2024-2025学年重庆市开州开区高三上册11月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市开州开区高三上册11月月考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，则可以为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．为等比数列的前项和，若，且，则等于（ ）
A．2B．4050C．D．
4．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．20B．25C．30D．35
5．若为锐角，已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的定义域为 ，若函数与函数的交点为，则（ ）
A．0B．C．2025D．4050
7．已知圆，直线，点为直线上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别为.若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为（ ）
A．或B．或5C．3或D．3或5
8．已知点分别为椭圆的左､右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．关于直线对称
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交该抛物线于，两点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若直线的斜率为1，则
D．面积的最小值为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．若关于的方程有两个不相等的实根，且，则
C．若，不等式恒成立，则的取值范围为
D．若，且，则的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线与直线平行，则实数 .
13．点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为 .
14．若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.
(1)求证：；
(2)若，求的面积.
16．已知数列的前项和为，且.
(1)若，求；
(2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围.
17．某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.
(1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；
(2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：
(3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.
（参考数据：若，则，）
18．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，其左顶点A−2,0，离心率.
(1)求双曲线方程及渐近线方程；
(2)过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点.
19．已知函数.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)当时，数列满足.求证：的前项和满足.
答案
1．【正确答案】A
【分析】借助复数的性质设，结合题意计算即可得.
【详解】设，，则，故有，
即有，选项中只有A选项符合要求，故A正确，
B、C、D选项不符合要求，故B、C、D错误.
故选A.
2．【正确答案】B
【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线，
可得，解得且，
因为是的真子集，
所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，
即，解得，
所以.
故选：A.
4．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当即取等号，
故最小值为25，
故选：B
5．【正确答案】D
【详解】由为锐角，则，，
由，解得，，
所以.
故选：D.
6．【正确答案】C
【详解】由，可得函数的图象关于点对称，
因，则
，故函数的图象关于点对称，
又函数的定义域为且和的交点有奇数个，故是两个函数的交点，即，
另外2024个交点都关于点对称，即，
故.
故选：C.
7．【正确答案】C
【详解】由可知圆心C0,1，半径为2，
因为四边形为正方形，且边长为圆的半径2，所以，
所以直线上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或．
故选：C.
8．【正确答案】A
【详解】由椭圆，知，所以.
所以，所以过作垂直于轴的直线为，
可得，
由题知的内切圆的半径相等，且，
的内切圆圆心的连线垂直于轴，垂足为.
设内切圆的半径为，在中，
由等面积法得，，
由椭圆的定义可知，，由，
所以，解得，
在中，因为为的角平分线，所以一定在上，即轴上，
令圆半径为，
在中，由等面积法得，，
由椭圆的定义可知，，
所以，解得，
所以，
所以，
所以的周长是.
故选：A.
9．【正确答案】ACD
【详解】对于AB，由题意知，，
所以，，
又，即，所以；
即，又因为，所以，
故，所以A正确，B错误；
对于C，令,则，
存在着当时，使其对称轴为，故C正确；
对于D，将图象上所有点向左平移个单位长度后得到，故D正确；
故选：ACD.
10．【正确答案】BC
【详解】对于A，易知抛物线即为，所以焦点，
由题意可知过点的直线斜率一定存在，设直线方程为，
联立，整理可得，，
由韦达定理可得，即A错误；
对于B，由焦半径公式可得，
因此
，即B正确；
对于C，若直线的斜率为1，即，
则，可得C正确；
对于D，易知，点到直线的距离为，
所以的面积为，
当时，面积的最小值为，即D错误.
故选：BC
11．【正确答案】BCD
【详解】因为，则，
当时，f′x>0；当时，f′x0；当时，ℎ′x>0；
可知ℎx在0,1内单调递减，在1,+∞内单调递增，且.
可得，所以的取值范围为，故C正确；
对于选项D：若，且，
由图象可知：，
则，即，可得，
且，即，可得，
又因为，
且，在0,+∞内单调递增，可得，
则，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
所以的最大值为，故D正确；
故选：BCD.
12．【正确答案】−2
【详解】因为直线与直线平行，
所以，
所以，且且
所以.
故答案为.
13．【正确答案】/
【详解】设，则，整理得到，
设该圆的圆心为，则，半径为，
而，圆的半径为，，
故圆与圆相离，故的最小值为，
当且仅当共线时且在之间时取最小值.
而的最小值为，当且仅当共线且在之间时取最小值，
故的最小值为，
故
14．【正确答案】
【详解】若数列为上的“凹数列”，则，即，
可得，
整理可得，即，
因为，令，可得，
当时，，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
因为在上单调递增，
则在上单调递减，且当时，，
可知的最大值为，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为.
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由，得
即，
因为，
由正弦定理得，，
则，即.
（2）在中，由余弦定理得，①
因为为的中点，所以，
则，
即，
即，②
联立①②，得，解得，
所以，
所以的面积为.

16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，
可得，
若，则，
可知是以首项为2，公比为3的等比数列，
则，所以.
（2）因为，
当时，则；
当时，则，
两式相减可得，则，
若数列是单调递增数列，则，解得，
且，解得，
综上所述：首项的取值范围为.
17．【正确答案】(1)“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为人、人
(2)
(3)班级成绩由于年级成绩
【详解】（1）由已知，
“成绩优秀”的概率为：
.
“不及格”的概率为：
，
所以“成绩优秀”的人数为人，
“不及格”的人数为人.
（2）设事件：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件：丙入选，
则，
（3）由条件知年级中，
而在该班随机抽查中，同学成绩在一次随机事件中就发生了，
这说明班级成绩由于年级成绩.
18．【正确答案】(1)；
(2)（i）;（ii）证明见解析;定点为.
【详解】（1）依题意，，则得，
则双曲线方程为，其渐近线方程为：，即；
（2）
（i）显然当过点的直线斜率不能为0，故可设其方程为为，
代入双曲线方程，消元整理得：，
则由,解得.
设点，则，
于是，，
又由解得，即图中；
由解得，即图中.
则，
于是，
因，则，
即的取值范围为；
（ii）因，则直线方程为：，令，则得，即；
同理直线方程为：,令，则得,即.
根据图象的对称性可知以为直径的圆必经过轴上的一定点，设为，
则,代入坐标，可得（*），
因，
，
则，
代入（*），可得，解得或.
即以为直径的圆过定点和.
19．【正确答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由，，
则，
当时，，令，得，
所以函数有唯一极值点；
当时，令，即，
由于，设方程的两根为，
则，所以，
所以函数有唯一极值点；
当时，令，即，
当，即时，设方程的两根为，
则，，
所以函数有两个极值点；
当，即时，方程无解，
所以函数无极值点.
综上所述，当时，函数有唯一极值点；
当时，函数有两个极值点；
当时，函数无极值点.
（2）当时，，，
则，
所以函数在上单调递增，
当时，，
由，可得，
所以，则，，
可得，所以.
设，，则，
所以函数在上单调递减，
所以，则，
所以
，
所以，
则，
所以，
则.
综上所述，.