2025届高考数学二轮专题复习与测试专题2圆锥曲线的定义方程与性质

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(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(00)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线的右支交于点P，且满足 eq \(OE,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(OP,\s\up10(→)) ＋ eq \(OF1,\s\up10(→)) )，| eq \(OE,\s\up10(→)) |＝ eq \r(2) ，则双曲线的方程为____________．
【解析】
如图，由 eq \(OE,\s\up10(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(OP,\s\up10(→)) ＋ eq \(OF1,\s\up10(→)) )知，E是PF1的中点，又OE⊥PF1，所以△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c.
又|OF2|＝c，所以△F1PF2的外接圆是以O为圆心，|OF1|＝c为半径的圆，所以F1P⊥PF2.
由| eq \(OE,\s\up10(→)) |＝ eq \r(2) 知a＝ eq \r(2) ，a2＝2，在Rt△OEF1中，
|EF1|＝ eq \r(|OF1|2－|OE|2) ＝ eq \r(c2－2) ，
|PF1|＝2|EF1|＝2 eq \r(c2－2) ，
|PF2|＝ eq \r(|F1F2|2－|PF1|2) ＝ eq \r(4c2－4（c2－2）) ＝2 eq \r(2) ，
根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4 eq \r(2) ，即2 eq \r(c2－2) ＝4 eq \r(2) ，解得c2＝10，所以b2＝c2－a2＝8，故双曲线的方程为 eq \f(x2,2) － eq \f(y2,8) ＝1.
【答案】 eq \f(x2,2) － eq \f(y2,8) ＝1
(1)求圆锥曲线标准方程的步骤
①设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程．
②求方程：利用待定系数法求出方程的系数．特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn>0).
(2)求圆锥曲线标准方程需要注意的点
①双曲线的定义中注意“绝对值”．
②椭圆与双曲线方程中a，b，c之间的关系不要弄混，椭圆方程中a2＝b2＋c2，双曲线方程中c2＝a2＋b2.
③确定圆锥曲线方程时需注意焦点位置．
1．(2024·天津卷)已知双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( C )
A． eq \f(x2,8) － eq \f(y2,2) ＝1 B． eq \f(x2,8) － eq \f(y2,4) ＝1
C． eq \f(x2,2) － eq \f(y2,8) ＝1 D． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,8) ＝1
解析：由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，
可得tan ∠PF2F1＝ eq \f(|PF1|,|PF2|) ＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，所以S△PF1F2＝ eq \f(1,2) |PF1||PF2|＝ eq \f(1,2) ×4a×2a＝4a2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，
所以b2＝8，
所以双曲线的方程为 eq \f(x2,2) － eq \f(y2,8) ＝1.
2．(2024·绵阳模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，圆F以F为圆心，且过坐标原点，过F作倾斜角为45°的直线l，与抛物线E交于A，B两点，与圆F交于C，D两点，其中点B，D均在第一象限，|BD|－|AC|＝4 eq \r(2) ，则p＝________．
解析：由题得F(0， eq \f(p,2) )(p>0)，所以直线l：y＝x＋ eq \f(p,2) ，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋\f(p,2)，,x2＝2py))
得x2－2px－p2＝0，解得x＝p± eq \r(2) p，
则xA＝p－ eq \r(2) p，xB＝p＋ eq \r(2) p，
所以yA＝ eq \f(3p,2) － eq \r(2) p，yB＝ eq \f(3p,2) ＋ eq \r(2) p，
所以|BF|－|AF|＝(yB＋ eq \f(p,2) )－(yA＋ eq \f(p,2) )＝2 eq \r(2) p，
所以|BD|－|AC|＝(|BD|＋|DF|)－(|AC|＋|CF|)＝|BF|－|AF|＝4 eq \r(2) ，
所以2 eq \r(2) p＝4 eq \r(2) ，解得p＝2.
答案：2
小题考法2 椭圆、双曲线的几何性质
[核心提炼]
1．椭圆的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(1－\f(b2,a2)) (00，b>0)共渐近线的双曲线方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝λ(λ≠0).
(1)(多选)如图所示，一个底面半径为 eq \r(2) 的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( ACD )
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为 eq \f(\r(2),4)
C．椭圆的方程可以为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,2) ＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－ eq \r(2)
【解析】 圆柱的底面半径是 eq \r(2) ，直径是2 eq \r(2) ，所以椭圆的长轴长2a＝ eq \f(2\r(2),cs 45°) ＝4，a＝2，A正确；椭圆的短轴长2b＝2 eq \r(2) ，b＝ eq \r(2) ，则c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(2) ，离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(2),2) ，B错误；若以椭圆的长轴所在的直线为x轴，椭圆的短轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,2) ＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－ eq \r(2) ，D正确．故选ACD.
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上， eq \(F1A,\s\up10(→)) ⊥ eq \(F1B,\s\up10(→)) ， eq \(F2A,\s\up10(→)) ＝－ eq \f(2,3) eq \(F2B,\s\up10(→)) ，则C的离心率为______________．
【解析】 方法一：依题意，设|AF2|＝2m(m>0)，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，整理得(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，
故cs ∠F1AF2＝ eq \f(|AF1|,|AB|) ＝ eq \f(4a,5a) ＝ eq \f(4,5) ，
所以在△AF1F2中，cs ∠F1AF2＝ eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a) ＝ eq \f(4,5) ，整理得5c2＝9a2，故e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(3\r(5),5) .
方法二：由方法一知，cs ∠F1BF2＝ eq \f(|BF1|,|AB|) ＝ eq \f(3a,5a) ＝ eq \f(3,5) ，在Rt△BF1O中，sin ∠OBF1＝ eq \f(|OF1|,|BF1|) ＝ eq \f(c,3a) ＝ eq \f(1,3) e，
由cs ∠F1BF2＝cs 2∠OBF1＝1－2sin2∠OBF1，
得 eq \f(3,5) ＝1－2×( eq \f(1,3) e)2，所以e＝ eq \f(3\r(5),5) .
方法三：依题意得F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x0，y0)，B(0，t)，因为 eq \(F2A,\s\up10(→)) ＝－ eq \f(2,3) eq \(F2B,\s\up10(→)) ，所以(x0－c，y0)＝－ eq \f(2,3) (－c，t)，则x0＝ eq \f(5,3) c，y0＝－ eq \f(2,3) t，所以A( eq \f(5,3) c，－ eq \f(2,3) t).又 eq \(F1A,\s\up10(→)) ⊥ eq \(F1B,\s\up10(→)) ，所以 eq \(F1A,\s\up10(→)) · eq \(F1B,\s\up10(→)) ＝( eq \f(8,3) c，－ eq \f(2,3) t)·(c，t)＝ eq \f(8,3) c2－ eq \f(2,3) t2＝0，则t2＝4c2，又点A( eq \f(5,3) c，－ eq \f(2,3) t)在双曲线C上，则 eq \f(\f(25,9)c2,a2) － eq \f(\f(4,9)t2,b2) ＝1，整理得 eq \f(25c2,9a2) － eq \f(4t2,9b2) ＝1，即 eq \f(25c2,9a2) － eq \f(16c2,9b2) ＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，即(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，所以e＝ eq \f(3\r(5),5) 或e＝ eq \f(\r(5),5) ，
又e＞1，故e＝ eq \f(3\r(5),5) .
【答案】 eq \f(3\r(5),5)
(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c之间的等量关系式或不等关系式，然后用a，c代换b，进而求 eq \f(c,a) 的值或范围．
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求 eq \f(b,a) 或 eq \f(a,b) 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后通过因式分解得到．
1．某研究性学习小组发现，由双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y＝ eq \f(5,x) 的离心率为( A )
A. eq \r(2) B．2
C． eq \r(5) D．5
解析：双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x，所以两条渐近线所在直线的斜率分别为－ eq \f(b,a) ， eq \f(b,a) .设双曲线y＝ eq \f(5,x) 的实轴长为2a′，虚轴长为2b′，焦距为2c′，因为双曲线y＝ eq \f(5,x) 的两条渐近线分别为x轴，y轴，即两条渐近线互相垂直，所以－ eq \f(b′,a′) · eq \f(b′,a′) ＝－1，即 eq \f(b′2,a′2) ＝1，所以离心率e＝ eq \f(c′,a′) ＝ eq \r(1＋（\f(b′,a′)）2) ＝ eq \r(2) ，故选A.
2．如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH的长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P与点B距离的最大值为________．
解析：
连接BD，PB，BH，因为四边形ABCD为菱形，所以直线AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>|BH|＝2，故点P的轨迹是以B，H为焦点的椭圆，可得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，所以点P与点B的距离|PB|的最大值为a＋c＝3.
答案：3
小题考法3 抛物线的几何性质
[核心提炼]
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是直线AB的倾斜角，则：
(1)x1x2＝ eq \f(p2,4) ，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α) .
(3) eq \f(1,|FA|) ＋ eq \f(1,|FB|) ＝ eq \f(2,p) .
(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－ eq \f(p,2) 相切．
(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－ eq \r(3) (x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( AC )
A．p＝2
B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MN)) ＝ eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【解析】 由题意，易知直线y＝－ eq \r(3) (x－1)过点(1，0).
对于A，因为直线y＝－ eq \r(3) (x－1)经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以 eq \f(p,2) ＝1，即p＝2，故A正确；
对于B，方法一：不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1＜x2，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，)) 消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝ eq \f(1,3) ，x2＝3.所以M( eq \f(1,3) ， eq \f(2\r(3),3) )，N(3，－2 eq \r(3) )，所以由两点间的距离公式可得|MN|＝ eq \r(（3－\f(1,3)）2＋（－2\r(3)－\f(2\r(3),3)）2) ＝ eq \f(16,3) ，故B错误．
方法二：不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1＜x2，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，)) 消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝ eq \f(1,3) ，x2＝3.所以由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(1,3) ＋3＋2＝ eq \f(16,3) ，故B错误．
方法三：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，))
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，Δ＝64＞0，则x1＋x2＝ eq \f(10,3) ，x1x2＝1，所以由弦长公式得|MN|＝ eq \r(1＋k2) · eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝ eq \r(1＋3) × eq \r(（\f(10,3)）2－4×1) ＝ eq \f(16,3) ，故B错误．
方法四：易知直线y＝－ eq \r(3) (x－1)的倾斜角为 eq \f(2π,3) ，所以|MN|＝ eq \f(2p,sin2\f(2π,3)) ＝ eq \f(2×2,sin2\f(2π,3)) ＝ eq \f(16,3) ，故B错误；
对于C，方法一：由以上分析易知，直线l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为( eq \f(5,3) ，－ eq \f(2\r(3),3) )，圆心到直线l的距离为 eq \f(5,3) ＋1，半径r＝ eq \f(1,2) |MN|＝ eq \f(8,3) ＝ eq \f(5,3) ＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确．
方法二：由二级结论——以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C正确；
对于D，由两点间的距离公式可得|MN|＝ eq \f(16,3) ，|OM|＝ eq \f(\r(13),3) ，|ON|＝ eq \r(21) ，显然△OMN不是等腰三角形，故D错误．故选AC.
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来确定已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
(多选)(2024·惠州调研)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的是( AD )
A．准线l的方程是x＝－2
B．|ME|－|MF|的最大值为2
C．|ME|＋|MF|的最小值为7
D．以线段MF为直径的圆与y轴相切
解析：由题意得，抛物线C的焦点F(2，0)，准线l的方程是x＝－2，故A正确；|ME|－|MF|≤|EF|＝ eq \r(（3－2）2＋（1－0）2) ＝ eq \r(2) ，当点M为线段EF的延长线与抛物线C的交点时等号成立，所以|ME|－|MF|的最大值为 eq \r(2) ，故B错误；
如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MA|≥|EB|＝5，当点M为线段EB与抛物线C的交点时等号成立，所以|ME|＋|MF|的最小值为5，故C错误；设点M(x0，y0)，线段MF的中点为D，则点D的横坐标xD＝ eq \f(x0＋2,2) ＝ eq \f(|MA|,2) ＝ eq \f(|MF|,2) ，所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选AD.
小题考法4 直线与圆锥曲线的简单问题
(1)(2024·邵阳二模)已知直线l：x－2y－2＝0与椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x＋2y＝0平分，则椭圆C的离心率为( C )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),4)
C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(5),4)
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为弦AB被直线m：x＋2y＝0平分，设中点坐标(x0，y0)，
所以 eq \f(x1＋x2,2) ＋2× eq \f(y1＋y2,2) ＝x0＋2y0＝0，①
因为点A，B在直线l：x－2y－2＝0上，代入可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2y1＋2，, x2＝2y2＋2，))
两式相减可得x1－x2＝2(y1－y2)，②
又点A，B在椭圆C上，代入可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(2,1) ,a2)＋\f(y eq \\al(2,1) ,b2)＝1，,\f(x eq \\al(2,2) ,a2)＋\f(y eq \\al(2,2) ,b2)＝1，)) 两式相减可得 eq \f(x eq \\al(2,1) －x eq \\al(2,2) ,a2) ＋ eq \f(y eq \\al(2,1) －y eq \\al(2,2) ,b2) ＝0，
将①②代入可得 eq \f(4x0,a2) ＋ eq \f(2y0,b2) ＝0⇒a2＝4b2，
所以离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(\f(3b2,4b2)) ＝ eq \f(\r(3),2) .
(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m(k>0)与双曲线x2－ eq \f(y2,9) ＝1相交且只有一个交点，与椭圆 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1交于M，N两点，则△OMN面积的最大值为( A )
A．10 B．12
C．14 D．16
【解析】 由题意知l：y＝kx＋m(k>0)与双曲线的渐近线y＝3x平行，故k＝3，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝3x＋m代入 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1，
得241x2＋150mx＋25m2－400＝0，
故Δ＝1600(241－m2)>0，
x1＋x2＝－ eq \f(150m,241) ，x1x2＝ eq \f(25m2－400,241) ，
所以|MN|＝ eq \r(1＋k2) ·|x1－x2|＝ eq \r(1＋k2) · eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝ eq \r(10) · eq \f(40\r(241－m2),241) ，
点O到l的距离d＝ eq \f(|m|,\r(10)) ，
所以△OMN的面积S＝ eq \f(1,2) |MN|·d＝ eq \f(\r(10),2) · eq \f(40\r(241－m2),241) · eq \f(|m|,\r(10)) ＝ eq \f(20|m|·\r(241－m2),241) ≤ eq \f(20,241) · eq \f(|m|2＋（\r(241－m2)）2,2) ＝10，
当且仅当|m|＝ eq \r(241－m2) ，即m2＝ eq \f(241,2) (满足Δ>0)时等号成立，故△OMN面积的最大值为10.
(1)弦长公式
设直线的斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ eq \r(1＋k2) |x1－x2|＝ eq \r(1＋k2) eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) 或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2)) |y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2)) eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2) .
(2)用“点差法”求解中点弦问题的步骤
1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C： eq \f(x2,3) ＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( C )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(2),3)
C．－ eq \f(\r(2),3) D．－ eq \f(2,3)
解析：由题意，F1(－ eq \r(2) ，0)，F2( eq \r(2) ，0)，因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即 eq \f(|－\r(2)＋m|,\r(2)) ＝2× eq \f(|\r(2)＋m|,\r(2)) ，解得m＝－ eq \f(\r(2),3) 或m＝－3 eq \r(2) (当m＝－3 eq \r(2) 时，直线y＝x＋m与椭圆C无交点，不符合题意，舍去)，故选C.
2．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若|AB|＝5，则|CD|＝( C )
A．2 eq \r(7) B．2 eq \r(6)
C．3 eq \r(5) D．3 eq \r(6)
解析：设双曲线H的方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)，则其渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x，因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，所以双曲线H的方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,a2) ＝1(a>0)，则右焦点F( eq \r(2) a，0)，所以直线AB的方程为y＝3(x－ eq \r(2) a)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3（x－\r(2)a），,\f(x2,a2)－\f(y2,a2)＝1，)) 化简得8x2－18 eq \r(2) ax＋19a2＝0，所以x1＋x2＝ eq \f(9\r(2)a,4) ，x1x2＝ eq \f(19a2,8) ，所以|AB|＝ eq \r(1＋9) · eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝ eq \r(10) × eq \r(\f(10a2,16)) ＝5，解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，
所以双曲线H的方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,4) ＝1，所以双曲线H的右焦点为F(2 eq \r(2) ，0)，直线AB的方程为y＝3(x－2 eq \r(2) ).
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,y＝3（x－2\r(2)），)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3\r(2)，,y＝3\r(2)，))
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x，,y＝3（x－2\r(2)），)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2)，))
所以|CD|＝ eq \r(（3\r(2)－\f(3\r(2),2)）2＋（3\r(2)＋\f(3\r(2),2)）2) ＝3 eq \r(5) ，
故选C.
[小题标准练]
1．若方程 eq \f(x2,2＋m) － eq \f(y2,1－m) ＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( A )
A．－20)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|， eq \(F2A,\s\up10(→)) · eq \(F2B,\s\up10(→)) ＝2a2，则C的离心率为( B )
A． eq \r(7) B． eq \r(6)
C． eq \r(5) D．2
解析：由题及双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，故四边形AF1BF2为平行四边形，
令|F1A|＝|F2B|＝m，
则|F1B|＝|F2A|＝2m，
由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，
故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即|F1A|＝|F2B|＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，
则 eq \(F2A,\s\up10(→)) · eq \(F2B,\s\up10(→)) ＝－ eq \(AF2,\s\up10(→)) · eq \(AF1,\s\up10(→)) ＝－4a·2a·cs ∠F1AF2＝－8a2· eq \f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a) ＝2c2－10a2＝2a2，
即c＝ eq \r(6) a，所以C的离心率为 eq \f(c,a) ＝ eq \r(6) .
7．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1).观测时它的轴截面可以看作抛物线的一部分．某学校的科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4 m，高为1 m的抛物面，则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( A )
A．1 m B．2 m
C．4 m D．8 m
解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则抛物线的顶点坐标为O(0，0)，由题意可知，点(2，1)在抛物线上，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y，所以焦点坐标为(0，1)，所以顶点到焦点的距离为1，故选A.
8．已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为 eq \r(5) ，左、右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线对称的点为P.若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为( D )
A．2 B． eq \r(5)
C．3 D．4
解析：由双曲线C的离心率为 eq \r(5) 得，半焦距c＝ eq \r(5) a，所以b＝ eq \r(c2－a2) ＝2a.
方法一：易知点F2到任意一条渐近线的距离均为b，故|F2P|＝2b，所以cs ∠F1F2P＝ eq \f(b,c) ，sin ∠F1F2P＝ eq \r(1－cs2∠F1F2P) ＝ eq \f(a,c) .在△PF1F2中，由余弦定理得4＝4c2＋4b2－2×2b×2c× eq \f(b,c) ，即c2＝b2＋1，所以5a2＝4a2＋1，解得a＝1(负值已舍去).所以△PF1F2的面积为 eq \f(1,2) ×2c×2b sin∠F1F2P＝2ab＝4a2＝4.故选D.
方法二：易知F1(－c，0)，F2(c，0)，如图，不妨取渐近线y＝ eq \f(b,a) x＝2x，设P(m，n)，则F2P的中点为( eq \f(m＋c,2) ， eq \f(n,2) )，由该点在渐近线y＝2x上可得 eq \f(n,2) ＝2× eq \f(m＋c,2) ，且由直线PF2垂直于渐近线y＝2x得， eq \f(n,m－c) ＝－ eq \f(1,2) ，两式联立，解得m＝－ eq \f(3,5) c，n＝ eq \f(4,5) c.由|PF1|＝2得，(m＋c)2＋n2＝4，即 eq \f(4,25) c2＋ eq \f(16,25) c2＝4，解得c＝ eq \r(5) ，所以△PF1F2的面积为 eq \f(1,2) ×2c×n＝ eq \f(4,5) c2＝4.故选D.
9．(多选)已知椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2＋y2－5x－4y＋4＝0上，则该椭圆离心率的可能取值为( BCD )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
解析：把圆的一般方程化为标准方程可得(x－ eq \f(5,2) )2＋(y－2)2＝ eq \f(25,4) ，圆与x轴的交点为(1，0)，(4，0)，与y轴的交点为(0，2).椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，当焦点是(1，0)，右顶点是(4，0)时，a＝4，c＝1，离心率e＝ eq \f(1,4) ；当焦点是(1，0)，上顶点是(0，2)时，b＝2，c＝1，则a＝ eq \r(5) ，离心率e＝ eq \f(\r(5),5) ；当焦点是(4，0)，上顶点是(0，2)时，b＝2，c＝4，则a＝2 eq \r(5) ，离心率e＝ eq \f(2\r(5),5) .故选BCD.
10．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( ABD )
A.l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ eq \r(15)
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
解析：对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，故A正确；
对于B，A(0，4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝ eq \r(|PA|2－r2) ＝ eq \r(42－12) ＝ eq \r(15) ，故B正确；
对于C，当|PB|＝2时，P(1，2)，B(－1，2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF(图略)，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，易求得线段AF中垂线的方程为y＝ eq \f(1,4) x＋ eq \f(15,8) ，即x＝4y－ eq \f(15,2) ，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8± eq \r(34) ，易知满足条件的点P有且仅有2个，故D正确．
11．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2；到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a0)是曲线C在第一象限的点，则有 eq \r(（x－2）2＋y2) (x＋2)＝4，所以y2＝ eq \f(16,（x＋2）2) －(x－2)2，
令f(x)＝ eq \f(16,（x＋2）2) －(x－2)2，
则f′(x)＝－ eq \f(32,（x＋2）3) －2(x－2)，
因为f(2)＝1，且f′(2)1，所以P(x，y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误；
因为点(x0，y0)在C上，所以x0>－2且 eq \r(（x0－2）2＋y eq \\al(2,0) ) ·(x0＋2)＝4，得y eq \\al(2,0) ＝ eq \f(16,（x0＋2）2) －(x0－2)2≤ eq \f(16,（x0＋2）2) ，所以y0≤|y0|≤ eq \r(\f(16,（x0＋2）2)) ＝ eq \f(4,x0＋2) ，所以D正确．
12．若定义曲线 eq \f(a2,x2) ＋ eq \f(b2,y2) ＝1(a>b>0)为椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1的“倒椭圆”．已知焦点在x轴上的椭圆C1： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为 eq \f(\r(3),2) ，则它的“倒椭圆”C2的方程为_______________．
解析：在椭圆C1中，b＝2，e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(1－\f(b2,a2)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，所以a＝4，故椭圆C1的方程为 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,4) ＝1，故它的“倒椭圆”C2的方程为 eq \f(16,x2) ＋ eq \f(4,y2) ＝1.
答案： eq \f(16,x2) ＋ eq \f(4,y2) ＝1
13．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交C于A，B两点．若D为线段AB的中点，且|OD|＝ eq \r(13) ，则||AF|－|BF||＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)，显然当直线AB垂直于x轴时，点D与点F重合，此时|OD|＝1不满足条件，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C的方程得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝ eq \f(2（k2＋2）,k2) ，x1x2＝1，D( eq \f(k2＋2,k2) ， eq \f(2,k) )，
所以|OD|2＝13＝(1＋ eq \f(2,k2) )2＋ eq \f(4,k2) ，
解得k2＝1，x1＋x2＝6.
由抛物线的几何性质可知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
所以||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝ eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝4 eq \r(2) .
答案：4 eq \r(2)
14．已知点M(－5，0)，点P在曲线 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1(x>0)上运动，点Q在曲线(x－5)2＋y2＝1上运动，则 eq \f(|PM|2,|PQ|) 的最小值是________.
解析：如图，在双曲线 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1中，a＝3，b＝4，c＝ eq \r(a2＋b2) ＝5，圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1，所以双曲线 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得|PM|＝|PC|＋2a＝|PC|＋6，|PQ|≤|PC|＋1，所以 eq \f(|PM|2,|PQ|) ≥ eq \f(（|PC|＋6）2,|PC|＋1) ＝(|PC|＋1)＋ eq \f(25,|PC|＋1) ＋10≥2 eq \r(（|PC|＋1）·\f(25,|PC|＋1)) ＋10＝20，当且仅当|PC|＝4时，等号成立，故 eq \f(|PM|2,|PQ|) 的最小值是20.
答案：20
[小题提升练]
15．(2024·衡水三模)已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1，1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB的中点，则△AF1B的周长为________．
解析：由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(2,1) ,a2)＋\f(y eq \\al(2,1) ,b2)＝1，,\f(x eq \\al(2,2) ,a2)＋\f(y eq \\al(2,2) ,b2)＝1，))
两式相减得 eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2) ＋ eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2) ＝0，
由题意M为AB中点，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入整理得 eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝－ eq \f(b2,a2) .
又kAB＝kMF2＝ eq \f(1,1－3) ＝－ eq \f(1,2) ，
因此－ eq \f(b2,a2) ＝－ eq \f(1,2) ，所以a2＝2b2，c2＝b2，又2c＝6，解得a＝3 eq \r(2) (负值已舍去).
由椭圆定义知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝12 eq \r(2) .
答案：12 eq \r(2)
16．(2024·潍坊一模)已知平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，点P为平面内一动点，过P作DP∥l2交l1于点D，作EP∥l1交l2于点E，得到的平行四边形ODPE的面积为1，记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2＋y2＝t有四个交点，则实数t的取值范围是________．
解析：设点P(x0，y0)，则点P到l1的距离d＝ eq \f(|2x0－y0|,\r(5)) ，
直线PD方程为y＝－2x＋2x0＋y0，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋2x0＋y0，,y＝2x，))
解得xD＝ eq \f(2x0＋y0,4) ，
所以|OD|＝ eq \r(5) eq \f(|2x0＋y0|,4) ，
所以S平行四边形ODPE＝|OD|d＝ eq \r(5) eq \f(|2x0＋y0|,4) × eq \f(|2x0－y0|,\r(5)) ＝1，
所以x eq \\al(2,0) － eq \f(y eq \\al(2,0) ,4) ＝±1，
所以点P的轨迹Γ为两个双曲线x2－ eq \f(y2,4) ＝1， eq \f(y2,4) －x2＝1，
因为双曲线x2－ eq \f(y2,4) ＝1的实半轴长为1，双曲线 eq \f(y2,4) －x2＝1的实半轴长为2，
若Γ与圆x2＋y2＝t有四个交点，
则1< eq \r(t)