2025届高考数学二轮专题复习与测试专题3成对数据的统计分析

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题3成对数据的统计分析，共15页。试卷主要包含了85×11＝68，65＋0，5＝－1，75<6，06，，624>7等内容，欢迎下载使用。
(2024·济南三模)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据(2)的结果，估计该企业2026年的利润．
参考公式及数据： eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up10(－))\(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i) －n\(x,\s\up10(－))2) ， eq \(a,\s\up6(^)) ＝ eq \(y,\s\up10(－))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up10(－))，
eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i) ＝55， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(4,i) ＝979， eq \i\su(i＝1,5,y) i＝390， eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝1 221， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i) yi＝4 607.9.
【解】 (1)由题中散点图的变化趋势，知y＝c＋dx2适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型．
(2)由题意得， eq \(x,\s\up10(－))2＝ eq \f(1,5) eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i) ＝11，
eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(1,5) eq \i\su(i＝1,5,y) i＝78，
eq \(d,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i) yi－5×\(x,\s\up10(－))2 \(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,5, )（x eq \\al(2,i) ）2－5×（\(x,\s\up10(－))2）2)
＝ eq \f(4 607.9－5×11×78,979－5×112) ＝0.85，
eq \(c,\s\up6(^)) ＝ eq \(y,\s\up10(－))－ eq \(d,\s\up6(^)) × eq \(x,\s\up10(－))2＝78－0.85×11＝68.65，
所以 eq \(y,\s\up6(^)) ＝68.65＋0.85x2.
(3)令x＝7， eq \(y,\s\up6(^)) ＝68.65＋0.85×72＝110.3，
估计该企业2026年的利润为110.3亿元．
求经验回归方程的方法
(1)若所求的经验回归方程是在选择题中，常利用经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(b,\s\up6(^)) x＋ eq \(a,\s\up6(^)) 必经过样本点的中心( eq \(x,\s\up10(－))， eq \(y,\s\up10(－)))来快速选择．
(2)若所求的经验回归方程是在解答题中，则求经验回归方程的一般步骤如下：
(3)非线性回归问题的求解关键：①转化：通过取对数、取倒数、平方(开方)等，把非线性经验回归方程转化成线性经验回归方程；②判断：通过计算样本相关系数或决定系数，判断拟合效果．
(2024·苏州模拟)某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y(单位：cm)与父亲身高x(单位：cm)之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
参考数据及公式： eq \i\su(i＝1,5,x) i＝880， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i) ＝155 450， eq \i\su(i＝1,5,y) i＝885， eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝156 045， eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up10(－)) \(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i) －n\(x,\s\up10(－))2) ， eq \(a,\s\up6(^)) ＝ eq \(y,\s\up10(－))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up10(－)).
(1)根据表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并利用经验回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记 eq \(e,\s\up6(^)) i＝yi－ eq \(y,\s\up6(^)) i＝yi－ eq \(b,\s\up6(^)) xi－ eq \(a,\s\up6(^)) (i＝1，2…，n)，其中yi为观测值， eq \(y,\s\up6(^)) i为预测值， eq \(e,\s\up6(^)) i为对应(xi，yi)的残差．求(1)中儿子身高的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
解：(1) eq \(x,\s\up10(－))＝ eq \f(1,5) eq \i\su(i＝1,5,x) i＝ eq \f(1,5) ×880＝176，
eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(1,5) eq \i\su(i＝1,5,y) i＝ eq \f(1,5) ×885＝177，
eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\(x,\s\up10(－))\(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i) －5\(x,\s\up10(－))2) ＝ eq \f(156 045－5×176×177,155 450－5×1762) ＝0.5，
eq \(a,\s\up6(^)) ＝ eq \(y,\s\up10(－))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up10(－))＝177－0.5×176＝89，
故经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.5x＋89，取 eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.5x＋89>x，解得x0.75，则认为两个变量具有较强的线性相关性)；
(2)该纺织厂现有甲、乙两条流水线生产同一种产品．为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了4件、2件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为X，试求X的分布列与均值．
参考数据及公式： eq \r(1 160) ≈34.06，
样本相关系数r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－\(x,\s\up10(－))）（yi－\(y,\s\up10(－))）,\r(\i\su(i＝1,n, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2)\r(\i\su(i＝1,n, )（yi－\(y,\s\up10(－))）2)) .
解：(1)因为 eq \(x,\s\up10(－))＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5) ＝3， eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(27＋23＋20＋17＋13,5) ＝20，
eq \i\su(i＝1,5, ) (xi－ eq \(x,\s\up10(－)))2＝10， eq \i\su(i＝1,5, ) (yi－ eq \(y,\s\up10(－)))2＝116，
eq \i\su(i＝1,5, ) (xi－ eq \(x,\s\up10(－)))(yi－ eq \(y,\s\up10(－)))＝－34，
所以r＝ eq \f(\i\su(i＝1,5, )（xi－\(x,\s\up10(－))）（yi－\(y,\s\up10(－))）,\r(\i\su(i＝1,5, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2)\r(\i\su(i＝1,5, )（yi－\(y,\s\up10(－))）2))
＝ eq \f(－34,\r(10)×\r(116)) ≈ eq \f(－34,34.06) ≈－0.998.
又|r|＝0.998>0.75，
所以可以判断y与x具有较强的线性相关关系．
(2)X的可能取值有1，2，3，
因为P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,4) C eq \\al(2,2) ,C eq \\al(3,6) ) ＝ eq \f(1,5) ，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,4) C eq \\al(1,2) ,C eq \\al(3,6) ) ＝ eq \f(3,5) ，
P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,4) ,C eq \\al(3,6) ) ＝ eq \f(1,5) ，
其分布列为
E(X)＝1× eq \f(1,5) ＋2× eq \f(3,5) ＋3× eq \f(1,5) ＝2.
1．(2024·贵阳一模)某中学开展劳动主题德育活动，高一某班统计了本班学生1至7月份的人均月劳动时间(单位：h)，并建立了人均月劳动时间y(单位：h)关于月份x的经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(b,\s\up6(^)) x＋ eq \f(32,7) ，y与x的原始数据如表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 eq \i\su(i＝1,7,x) iyi＝448.
(1)求m，n的值；
(2)如果该月人均劳动时间超过13 h，则该月份“达标”．从表格中的7组数据中随机选5组，设ξ表示“达标”的数据组数，求ξ的分布列和均值．
参考公式：在经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(b,\s\up6(^)) x＋ eq \(a,\s\up6(^)) 中， eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up10(－))\(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i) －n\(x,\s\up10(－))2) .
解：(1) eq \(x,\s\up10(－))＝ eq \f(1,7) ×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(1,7) ×(8＋9＋n＋12＋m＋19＋22)＝ eq \f(70＋m＋n,7) ，
eq \i\su(i＝1,7,x) iyi＝1×8＋2×9＋3n＋4×12＋5m＋6×19＋7×22＝448，则3n＋5m＝106，
而 eq \i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i) ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＝140，
所以 eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\(x,\s\up10(－))\(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i) －7\(x,\s\up10(－))2) ＝ eq \f(448－7×4×\(y,\s\up10(－)),140－7×42) ，整理得 eq \(b,\s\up6(^)) ＋ eq \(y,\s\up10(－))＝16，由 eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up10(－))＋ eq \f(32,7) ，
得 eq \(y,\s\up10(－))＝4 eq \(b,\s\up6(^)) ＋ eq \f(32,7) ，
联立解得 eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(16,7) ， eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(96,7) ，则m＋n＝26，又3n＋5m＝106，所以m＝14，n＝12.
(2)依题意，ξ的可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(4,4) ,C eq \\al(5,7) ) ＝ eq \f(1,7) ，P(ξ＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,3) C eq \\al(3,4) ,C eq \\al(5,7) ) ＝ eq \f(4,7) ，P(ξ＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,3) C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(5,7) ) ＝ eq \f(2,7) ，
ξ的分布列为
所以E(ξ)＝1× eq \f(1,7) ＋2× eq \f(4,7) ＋3× eq \f(2,7) ＝ eq \f(15,7) .
2．(2024·菏泽模拟)随着牡丹花期结束，某市牡丹园为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对200位游客进行了满意度调查，其中100位男性中有86位满意；100位女性中有94位满意．
(1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否推断游客对该牡丹园的满意度与性别有关；
(2)若用频率估计概率，从该牡丹园的游客中随机选取3人，设3人中满意的人数为X，求X的分布列和均值．
附：χ2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)将所给数据进行整理，得到男性和女性满意度的列联表，如表所示：
单位：人
零假设为H0：游客对该牡丹园的满意度与性别无关，即男性和女性的满意度没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝ eq \f(200×（86×6－14×94）2,100×100×180×20) ≈3.556>2.706＝x0.1.
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为游客对该牡丹园的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.1.
(2)依题意，每个游客满意的概率为 eq \f(86＋94,200) ＝ eq \f(9,10) ，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(9,10))) ，
因为P(X＝0)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(1,1 000) ，
P(X＝1)＝C eq \\al(1,3) × eq \f(9,10) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(27,1 000) ，
P(X＝2)＝C eq \\al(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10))) eq \s\up12(1) ＝ eq \f(243,1 000) ，
P(X＝3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(729,1 000) .
所以X的分布列为
E(X)＝3× eq \f(9,10) ＝ eq \f(27,10) .
3．(2024·重庆模拟)某公司在产品研发领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表．
(1)公司拟用①y＝bx＋a和②y＝enx＋m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；( eq \(a,\s\up6(^)) ， eq \(b,\s\up6(^)) ， eq \(m,\s\up6(^)) ， eq \(n,\s\up6(^)) 计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位)
(2)根据下表数据，用决定系数R2(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7(单位：百万元)时，产品的年销售量是多少？
参考公式及数据： eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up10(－))\(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i) －n\(x,\s\up10(－))2) ， eq \(a,\s\up6(^)) ＝ eq \(y,\s\up10(－))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up10(－))，R2＝1－ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n, )（yi－\(y,\s\up10(－))）2) ， eq \i\su(i＝1,6,x) iyi＝121， eq \i\su(i＝1,6,x) eq \\al(2,i) ＝91，
eq \i\su(i＝1,6,x) izi＝28.9， eq \(z,\s\up10(－))＝0.85，e2.8≈16.4，e3≈20.1.
解：(1) eq \(x,\s\up10(－))＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6) ＝3.5，
eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12,6) ＝4，
所以 eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(121－6×3.5×4,91－6×3.52) ＝ eq \f(37,17.5) ≈2.11， eq \(a,\s\up6(^)) ＝4－ eq \f(37,17.5) ×3.5＝－3.40，
所以 eq \(y,\s\up6(^)) ＝2.1x－3.4.
由 eq \(y,\s\up6(^)) ＝e eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^)) ，两边取以e为底的对数得ln eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^)) ，即 eq \(z,\s\up6(^)) ＝ eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^)) ，
eq \(n,\s\up6(^)) ＝ eq \f(28.9－6×3.5×0.85,91－6×3.52) ＝ eq \f(11.05,17.5) ≈0.63， eq \(m,\s\up6(^)) ＝0.85－ eq \f(11.05,17.5) ×3.5＝－1.36，
所以 eq \(z,\s\up6(^)) ＝0.63x－1.36，所以 eq \(y,\s\up6(^)) ＝e0.6x－1.4.
(2) eq \i\su(i＝1,6, ) (yi－ eq \(y,\s\up10(－)))2＝(0.5－4)2＋(1－4)2＋(1.5－4)2＋(3－4)2＋(6－4)2＋(12－4)2＝96.5，
对于 eq \(y,\s\up6(^)) ＝2.1x－3.4，R eq \\al(2,1) ＝1－ eq \f(18.29,96.5) ；
对于 eq \(y,\s\up6(^)) ＝e0.6x－1.4，R eq \\al(2,2) ＝1－ eq \f(0.65,96.5) ，
因为R eq \\al(2,1) 7.879＝x0.005，
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为PM2.5的平均浓度与燃油车日流量有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)①由题意，得 eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）（yi－\(y,\s\up10(－))）,\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2) ＝0.12，
得 eq \i\su(i＝1,50, ) (xi－ eq \(x,\s\up10(－)))(yi－ eq \(y,\s\up10(－)))＝0.12 eq \i\su(i＝1,50, ) (xi－ eq \(x,\s\up10(－)))2，
由sx＝ eq \r(\f(1,50)\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2) ＝249，
sy＝ eq \r(\f(1,50)\i\su(i＝1,50, )（yi－\(y,\s\up10(－))）2) ＝36，
得r＝ eq \f(\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）（yi－\(y,\s\up10(－))）,\r(\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2\i\su(i＝1,50, )（yi－\(y,\s\up10(－))）2)) ＝
eq \f(0.12\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2,\r(\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2\i\su(i＝1,50, )（yi－\(y,\s\up10(－))）2)) ＝
0．12× eq \f(\r(\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2),\r(\i\su(i＝1,50, )（yi－\(y,\s\up10(－))）2)) ＝0.12× eq \f(249,36) ＝0.83>0.75，
所以该经验回归方程有价值．
②因为sx＝ eq \r(\f(1,50)\i\su(i＝1,50, )（xi－\(x,\s\up10(－))）2) ＝249，
即 eq \r(\f(1,50)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,50,x) eq \\al(2,i) －50×\(x,\s\up10(－))2))) ＝249，
所以 eq \(x,\s\up10(－))＝ eq \r(\f(1,50)\i\su(i＝1,50,x) eq \\al(2,i) －2492) ≈1 548.55，
又 eq \(y,\s\up10(－))＝0.12 eq \(x,\s\up10(－))－73.86≈0.12×1 548.55－73.86＝111.966≈112.0.
故可推算出这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数 eq \(y,\s\up10(－))约为112.0.
父亲身高x
160
170
175
185
190
儿子身高y
170
174
175
180
186
性别
跑步项目
长跑
短跑
男同学
30
10
女同学
a
10
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
性别
跑步项目
合计
长跑
短跑
男
30
10
40
女
10
10
20
合计
40
20
60
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
未建立
合计
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
个性化
错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
20
4
24
未建立
4
8
12
合计
24
12
36
强化训练
成绩
合计
优秀
非优秀
前
后
合计
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
强化训练
成绩
合计
优秀
非优秀
前
40
60
100
后
60
40
100
合计
100
100
200
月份
5月
6月
7月
8月
9月
月份编号x
1
2
3
4
5
利润y/万元
27
23
20
17
13
X
1
2
3
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y
8
9
n
12
m
19
22
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,7)
eq \f(4,7)
eq \f(2,7)
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
性别
满意度
合计
满意
不满意
男
86
14
100
女
94
6
100
合计
180
20
200
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,1 000)
eq \f(27,1 000)
eq \f(243,1 000)
eq \f(729,1 000)
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z＝ln y
－0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
经验回归方程
eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(b,\s\up6(^)) x＋ eq \(a,\s\up6(^))
eq \(y,\s\up6(^)) ＝e eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^))
残差平方和 eq \i\su(i＝1,6, ) (yi－ eq \(y,\s\up6(^)) i)2
18.29
0.65
PM2.5的
平均浓度
燃油车日流量
合计
小于1 500
不小于1 500
小于100
16
24
不小于100
20
合计
22
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
PM2.5的平均浓度
燃油车日流量
合计
小于1 500
不小于1 500
小于100
16
8
24
不小于100
6
20
26
合计
22
28
50