初中数学人教版（2024）七年级上册第二章 整式的加减2.2 整式的加减习题

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选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·七年级课时练习）下列式子中，符合书写格式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．判断选择即可．
【详解】A、应写成，故该选项不符合题意；
B、符合代数式的书写规范，故该选项符合题意；
C、应写成，故该选项不符合题意；
D、应写成，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式的书写规范，正确掌握代数式的书写规范是解题的关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）“的倍与的和的一半”可以用式子表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“的倍与的和的一半”列出代数式，选择即可．
【详解】“的倍”可以表示为：，
“的倍与的和”可以表示为：，
“的倍与的和的一半”可以表示为：或．
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意列出代数式是解题的关键．
3．（2023秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．不是一个代数式
B．0是一个单项式
C．一个多项式的次数为5，那么这个多项式的各项的次数都小于5
D．单项式的系数是
【答案】B
【分析】根据代数式的定义及单项式的定义及系数和多项式的次数逐一判断即可求解．
【详解】解：A、是一个代数式，则A选项错误，故A选项不符合题意；
B、0是一个单项式，则B选项正确，故A选项符合题意；
C、一个多项式的次数为5，那么这个多项式的各项的次数等于或小于5，则C选项错误，故C选项不符合题意；
D、单项式的系数是，则D选项错误，故D选项不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了代数式的定义、多项式的系数和单项式的定义及系数，熟练掌握上述知识是解题的关键．
4．（2023秋·七年级课时练习）下列代数式： ，，，，，中，单项式有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】根据单项式的定义对各式进行逐一分析即可．
【详解】解：根据单项式的定义可知，这一组代数式中是单项式的有：，，，共个；
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解答此题的关键．
5．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别用不同方法表示出阴影部分的面积即可判断．
【详解】解：图中阴影部分的面积可以表示为：
或或，
故B，C，D不合题意，
A不能表示阴影部分面积，故符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了列代数式，熟练掌握阴影部分面积的求法是解题的关键．
6．（2023秋·七年级课时练习）已知，则的值是（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】D
【分析】根据非负数的性质解答，有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．据此求出a、b的值，进而求出代数式的值．
【详解】∵，
而，
∴，
∴．
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列式求出a、b的值是解题的关键．
7．（2023秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成5个零件，第二道工序每名工人每小时可完成8个零件，第三道工序每名工人每小时可完成10个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要（ ）名工人．
A．15B．17C．21D．23
【答案】B
【分析】先根据题意列出方程，由于a、b、c是正整数，得出a必是8的倍数，最后由三道工序的工人最少，即可得出，即可求解．
【详解】解：设第一道工序安排a名工人，第二道工序安排b 名工人，第三道工序安排c名工人，（a，b，c 均为正整数），
∵要使加工生产均衡，
则有，
∴，
∵a，b，c 均为正整数，
∴a必是8的倍数，
，
∴，
即第一道工序安排8名工人，第二道2工序安排5名工人，第三道工序安排4名工人，
总共名工人，
故选：B．
【点睛】本题考查列不定方程组和不定方程组解的确定，是一道比较简单的题目．
8．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）下列图形都是由圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25个圆点，……，依此规律，则图6中圆点的个数是（ ）

A．42B．52C．63D．75
【答案】B
【分析】将每个图形分为2部分看，每个图形左边均为6个点；右边中间都是1个点；右边上面依次增加一行，每行依次增加一个；右边下面依次增加一行，每行都是2个点；总结出一般规律即可求解．
【详解】解：根据图形可知，
图1中圆点个数为：；
图2中圆点个数为：；
图3中圆点个数为：；
图4中圆点个数为：；
图n中圆点个数为：，
∴图6中圆点的个数是：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形，总结出一般规律求解．
9．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）在矩形内，将一张边长为和两张边长为的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的知识和周长的定义，列出算式周长差，再去括号，合并同类项即可求解．
【详解】解：图1中阴影部分的周长，
图2中阴影部分的周长，
周长差．
故若要知道周长差，只要测量图中线段的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长．
10．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．
①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29；
②对x，，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是7；
③对a，b，b，c进行“绝对运算”，化简的结果可能存在8种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】①根据“绝对运算”的运算方法进行运算即可判定；
②根据“绝对运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“绝对运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定
【详解】解：①对1，3，5，10进行“差绝对值运算”得：，
故①正确；
②对x，，5，
∵，表示的是数轴上点x到和5的距离之和，
∴的最小值为，
∴x，，5的“绝对运算”的最小值是：，故②不正确；
对a，b，b，c进行“绝对运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
a，b，b，c的“绝对运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，
故③不正确，
综上，只有1个正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（2023秋·七年级课时练习）写出的一个同类项： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据同类项的定义含有相同字母，相同字母的次数也相同的项是同类项写出即可解题．
【详解】和是同类项的为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
12．（2023秋·七年级课时练习）一个关于x的二次三项式，二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，则这个多项式是 ．
【答案】
【分析】由于多项式是由单项式组成的，而多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，而关于x的二次三项式，二次项系数是，一次项系数和常数项是2，根据前面的定义即可确定这个二次三项式．
【详解】解：∵该二次三项式二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，
∴这个多项式是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式，多项式是由单项式组成的，明确二次项、一次项和常数项的定义是解题的关键．
13．（2023秋·七年级课时练习）长方形的一边长为，另一边比它长，则另一边的长为 ．
【答案】/
【分析】根据长方形的一边长为，另一边比它长列出算式求解即可．
【详解】解：∵长方形的一边长为，另一边比它长，
∴另一边为，
故答案为：
【点睛】此题考查了整式的加减运算，整式的加减运算主要是去括号与合并同类项．
14．（2023秋·七年级课时练习）如图是一所住宅的建筑平面图（长度单位：m），这所住宅的建筑面积（阴影部分的面积）为 （用含的式子表示），表示面积的式子是 次 项式．

【答案】 二/2 三/3
【分析】把正方形面积加上两个长方形面积即可求解．
【详解】解：由题意得：阴影部分为：，
这个表达式是二次三项式，
故答案为：；二；三．
【点睛】本题考查列代数式和多项式的项数，解题的关键是掌握长方形面积公式和整式的运算法则．
15．（2023秋·七年级课时练习）若式子的值与字母的取值无关，则式子的值为 ．
【答案】1
【分析】先将原代数式化简，再根据代数式的值与字母x的取值无关，可得式子的值与字母的取值无关，，，从而解得a，b，再将式子化简后代入，即可求解．
【详解】解：
，
∵式子的值与字母的取值无关，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，根据代数式的值与字母x的取值无关，得到，是解题的关键．
16．（2023秋·七年级课时练习）计算：，，，，，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ．
【答案】3
【分析】根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而可以求得的个位数字．
【详解】∵，
∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现，
∵，
∴的个位数字是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现结果的个位数字的变化特点，写出所求式子的个位数字．
17．（2023秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房．现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙两个人，每人至少分得一张，那么共有 种不同分法．
【答案】
【分析】根据题意，列举出不同分法即可得到答案．
【详解】解：有四张电影票，分给甲、乙两个人，每人至少分得一张，
①甲1张、乙3张，有4种方法：1和234、2和134、3和124、4和123；
②甲2张、乙2张，有6种方法：12和34、13和24、14和23、23和14、24和13、34和12；
③甲3张、乙1张，有4种方法：234和1、134和2、124和3、123和4；
综上所述，共有种方法，
故答案为：．
【点睛】本题考查用数学知识解决数学问题，读懂题意，按要求列举出各种结果是解决问题的关键．
18．（2023秋·重庆铜梁·八年级铜梁二中校考开学考试）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“好数”定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“好数”，因为，不能被整除则百位数字比十位数字大的所有“好数”是 ．
【答案】，，，
【分析】首先设百位数字为，十位数字为，个位数字为，设为正整数，再根据题意可得出为正整数，，据此可得，据此可求出，，，的值，进而可得出答案．
【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为，
这个三位数为正整数，
由题意得：为正整数，，
，
又为奇数，
，同时为奇数．
当时，，，则，，或，，或，，
此时“好数”有个，分别是，，；
当时，，，则，，
此时“好数”有个：．
综上所述：百位数字比十位数字大的所有“好数”是：，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】此题主要考查了列代数式，整式的加减运算，理解题意，列出相关的代数式是解答此题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023秋·七年级课时练习）当时，求下列各代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)10
(2)
(3)25
【分析】（1）把a与b的值代入，先算括号内的，再算乘法即可求出值；
（2）将a与b的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答；
（3）将a与b的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）把多项式按下列要求排列：
(1)按x的升幂排列；
(2)按y的降幂排列．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可；
（2）根据降幂排列的定义，我们把多项式的各项按照y的指数从大到小的顺序排列起来即可．
【详解】（1）解：按x的升幂排列：；
（2）解：按y的降幂排列：．
【点睛】此题考查了多项式的降幂排列的定义．首先要理解降幂排列的定义，然后要确定是哪个字母的降幂排列，这样才能比较准确解决问题．
21．（2023秋·七年级课时练习）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）去括号，合并同类项，化简后代值计算即可；
（2）去括号，合并同类项，进行化简，根据非负性求出后的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：原式．
当时，原式．
（2）原式．
∵，
∴，
∴．
∴原式．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项法则，正确的计算，是解题的关键．
22．（2023秋·七年级课时练习）【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，求的值；
(2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值；
(3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对代数式适当变形将整体代入即可；
（2）将代入代数式求得，再将代入，对所得代数式进行变形，整体代入即可；
（3）将代入代数式求得，再将代入，对所得代数式适当变形，整体代入即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：将代入得，
化简得．
将代入得
将代入得=；
（3）解：当时，，
即，
所以．
当时，
．
【点睛】本题考查代数式求值——整体代入法．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可以把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含这几个式子的代数式，再将式子看成一个整体代入求值．运用整体代换，往往使问题得到简化．
23．（2023秋·七年级课时练习）王师傅去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家商店的苹果，这两家商店的苹果品质一样，零售价都是6元/千克，批发价各不相同．A家商店规定：一次性批发质量不超过1000千克，按零售价的92%优惠计算；一次性批发质量超过1000千克，但不超过2000千克，按零售价的90%优惠计算；一次性批发质量超过2000千克，按零售价的88%优惠计算．
B家商店的价格分段计算，规定如下表：
(1)如果他计划批发700千克苹果，他在_________（填“A”或“”）家商店批发比较优惠；
(2)如果他批发千克苹果，请你计算他在两家商店批发所需的费用（用含的代数式表示）．
【答案】(1)A
(2)A家商店费用：（元）；家商店费用：元
【分析】（1）根据题意，分别计算即可判断，注意B商家分段考虑；
（2）根据题意，将数量关系，列代数式，即可．
【详解】（1）解： A家商店费用：（元）；家商店费用：（元）；
故答案为：A
（2）家商店费用：（元）；家商店费用：元．
【点睛】本题考查列代数式；理清题意中的数量关系，列代数式是解题的关键．
24．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）阅读下列材料，并解决相应问题
观察下面一列数：
1，2，4，8，……
我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
(1)如果一个等比数列的第2项是12，第3项是18，则这个等比数列的第1项是_________，第4项是_________．
(2)为了求等比数列1，2，4，8，……的前2024项的和，可以用如下的方法：
求此等比数列前2024项的和，即为求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上材料，求出的值，并写明求解过程．
【答案】(1)8，27
(2)，求解过程见解析
【分析】（1）先求出该等比数列的公比，再计算第1项和第4项的值即可；
（2）结合题目中的方法求解即可．
【详解】（1）解：如果一个等比数列的第2项是12，第3项是18，
则等比数列的公比为，
所以，第1项是，第4项是．
故答案为：8，27；
（2）根据题意，可知，
则，
所以，
所以，
即．
【点睛】本题主要考查了数字规律探索，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律是解决问题的关键．
25．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．
​
(1)图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
请完成表格并直接写出S与x之间的关系式；
(2)如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．
①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；
②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为： ．
【答案】(1)，，
(2)①见解析；②
【分析】（1）算出②的面积，再探索规律，求出④的格点个数之和；
（2）先画出两个图形，再求出四个图形的面积，最后探索面积和的关系；
【详解】（1）解：图②的面积为，
根据2，，3，对应4，5，6，可知和的关系为，当时，；
故答案为：，8，．
（2）①如图，分别画出两个格点多边形⑦⑧，其内部都只有两个格点．
②图⑤中，，图⑥中，，图⑦中，，图⑧中，，通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即，
故答案为：．
【点睛】根据题意得出一般性的规律，然后根据规律进行计算求解，找出规律是解题的关键．
26．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
．．．……；
下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式的第三项的系数______；
(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______；
(3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______；
②展开式按的升幂排列为：，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由题意可求得当时，多项式的第三项的系数是多少，找到规律，即可得出答案；
（2）求得当时，多项式展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案；
（3）①首先确定是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将代入求解即可．
【详解】（1）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：；
当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：；
当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：；
当时，多项式的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：；
……
多项式的展开式是一个次项式，第三项的系数为：；
故答案为：；
（2）解：当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
……
多项式展开式的各项系数之和为，
故答案为：；
（3）解：①，
展开式中含项是其展开式的第二项，
，
故答案为：；
②，
当时，令，
则，
．
【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表示展开式．
质量范围/千克
0~500部分
500以上~1500部分
1500以上~2500以上部分
2500以上部分
价格
零售价的95%
零售价的85%
零售价的75%
零售价的70%
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
…