初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数同步达标检测题

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二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
【典例剖析】
【例1】（2022·浙江台州·九年级期末）一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？
【答案】(1)抛物线为y =2（x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）；
(2)向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度
【解析】
【分析】
（1）根据平移的规律平移后的抛物线为y＝2（x+1）2+k，代入点（1，1），即可求出解析式；
（2）由抛物线的顶点式，根据左加右减，上加下减可得出答案．
(1)
解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1）
则1 =2（1+1）2+k ，
解得k=-7，
∴所求抛物线为y =2（x+1）2-7.
顶点坐标是（-1，-7）
(2)
解：所求抛物线y =2（x+1）2-7是由抛物线y =2x2
向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．
【例2】．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）．
(1)当时，若点在该函数图象上，求n的值．
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
(3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
【答案】(1)-7
(2)对，理由见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）把m=2，点A（8，n）代入解析式即可求解；
（2）由抛物线解析式，得顶点是，把x＝2m代入，求出y值与3-m比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；
（3）由点P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x==a+2m-2，即可得出a+2m-2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到 ＝＝，根据二次函数的性质即可证得结论．
(1)
解：当m＝2时，
∵A（8，n）在函数图象上，
∴
(2)
解：由题意得，顶点是
当x＝2m时，
∴顶点在直线上
(3)
证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上
∴对称轴是直线
∴a+2m-2＝2m ，
∴a＝2，
∴P（3，c），
把P（3，c）代入抛物线解析式，得
∴＝＝，
∵-20，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．（2022·重庆巴蜀中学八年级期中）关于抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点坐标为C．当时，y有最大值2D．对称轴是直线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、因为1＞0，所以抛物线开口向上，故本选项正确，不符合题意；
B、抛物线的顶点坐标为，故本选项正确，不符合题意；
C、因为1＞0，所以当时，y有最小值2，故本选项错误，符合题意；
D、抛物线的对称轴是直线，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数（其中a≠0，h，k为常数）的图象和性质是解题的关键．
5．（2022·浙江丽水·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2B．有最小值2C．有最大值5D．有最小值5
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），
∴当x=2时，y有最大值为5；
∴选项A，B，D错误，C正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】
解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
7．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果．
【详解】
解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．
8．（2022·浙江金华·三模）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式确定函数的顶点坐标，由此得到答案．
【详解】
由可得，函数图象的顶点坐标为（1,-1），
由图可知，函数的顶点在线段CD上，
∴C、D的纵坐标为-1，D点的横坐标大于1，
∵由图可知B、D的横坐标相等，
∴B点的横坐标也大于1，
∴坐标原点只有可能是点A，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的性质及二次函数的图象，熟练确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级）下列关于二次函数（m为常数）的结论错误的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点
C．该函数图象的顶点在函数的图象上D．该函数图象与函数的图象形状相同
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】
解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故选项错误，符合题意；
B．∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故选项正确，不符合题意；
C．∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，函数图像的顶点为（m，m2+1），
对于函数y＝x2+1，当x＝m时，y＝x2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故选项正确，不符合题意；
D．∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同， 故选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】
此题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于中考常考题型．
10．（2022·山东威海·一模）小明研究二次函数（m为常数）性质时，得出如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为．其中错误结论的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】
解：二次函数（m为常数）
∴顶点坐标为（m， m-1）
把x=m代入y＝x－1，得：y=m-1，
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=x-1上
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y=0，得（x-m）2+m-1=0，其中m≤1
解得：，
∵顶点坐标为（m，m-1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|m-1|=|m-（m-）|
解得：m=0或1，
当m=1时，二次函数y=（x-1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；
∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②错误；
③∵x1+x2＞2m
∴＞m
∵二次函数y=（x-m）2+m-1（m为常数）的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a=1>0
∴y10
∴m的取值范围为m≥3．
故结论④正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
二、填空题
11．（2020·黑龙江·集贤县第七中学九年级期中）抛物线的顶点坐标是____________．
【答案】（5，5）
【解析】
【分析】
根据顶点式解析式即可解答．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标是（5，5），
故答案为：（5，5）．
【点睛】
此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为（h，k）．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学三模）二次函数y=（x-1）2+2的最小值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数y=（x-1）2+2的性质得抛物线的开口向上，即当横坐标等于在对称轴的值时函数取得最小值．
【详解】
解：二次函数y=（x-1）2+2的展开式为：，
∵，
∴抛物线的开口向上，
∴当时，有最小值，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
13．（2022·江苏无锡·模拟预测）抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的顶点式解析式读取即可．
【详解】
解：∵，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式解析式，解题关键是掌握的顶点坐标为．
14．（2022·云南大理·九年级期末）若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向下，可知a为负数，取a= -2，再由顶点坐标为(0，1)，即可得出二次函数的解析式．
【详解】
∵二次函数的图象开口向下，
∴可知a为负数，取a= -2，
∵顶点坐标为(0，1)，
∴二次函数的解析式为：
y=-2(x-0)2+1=-2x2+1，
故答案为： y= -2x2 + 1(答案不唯一)．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握顶点式的特点是解决问题的关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（1, -2），
先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度
则平移后抛物线的顶点坐标为
平移后的抛物线解析式为，
平移后的抛物线经过点，
解得．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
16．（2022·广西河池·一模）已知，，三点在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“＜”号表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
二次函数开口朝上，图象上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，照此规律比较点与对称轴的远近即可求解．
【详解】
解：在二次函数中，a=1>0，
∴二次函数开口朝上，对称轴为x=1，
∴当点距离对称轴越远时，其对应的函数值越大，
由1－（－2）=3>2－1>－1，
得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题关键．
17．（2022·吉林·长春吉大附中力旺实验中学模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点，点，则互异二次函数与正方形OABC有公共点时m的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点横纵坐标的关系得出抛物线顶点的运动轨迹，结合正方形的位置，则可得到当抛物线经过点B时m取最大值，依此列式求解即可．
【详解】
解：∵抛物线顶点坐标为 ,
∴抛物线顶点在直线y= -x上移动，
∵四边形AOBC为正方形，点A（0，2），点C（2，0），
∴点B坐标为，
如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，
将代入中，
则，
解得 或（舍去），
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数图象和性质和图象平移的特点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系及图象平移的特点．
18．（2022·河北保定·二模）已知二次函数（a为常数）．
（1）若，则二次函数的顶点坐标为___________；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题给出的是二次函数的顶点式，可以推出二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），第一小问直接把a=2代入顶点坐标即可，第二小问要进行等量变换，具体见详解．
【详解】
①由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）；
②设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=，则y=a-1=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标，第二问需要用等量变换，消掉a，得到y关于x的关系式．
三、解答题
19．（2022·福建莆田·九年级期末）一抛物线以为顶点，且经过x轴上一点，求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标．
【答案】y=﹣x2-2x＋8；抛物线与y轴交点为
【解析】
【分析】
知道顶点和抛物线上一点，可以用抛物线的顶点式求答；
【详解】
解：设抛物线解析式为，
依题意，，将代入中，
得，解得，
∴抛物线解析式为，即y=﹣x2-2x＋8；
令，则，
∴抛物线与y轴交点为．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式；在知道顶点坐标的时候，利用顶点式求二次函数解析式十分方便．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，从m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
【答案】水流落地点B离墙距离OB为5米
【解析】
【分析】
由题意可知M（1，8），A（0，），且M为抛物线的顶点坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式，令y＝0即可求出OB的值；
【详解】
解：令OB为x轴，OA为y轴，向上，向右为正方向，建立坐标系，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
代入A（0，）得a+8，
a＝﹣0.5，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
当y＝0时，0＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5，
∴OB＝5米，
答：水流落地点B离墙距离OB为5米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用；掌握二次函数的顶点式及性质是解题关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数（是实数）．
(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
【答案】(1)对的，理由见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；
（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次函数的性质即可证得结论．
(1)
解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数（是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
(2)
证明：点，都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入，得
∴c≤15．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（2022·安徽·模拟预测）已知抛物线的顶点位于直线上，当该抛物线的顶点是原点时，则该抛物线经过点．
(1)当时，求二次函数的解析式；
(2)当二次函数与x轴无交点时，求h的取值范围；
(3)二次函数与直线交于点P，求点P到x轴距离的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【解析】
【分析】
(1)首先由题意可得，即可求得，把（h，k）代入函数，得，据此即可求得k，即可求得解析式；
(2)由题意可得，再根据一元二次方程根的判别式，即可求得；
(3)把，代入，根据二次函数的性质即可求得．
(1)
解：当该抛物线的顶点是原点时，该抛物线的解析式为，
将代入，得，解得．
把（h，k）代入函数，得，
当时，得，h=-2，
∴二次函数的解析式为；
(2)
解：由题意，得，由（1）得，，
∴．
∵，二次函数与x轴无交点，
∴，
∴；
(3)
解：当时，，
故当时，y有最小值6，故点P到x轴距离的最小值为6．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
23．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C．
(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论．
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)请你提出两个对任意的m值都能成立的正确命题．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下
(2)存在，2
(3)无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点
【解析】
【分析】
（1）当m=1时，y=-（x-1）2+1，根据的性质写出三个结论即可；
（2）求得C（0，1-m2），根据点B在原点的右边，点C在原点的下方，可得m＞1，根据等腰三角形的性质可得1+m=m2-1，解方程求解即可；
（3）根据的性质，可知无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点．
(1)
解：当m=1时，y=-（x-1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
令，-（x-1）2+1=0，
解得，
抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），
抛物线开口向下；
(2)
存在，理由如下：
令x=0，则y=1-m2，
∴C（0，1-m2），
令y=0，则x=1+m或x=m-1，
∴B（1+m，0），
∵点B在原点的右边，点C在原点的下方，
∴1+m＞0，1-m2＜0，
∴m＞1，
∵△BOC为等腰三角形，
∴1+m=m2-1，
解得m=2或m=-1（舍），
∴m=2；
(3)
无论m为何值，函数始终有最大值1；
无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点．
【点睛】
本题考查了的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次函数与坐标轴交点问题，掌握的性质是解题的关键．