.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）了解函数是描述运动变化规律的重要数学模型，找出简单实例中的数量关系和变化规律，形成初步的抽象能力.
（2）了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例. 培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.
（3）突出概念教学的基本模式，在函数概念的形成过程中体会运动变化与对应的思想、建模思想，增强数学建模意识.
2. 目标解析
目标（1）的具体要求是：通过对实际问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系（包括解析式、表格、图象），形成初步的抽象能力.
目标（2）的具体要求是: 了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念。培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.
目标（3）的具体要求是: 突出概念教学的基本模式：具体情境引入 概括共同特征 提炼本质特征 归纳形成概念，使学生初步了解确定数学概念的方法，发展学生的归纳概括能力，增强数学建模意识.
三、教学问题诊断分析
学生在小学阶段学习过正比例关系和反比例关系，知道具有正（或反）比例关系的两个量中，一个量随着另一个量的增大而增大（或减小）；在字母表示数中，接触过当字母取值变化时，代数式的值随之变化. 学生在生活中也具有对两个量之间存在依存关系的体验，如气温随时间的变化到变化，单价固定时总价随着数量的变化而变化.尽管这些学习经验和生活经验可以帮助学生理解函数的含义，但初次接触函数概念，学习中还是会遇到较大困难. 其中主要困难在于难以概括出“一个变量的值的确定导致另一个变量取值的唯一确定”这一函数概念的核心，当一个变量的值取定时，另一个变量怎样才算“唯一确定”？学生容易认为，函数关系中的“唯一确定”仅指通过公式求出的唯一的值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解. 因此，本节的难点是对函数概念中的“单值对应”含义的理解.
四、教学过程设计
1. 创设情境，抽象研究对象
引言
观看视频…
通过前面的学习，我们体会到万物皆变，在运动变化过程中往往蕴含着量的变化，研究变量之间的关系是把握运动变化规律的关键.所以，今天，就让我们从上节课我们研究过的一个量----变量开始，共同开启今天的学习之旅吧！
设计意图: 通过引言教学，让学生初步感受到函数是描述运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系，从而提出本节课的研究对象，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用.
2. 合作探究，概括共同特征
问题1 下面各题的变化过程中，各有几个变量？其中一个变量的变化是怎样影响另一个量的变化的？
（1）如图1，汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的里程为skm.
（2）每张电影票的售价为50元，设某场电影售出x张票，票房收入为y元.
（3）如图2，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r，面积为S.

（4）如图3，用10m长的绳子围一个矩形，矩形的一边长为x，它的邻边长为y.
师生活动: 教师与学生一起分析变化过程（1）中变量之间的关系. 在变化过程（1）的分析中，首先引导学生得出有两个变量t，s，然后是s随着t的变化而变化.
设计意图: 初步概括变量的联动性.
同桌活动: 引导学生对变化过程（2）、（3）、（4）进行类似于变化过程（1）的变量关系分析，并得到如下结论:
变化过程（1）有两个变量t，s. s随t的变化而变化.
变化过程（2）有两个变量x，y. y随x的变化而变化
变化过程（3）有两个变量r，s. s随r的变化而变化
变化过程（4）有两个变量x，y. y随x的变化而变化
设计意图: 通过师生共同讨论，分析问题1（1）中一个变量的变化对另一个变量变化的影响，在此基础上，通过小组讨论对问题1（2）（3）（4）变量之间的关系进行初步分析，从而归纳出两个变量间关系的第1、2条共同特征.
问题2 你能说出下面四个变化过程中变量之间所满足的具体关系吗？
（1）s=60t （2）y=50x （3）s=πr2 （4）y=5-x
问题3 变量之间还有哪些关系呢？
以变化过程4为例展开研究
问题： 你能任意说出一个符合“周长为10m”这一条件的矩形吗？
师生活动：教师引导学生取定x的一些值，计算y的对应值并列表:
归纳总结: 当x取定一个值时，y的值也就随之确定，而且唯一确定.
追问：我们再来看变化过程3中的两个变量之间的关系是否也具有这样的特征？
归纳总结:由s=πr2，当r=10，20，30时能分别求出唯一的s的值总结出：当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应.
设计意图：通过师生共同讨论，对问题1（3）（4）两个变量间对应关系进行深入分析，为发现变量间对应关系的第3、4条共同特征，实现函数概念的第一次概括提供归纳的样例.
问题4：你能用自己的语言说说这些变化过程中变量之间关系的共同特征吗？（请组内讨论，5分钟后小组展示交流）
小组汇报：
1、有两个变量
2、能写出关系式
3、一个变量随另一个变量的变化而变化
4、一个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应。
设计意图: 对能用解析式表示的变量之间的对应关系的共同特征进行初步概括.
问题5 下面是我国体育代表团在第23~30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表. 把届数和金牌数分别记作两个变量x和y，对于表中的每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？
师生活动: 引导学生说出届数与金牌数的对应关系，体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值.
设计意图: 让学生感受到当一个变量取定一个值时，可以通过表格唯一确定出另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性.
问题6 这是体检时的心电图，如果图上每一个点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
设计意图: 让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性.
总结：上述实际问题中两个变量之间的关系，当一个变量取定一个值时，既有通过公式确定另一个变量唯一的值，又有通过对应表格确定另一变量唯一的值，还有通过图象确定另一个变量唯一的值.
问题7：综合这些现象，你能归纳出上面六个变化过程中变量之间关系的共同特点吗？请小组再次讨论.
小组讨论: 归纳出如下结论:
√ 1、有两个变量
X 2、能写出关系式
√ 3、一个变量随另一个变量的变化而变化
√ 4、一个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应。
3. 初步辨析，提炼本质属性
总结： 既然这些变化过程中变量之间的关系有这么多共同特征，那我们能不能建立一个数学模型来表示这些共同特征呢？伟大的数学家已经这样做了，早在1692年，德国数学家莱布尼兹最早提出函数一语，即用函数模型来表达这些变量之间关系的本质特征，为数学的发展做出了很大的贡献。
问题8：今天，爱动脑筋的你们能不能依据我们今天对变量之间关系的研究所得给函数这个模型下个定义呢？
归纳总结: 引导学生初步总结出函数定义：在一个变化过程中，有两个变量，一个变量随另一个变量的变化而变化，当一个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应.
4. 再次辨析，确定函数概念
问题9：我们知道一个概念的确定语言应该是简练、精确的. 那么，哪个同学能把这个同学给出的函数定义的语言再简练精确一些呢？
学生独立思考后发现：共同特征4中，当一个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应已经包含了共同特征3中一个变量随另一个变量的变化而变化这一条，所以应该把共同特征3拿掉，只保留共同特征1和4.
由此确定函数概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
追问1: 请结合问题1（2）说说函数定义中“变化”“对应“唯一确定”的含义.
追问2: 函数与函数值的区别是什么？
追问3：怎样区分自变量与函数？
设计意图: 在前面分步概括出变量间关系共通特征的基础上，提炼其本质属性，从而确定函数概念.
5. 函数概念发展历程简介
观看视频《函数简史》
设计意图：通过观看视频，进一步巩固强化函数概念，也通过了解函数概念的展所经历的漫长的、曲折的发展过程，对学生进行人文教育，激发学生的学习热情，树立学生不惧困难，勇往直前的信心和决心.
6. 结合实际 辨析概念
练习1 下列问题中哪些是自变量?哪些是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子:
（1）每分向一水池注水0.1m3，注水量y（单位:m3）随注水时间x（单位:min）的变化而变化.
设计意图: 形成函数概念后，及时进行概念辨析.
练习2 请举出一个函数的实例.
7. 综合应用，深化理解概念
练习3 如图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，请问:
（1）蚂蚁离地面的高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？
（2）反过来，t是h 的函数吗？为什么？
师生活动: 学生独立完成，教师个别指导，并引导学生进行自我评价和相互评价.
设计意图: 通过正反两方面的例子，进行函数概念的进一步辨析，深化对函数概念的理解.
练习4 （1）若矩形的周长为10，面积为s，一边长为x，请用含x的式子表示s，s是x的函数吗？
（2）若矩形的面积为10，一边长为x，邻边长为y，请用含x的式子表示y，y是x的函数吗？
归纳总结：像y=60x这样的函数是一次函数，像s=x(5-x)这样的函数是二次函数. 像y=5x是反比例函数. 以上这三种函数都是初中阶段我们所要研究的函数.
8. 回顾总结
参照下面问题，教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点:
1、请你从数学知识、数学方法、数学思想三个方面谈谈本节课收获.
2、请结合实例说说你对函数定义中“对于变量x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的认识.
设计意图: 问题（1）引导学生从回顾函数概念的形成过程中提炼总结其中的知识、方法、思想. 问题（2）引导学生再次理解函数概念中的单值对应关系及确定对应关系的方法（式子、表格、图象）.
9. 课堂延伸
同学们，在浩瀚的函数世界中，函数的类型其实还有很多、很多…比如三角函数、幂函数、指数函数、对数函数等等等等，不过这些也都还是初等函数。它们只是函数中很小的一类，除了他们之外，还有许多超越函数是我们暂时接触不到的。不过没关系，千里之行始于足下，想要解开函数世界的密码，就让我们就从最简单的一次函数开始吧！这是我们下节课要学习的内容。
10. 布置作业
1、举一个函数的实例；
2、教科书习题19.1第1~4题.x / m
3
3.5
4
y / m
2
1.5
1
届数x
23
24
25
26
27
28
29
30
金牌数y
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5
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51
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