初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课堂检测

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(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．
【分析】（1）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（2）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．
【详解】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（3）解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．
作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，
∵MN垂直平分AC，
∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，
∴DE与MN的交点O是圆心．
确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．
1．（2022上·江苏南通·九年级统考期中）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，是的直径．
求作：的内接等腰直角三角形．
作法：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；
②作射线交于点C；
③连接．
所以就是所求作的等腰直角三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明是等腰直角三角形．
2．（2022·山西临汾·统考二模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务．
任务：
(1)尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）．
(2)善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：连接PA，PD，PQ，QD．
…
3．（2022·四川自贡·统考三模）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
(2)判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．
4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务．
关于圆的引理
在《阿基米德全集》的《引理集》中，记述了古希腊的数学家、物理学家阿基米德提出的六个关于圆的引理，其中第二个引理为：如图，在半圆O中，P是上的任意一点，PN⊥直径AB于点N，D在直径AB上，且AN＝ND，在上取一点Q，使，连接BQ，则BQ＝BD．
任务：
(1)尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）．
(2)善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：连接PA，PD，PQ，QD．
……
5．（2022上·河北承德·九年级校考期末）下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：的一条切线，使这条切线经过点P．
(1)根据小芸设计的尺规作图痕迹补全做法
作法：①连接，作的 ，交于点A；
②以点 为圆心， 为半径作圆，交于点M（两个）；
③作直线，则直线即为的切线．
(2)①结合作法证明为的切线；
②由作图知过圆外一点作已知圆的切线可作两条，且
6．（2022上·北京·九年级统考期末）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接，；
②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆；
④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q；
⑤作直线，所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵点A，B，P，Q都在上，，
∴___________，
∴，（___________）（填推理的依据）
∴．
7．（2022上·广东广州·九年级月考）下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点；求作：过点作切线．
作法：①连接，作的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，长为半径作圆，交于点、两点；
③作直线、，则、即为的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程：
(1)用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明：为的切线．
8．（2023上·福建福州·九年级统考期中）如图，中，，
(1)求作的外接圆：（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，补全图形并证明，连接，过作，交的延长线于点．求证：是的切线．
9．（2020·四川达州·中考真题）如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．
10．（2021·广东广州·中山大学附属中学校考一模）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
11．（2021上·江苏盐城·九年级统考期末）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点．
求作：直线和直线，使切⊙O于点切⊙O于点．
作法：如图，
①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点；
②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交⊙O于点和点；
③作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)﹔
完成证明过程．
证明：
12．（2022上·福建福州·九年级统考期末）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．
(1)求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．
13．（2023·河南新乡·统考三模）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全，连接，过点A作的切线交的延长线于点E，过点C作，交于点D，连接．
①求证：；
②连接，若为的直径，，求的半径．
14．（2021上·江苏南京·九年级统考期中）解题与遐想．
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．
王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…
赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…
数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
计算验证
（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．
拼图演绎
（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．
尺规作图
（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）