2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1直线与圆

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2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝ eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) .
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝ eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) .
(1)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a＝( D )

A．－1 B．－2
C．－2或0 D．0
【解析】 易得(a＋1)×[－(a＋1)]＋1＝0，即(a＋1)2＝1，解得a＝－2或a＝0，又－3(a＋1)－3≠0，所以a≠－2.故a＝0符合题意．故选D.
(2)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是( D )
A．－8 B．－ eq \f(1,2)
C．8 D． eq \f(1,2)
【解析】 易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又直线l3的方程为2x－my＝3，
由题意得1×2＋4·(－m)＝0，解得m＝ eq \f(1,2) .故选D.
(1)两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
(2)解决对称问题的方法
点关于直线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较简单).
特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于直线y＝x的对称问题采用代入法，如(1，3)关于直线y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2，2).
1．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________．
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))
所以直线l1与l2的交点为(1，2).若直线l的斜率不存在，则此时直线l：x＝1，显然此时不满足点P(0，4)到直线l的距离为2，即直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y＋2－k＝0，因为点P(0，4)到直线l的距离为2，
所以 eq \f(|－4＋2－k|,\r(1＋k2)) ＝2，解得k＝0或k＝ eq \f(4,3) ，
所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
2．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为____________．
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－5＝0，,4x＋13y－10＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝－2，))
所以点B的坐标为(9，－2).
设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A′(x0，y0)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3－y0,4－x0)×（－\f(1,2)）＝－1，,\f(4＋x0,2)＋2×\f(3＋y0,2)－5＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2，,y0＝－1，)) 所以点A′的坐标为(2，－1).
因为点A′(2，－1)在直线BC上，
所以直线BC的方程为y－(－1)＝ eq \f(－2－（－1）,9－2) (x－2)，
即x＋7y＋5＝0.
设点C的坐标为(x1，y1)，
则AC的中点坐标为( eq \f(x1＋4,2) ， eq \f(y1＋3,2) )，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋7y1＋5＝0，,2（x1＋4）＋\f(13,2)（y1＋3）－10＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－12，,y1＝1，)) 所以点C的坐标为(－12，1)，
所以kAC＝ eq \f(3－1,4－（－12）) ＝ eq \f(1,8) ，所以AC边所在直线的方程为y－3＝ eq \f(1,8) (x－4)，即x－8y＋20＝0.
答案：x－8y＋20＝0
小题考法2 圆的方程
[核心提炼]
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，它表示以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 为圆心， eq \f(\r(D2＋E2－4F),2) 为半径的圆．
(1)(多选)(2024·丹东模拟)已知曲线E：x2＋y2－2|x|－2|y|＝0 ，则( ABD )
A．曲线E围成图形的面积为8＋4π
B．曲线E的长度为4 eq \r(2) π
C．曲线E上的点到原点的最小距离为2
D．曲线E上任意两点间的最大距离为4 eq \r(2)
【解析】 当x>0，y>0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x>0，y0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δr1＋r2⇔两圆外离．
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．
(3)|r1－r2|