2023届高考数学二轮复习专题十七统计、成对数据的统计分析作业含答案

专题强化训练(十七)

一、单项选择题

1.(2022·山东莱西高三期末)通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳,得到列联表:

已知χ2=,P(χ2≥10.828)=0.001,根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,以下结论正确的为(　D　)

A.爱好跳绳与性别有关

B.爱好跳绳与性别有关,这个结论犯错误的概率不超过0.001

C.爱好跳绳与性别无关

D.爱好跳绳与性别无关,这个结论犯错误的概率不超过0.001

解析:χ2==≈7.822<10.828,

则爱好跳绳与性别无关,这个结论犯错误的概率不超过0.001.故

选D.

2.某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量Y(单位:千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费x(单位:万元)和年销售量Y(单位:千件)的数据,其数据如表所示,且Y关于x的经验回归方程为=x-8.2,则下列结论错误的是(　C　)

A.x,Y之间呈正相关关系

B.=2.15

C.该经验回归直线一定经过点(8,7)

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800件

解析:由表中数据可得,=×(4+6+8+10+12)=8,

=×(1+5+7+14+18)=9,

故经验回归直线一定经过点(8,9),故9=8-8.2,解得=2.15,故A,B正确,C错误;

将x=20代入=2.15x-8.2,解得=34.8,故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800件,故D正确.故选C.

二、多项选择题

3.(2022·江苏扬州高三期末)下列说法中正确的有(　ABD　)

A.将一组数据中的每个数据都乘以2后,平均数也变为原来的2倍

B.若一组数据的方差越小,则该组数据越稳定

C.由样本数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)所得到的经验回归直线=x+至少经过其中的一个点

D.在某项测量中,若测量结果ξ～N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ≤1)=0.5

解析:对于A,设数据x1,x2,…,xn的平均数为,则=,

则数据2x1,2x2,…,2xn的平均数为==2,A正确;

对于B,由方差的定义可知,方差越小,样本越稳定,B正确;

对于C,经验回归直线=x+一定过样本的中心点(,),不一定过样本点,C错误;

对于D,在某项测量中,若测量结果ξ～N(1,σ2)(σ>0),

则P(ξ≤1)=0.5,D正确.故选ABD.

4.(2022·湖南常德高三期末)甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子每次出现的点数可能为1,2,3,4,5,6),并分别记录每次出现的点数,四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述,可以判断一定没有出现点数6的描述是(　AD　)

A.中位数为3,众数为5

B.中位数为3,极差为3

C.中位数为1,平均数为2

D.平均数为3,方差为2

解析:对于A,由于中位数为3,众数为5,所以这5个数从小到大排列后,第3个数是3,则第4和5个数为5,所以这5个数中一定没有出现6,所以A正确;

对于B,由于中位数为3,极差为3,所以这5个数可以是3,3,3,4,6,所以B错误;

对于C,由于中位数为1,平均数为2,所以这5个数可以是1,1,1,1,6,所以C错误;

对于D,由平均数为3,方差为2,可得x1+x2+x3+x4+x5=15,

[(x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+(x4-3)2+(x5-3)2]=2,若有一个数为6,

取x1=6,则x2+x3+x4+x5=9,(x2-3)2+(x3-3)2+(x4-3)2+(x5-3)2=1,

所以(x2-3)2≤1,(x3-3)2≤1,(x4-3)2≤1,(x5-3)2≤1,所以x2,x3,x4,x5这4个数可以是4,3,3,3或2,3,3,3,与x2+x3+x4+x5=9矛盾,所以x1≠6,所以这5个数一定没有出现6,所以D正确.故选AD.

5.(2022·湖北江岸高三期末)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动,现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额(单位:亿元)并作出散点图,将销售额Y看成年份序号x(2013年作为第一年)的函数.运用图表软件,分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合,效果如图,则下列说法正确的是(　ACD　)

A.销售额Y与年份序号x正相关

B.三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和

C.三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

D.根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为2 680.54亿元

解析:根据图象可知,散点从左下到右上分布,销售额Y与年份序号x呈正相关关系,A正确;

由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知,三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和,B

错误;

根据三次函数回归曲线的决定系数0.999>0.936,决定系数越大,拟合效果越好,所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果,C正确;

由三次函数=0.07x3+29.31x2-33.09x+10.44,当x=10时,

≈2 680.54亿元,D正确.故选ACD.

6.(2022·湖北襄阳高三期末)下列说法正确的是(　AC　)

A.当总体是由差异明显的几个部分组成时,通常采用分层抽样的方法抽样

B.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率

C.若两个满足线性回归的变量负相关,则其回归直线的斜率为负

D.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X<3)=0.9,则P(2<X<3)=

0.3

解析:对于A,根据分层抽样的定义可知,当总体是由差异明显的几个部分组成时,通常采用分层抽样的方法抽样,A正确;

对于B,频率分布直方图中每个小矩形的高是“频率/组距”,即每个小矩形所代表的对象的频率/组距,每个小矩形的面积才是该组的频率,B错误;

对于C,根据回归方程性质,若两个满足线性回归的变量负相关,则其回归直线的斜率为负,C正确;

对于D,因为P(x<2)=0.5,P(X<3)=0.9,所以P(2<X<3)=0.9-0.5=0.4,D错误.故选AC.

三、填空题

7.(2022·山东青岛高三期末)由样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x7,y7)得到的经验回归方程为=+,已知如下数据:xi=19,yi=35,

=,则实数的值为　　　　. 

解析:令t=,则经验回归方程=t+过样本中心点(,),

因为=÷7=,=35÷7=5,所以有×+=5,即=4.

答案:4

8.根据某市有关统计公报显示,该市对外贸易近几年持续繁荣,2017年至2020年每年进口总额x(单位:千亿元)和出口总额Y(单位:千亿元)之间的一组数据如表:

若每年的进出口总额x,Y满足线性相关关系=x-0.84,则=

　　　　;若计划2022年出口总额达到5千亿元,预计该年进口总额为　　　　千亿元. 

解析:由题意可得==2.4,==3.

因为样本中心满足经验回归方程,可得3=2.4-0.84,解得=1.6,

所以=1.6x-0.84,

2022年出口总额达到5千亿元,预计该年进口总额为x,

则5=1.6x-0.84,解得x=3.65.

答案:1.6　3.65

四、解答题

9.(2022·江苏通州高三期末)当今时代,国家之间的综合国力的竞争,在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人工智能时代后,谁掌握了核心科学技术,谁就能对竞争对手进行降维打击.我国自主研发的某种产品,其厚度越小,则该种产品越优良,为此,某科学研发团队经过较长时间的实验研发,不断地对该产品的生产技术进行改造提升,最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利.

(1)在研发过程中,对研发时间x(月)和产品的厚度Y(nm)进行统计,其中1—7月的数据资料如表:

现用=+作为Y关于x的经验回归方程类型,请利用表中数据,求出该经验回归方程,并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少?

(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线,迫于竞争压力,决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择:

①直接售卖,则每条生产线可卖5万元;

②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造,使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中,每条生产线改造成功的概率均为,若改造成功,则每条生产线可卖20万元;若改造失败,则卖价为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学.并说明理由.

参考数据:设z=,zi=,≈0.37,=50,ziyi=184.5,-7≈0.55.

参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程=u+中的斜率和截距的最小二乘估计的计算公式为=,

=-.

解:(1)由题意可得=≈=100,

所以=-=50-100×0.37=13,所以=13+,

因为x>0,>0,所以=13+>13,即该产品的“理想”优良厚度约为13 nm. 

(2)方案①,售卖收益为5×3=15万元;

方案②,设X为3条老旧生产线改造成功的收益,X的可能取值为-20,0,20,40,

P(X=-20)=(1-)3=,

P(X=0)=××()2=,

P(X=20)=×()2×=,

P(X=40)=()3=,

所以E(X)=(-20)×+0×+20×+40×=25,因为25>15,所以该企业应选择方案②更为科学.

10.(2022·江苏苏州高三期末)2021年8月国务院印发《全民健身计划(2021-2025年)》,提出了各方面的主要任务,包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中,瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民,对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式做了调查,整理数据如表.

(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关?

(2)为了推广全民健身,某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动,在全市范围内开设一期公益瑜伽课,先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人,再从13人中随机抽取2人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴,补贴方案为:男性每人 1 000元,女性每人500元.求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元).

附:χ2=.

解:(1)由已知得χ2===>

6.635.

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关.

(2)调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人,

其中男性人数为×13=5,女性人数为×13=8.

记补贴金额为X,则X可能为1 000,1 500,2 000.

P(X=1 000)==,P(X=1 500)==,P(X=2 000)==,

则X的分布列为

所以E(X)=1 000×+1 500×+2 000×=≈1 385(元).