初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆综合训练题，共24页。

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．
【分析】（1）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（2）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．
【详解】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（3）解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．
作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，
∵MN垂直平分AC，
∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，
∴DE与MN的交点O是圆心．
确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．
1．（2022上·江苏南通·九年级统考期中）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，是的直径．
求作：的内接等腰直角三角形．
作法：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；
②作射线交于点C；
③连接．
所以就是所求作的等腰直角三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明是等腰直角三角形．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用基本作图得到垂直平分，所以，再根据圆周角定理得到，于是可判断是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：由作法得垂直平分，
∴，
∵为直径，
∴，
∴是等腰直角三角形．
2．（2022·山西临汾·统考二模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务．
任务：
(1)尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）．
(2)善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：连接PA，PD，PQ，QD．
…
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，分别以点A和点B为圆心，大于为半径画圆弧，相交于点M，连接PM，PM与AD相交于点N；再以点P为圆心，PA为半径画圆弧，与相交于点Q，再连接BD即可完成求解；
（2）根据圆周角和全等三角形的性质，得∠PQD＝∠PDQ；根据圆内接四边形的性质，推导得∠PQB＝∠PDB，结合等腰三角形的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）补全图形如解图所示：
（2）∵，
∴PQ＝PA
∵PN⊥AB于点N，
∴∠PNA＝∠PND＝90°
在△APN和△DPN中

∴△APN≌△DPN
∴∠PAD＝∠PDA，PA＝PD
∴PD＝PQ
∴∠PQD＝∠PDQ
∵四边形APQB是圆内接四边形，
∴∠PAD＋∠PQB＝180°
∴∠PDA＋∠PQB＝180°
又∵∠PDA＋∠PDB＝180°
∴∠PQB＝∠PDB．
∵∠BQD＝∠BDQ
∴BQ＝BD．
3．（2022·四川自贡·统考三模）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
(2)判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．
【分析】（1）根据要求，利用尺规作出图形即可；
（2）证明直线DE是⊙O的切线即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．
；
（2）解：直线DE与⊙O相切，交点只有一个．
理由：∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠ODB=∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线，
∴⊙O与直线DE只有一个交点．
4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务．
关于圆的引理
在《阿基米德全集》的《引理集》中，记述了古希腊的数学家、物理学家阿基米德提出的六个关于圆的引理，其中第二个引理为：如图，在半圆O中，P是上的任意一点，PN⊥直径AB于点N，D在直径AB上，且AN＝ND，在上取一点Q，使，连接BQ，则BQ＝BD．
任务：
(1)尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）．
(2)善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：连接PA，PD，PQ，QD．
……
【分析】（1）根据题目要求利用尺规作图即可；
（2）根据全等三角形的性质及判定，得出，，进而得出，然后根据圆内接四边形的性质得出答案即可．
【详解】（1）解：补全图形如解图所示：
（2）解：如图，
∵，
∴PA＝PQ，
∵PN⊥AB于点N，
∴∠PNA＝∠PND＝90°，
又∵AN＝ND，PN＝PN，
∴△APN≌△DPN（SAS），
∴∠PAD＝∠PDA，PA＝PD．
∴PD＝PQ，
∴∠PQD＝∠PDQ，
∵四边形APQB是圆内接四边形，
∴∠PAD+∠PQB＝180°，
∴∠PDA+∠PQB＝180°，
又∵∠PDA+∠PDB＝180°，
∴∠PQB＝∠PDB，
∵∠PQD＝∠PDQ，
∴BQD＝∠BDQ，
∴BQ＝BD．
5．（2022上·河北承德·九年级校考期末）下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：的一条切线，使这条切线经过点P．
(1)根据小芸设计的尺规作图痕迹补全做法
作法：①连接，作的 ，交于点A；
②以点 为圆心， 为半径作圆，交于点M（两个）；
③作直线，则直线即为的切线．
(2)①结合作法证明为的切线；
②由作图知过圆外一点作已知圆的切线可作两条，且
【分析】（1）用尺规作图，补全作图过程即可
（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的判定和性质即可完成证明为的切线，且
【详解】（1）根据题意，作法如下：
①连接，作的垂直平分线，交于点；
②以点为圆心，为半径作圆，交于点（两个）；
③作直线，则直线即为的切线．
故答案为：垂直平分线，A，，
（2）①连接，根据作图过程可知：
为的直径，
∴，
∴，且为的半径，
∴为的切线
②根据切线长定理可知：过圆外一点作圆的切线，切线长相等；
∴，
故答案为：=．
6．（2022上·北京·九年级统考期末）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接，；
②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆；
④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q；
⑤作直线，所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵点A，B，P，Q都在上，，
∴___________，
∴，（___________）（填推理的依据）
∴．
【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案．
【详解】（1）（1）如图，直线就是所求作的直线，
（2）证明：连接，
∵点A，B，C，D在上，，
∴，
∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等），
∴．
故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
7．（2022上·广东广州·九年级月考）下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点；求作：过点作切线．
作法：①连接，作的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，长为半径作圆，交于点、两点；
③作直线、，则、即为的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程：
(1)用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明：为的切线．
【分析】（1）按照作图步骤补全图形即可；
（2）连接，，则，由（1）可知，，则，得到，由三角形内角和定理得到，由切线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：连接，，则，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线．
8．（2023上·福建福州·九年级统考期中）如图，中，，
(1)求作的外接圆：（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，补全图形并证明，连接，过作，交的延长线于点．求证：是的切线．
【分析】（1）作边，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆即可；
（2）根据题意画出图形，连接，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的圆．

（2）证明：如图，连接，
，
，
∵，
，
，
是的半径，
是的切线．

9．（2020·四川达州·中考真题）如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．
【分析】（1）根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作图即可；
（2）连接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分线得出∠1=∠3，等量代换进而证出OD∥BA，根据两直线平行同旁内角互补，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切线，即与有1个交点.
【详解】解：（1）如下图，补全图形：
（2）如下图，连接OD，
∵点D在上，
∴OB=OD，
∴∠1=∠2，
又∵BM平分，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BA，
∴∠ODE+∠BED=180°，
∵
∴∠ODE=90°，
∴ED是的切线，
∴与有1个交点.
10．（2021·广东广州·中山大学附属中学校考一模）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
【分析】①根据直径所对的圆周角是直角及线段的垂直平分线的作法作图即可；
②在PA上截取AK=PB，由△CAK≌△CBP，得到CK=CP，得△CPK是等腰直角三角形，从而得出，如图4，同理可得．
【详解】解：①如图：
②如图3，在PA上截取AK=PB，
∵，AC=BC，
∴△CAK≌△CBP，
∴CK=CP，
∵，
∴△CPK是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图4，同理可得，
∴PA、PB、PC的关系为或．
．
11．（2021上·江苏盐城·九年级统考期末）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点．
求作：直线和直线，使切⊙O于点切⊙O于点．
作法：如图，
①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点；
②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交⊙O于点和点；
③作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)﹔
完成证明过程．
证明：
【分析】（1）按照尺规作图中的线段的垂直平分线步骤进行即可；
（2）根据切线的判定证明即可．
【详解】（1）补图如下：
；
（2）如图，连接PA，PB，OA，OB，
∵PO是⊙Q的直径，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线；
同理可证，PB是⊙O的切线．
12．（2022上·福建福州·九年级统考期末）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．
(1)求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．
【分析】（1）过点B作BP的垂线，作∠APB的平分线，二线的交点就是圆心；
（2）根据切线的性质，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可．
【详解】（1）如图所示，点O即为所求
（2）如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，
∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，
∵AC=4，
∴PC==5，BC=5-3=2，
设圆的半径为x，则OC=4-x，
∴，
解得x=，
故圆的半径为．
13．（2023·河南新乡·统考三模）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全，连接，过点A作的切线交的延长线于点E，过点C作，交于点D，连接．
①求证：；
②连接，若为的直径，，求的半径．
【分析】（1）分别作出和的垂直平分线交于点O，即为所求作的圆心O；
（2）①连接并延长交于点F，根据切线的性质和平行线的性质得到，然后利用垂径定理得到，最后利用垂直平分线的性质求解即可；
②连接，首先根据题意得到是的中位线，得到，然后得到，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，分别作和的垂直平分线交于点O，

∴点O即为所求作的圆心O；
（2）如图所示，连接并延长交于点F，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴所在直线是的垂直平分线，
∴；
②如图所示，连接，

∵为的直径，
∴点O是的中点，，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∵，
∴，
即，
∴解得（舍去），，
∴的半径为7．
14．（2021上·江苏南京·九年级统考期中）解题与遐想．
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．
王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…
赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…
数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
计算验证
（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．
拼图演绎
（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．
尺规作图
（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
【分析】（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；
（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；
（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．
【详解】解：（1）如图1，
设⊙O的半径为r，
连接OE，OF，
∵⊙O内切于△ABC，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFO是矩形，
∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，
∴AC＝4+r，BC＝5+r，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
（r+4）2+（r+5）2＝92，
∴r2+9r＝20，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝
＝20；
（2）
如图2，
（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，
∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，
∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝，
∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°，
∴∠AFB＝135°，
可以按以下步骤作图（如图3）：
①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，
②以E为圆心，AE为半径作圆，
③过点D作AB的垂线，交圆于F，
④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，
则△ABC就是求作的三角形．