2024-2025学年上海市青浦贤区高三上册11月期中数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市青浦贤区高三上册11月期中数学检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，．若，则__________．
2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．
3. 已知等差数列满足，，则____________.
4. 设关于的不等式的解集为，则__________.
5. 函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
6. 设x、y均为正实数，且，则的最小值为________.
7. 已知，，则向量在向量方向上投影向量为_________.
8. 幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a取值范围是________.
9. 不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则______.
10. 在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.
11. 设且，满足，则的取值范围为________________．
12. 2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则数列为函数的“切线数列”.若函数的“切线数列”为，其中，数列满足，上，数列的前n项和为，则________.
二、选择题：本大题共4题，13－14小题每题4分，15－16小题每题5分，共18分，在每个题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
13. 已知实数x，y满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A B. C. D.
14. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
15. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 9B. 16C. 21D. 25
16. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的序号是（ ）
① 函数的定义域为，值域为； ② 方程，有无数解；
③ 函数是周期函数； ④ 函数是增函数；
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
三、解答题：本大题共5题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角所对的边分别为．
（1）若a，b，c成等差数列，证明：；
（2）若成等比数列，求的最小值．
18. 已知函数为奇函数，且，其中，．
（1）求，的值；
（2）若，，，求的值．
19. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中.
（1）请你说明的实际意义；
（2）若该线路每分钟净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若关于x方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；
（3）设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围.
21. 设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”.
（1）分别判断和是否为D函数，并说明理由；
（2）若是D函数，求正数a的取值范围；
（3）已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件。
2024-2025学年上海市青浦贤区高三上学期11月期中数学检测试卷
一、填空题：本大题共12题，1－6小题每题4分，7－12小题每题5分，共54分.
1. 已知，．若，则__________．
【正确答案】
【分析】根据集合，则集合中的所以元素均相同，即可列方程求解的值.
【详解】解：已知，．若，
所以，解得，或，无解
综上，.
故答案为.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．
【正确答案】
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】解：由，得，
∴.
故答案为.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.
3. 已知等差数列满足，，则____________.
【正确答案】5
【分析】由等差数列的性质可得.
【详解】因为是等差数列，所以，
则有，解得.
故答案为.
4. 设关于的不等式的解集为，则__________.
【正确答案】
【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.
【详解】因为关于不等式的解集为，
所以一元二次方程的两个根为，
所以根据韦达定理可得，解得，
所以，
故答案为: .
5. 函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【正确答案】.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
6. 设x、y均为正实数，且，则的最小值为________.
【正确答案】25
【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性及基本不等式求出最小值.
【详解】正数满足，则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为25.
故25
7. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________.
【正确答案】
【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案.
【详解】向量在向量方向上的投影，
即.
故答案为.
8. 幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】利用给定的幂函数性质，结合函数奇偶性定义求出的范围.
【详解】当时，，则，且，函数是奇函数，不符合题意；
当且时，关于数0不对称，此时幂函数是非奇非偶函数，
所以实数a的取值范围是.
故
9. 不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则______.
【正确答案】
【分析】解不等式求出集合，再利用交集的定义求出结果.
【详解】不等式，解得或，即，
不等式，解得，即，
所以.
故
10. 在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.
【正确答案】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即
故
11. 设且，满足，则的取值范围为________________．
【正确答案】
【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设，
，则，
所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，
与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为.
故
12. 2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则数列为函数“切线数列”.若函数的“切线数列”为，其中，数列满足，上，数列的前n项和为，则________.
【正确答案】
【分析】求导化简得，从而得为等比数列，结合求和公式即可求解问题．
【详解】由，求导得，
依题意，，，
所以，
由，得，
又，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
故
二、选择题：本大题共4题，13－14小题每题4分，15－16小题每题5分，共18分，在每个题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
13. 已知实数x，y满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】作差比较大小判断A；举例说明判断BCD.
【详解】对于A，，而，
则（当且仅当时）因此，A正确；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，取，满足，而无意义，C错误；
对于D，取，满足，不成立，D错误.
故选：A
14. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据给定条件，借助正余弦函数、对数函数性质，逐项判断即得.
【详解】对于AB，余弦函数、正弦函数在上都不单调，AB不合题意；
对于C，常数函数在上不单调，C不合题意；
对于D，函数定义域为，，
函数是偶函数，当时，在上单调递减，D符合题意.
故选：D
15. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 9B. 16C. 21D. 25
【正确答案】C
【分析】根据等比数列的性质求，即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，，即，得，
.
故选：C
16. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的序号是（ ）
① 函数的定义域为，值域为； ② 方程，有无数解；
③ 函数是周期函数； ④ 函数是增函数；
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【正确答案】B
【详解】①由于表示不超过的最大整数，则，
∴函数的定义域为，值域为，故①错误；
②若，则，，，，
∴方程，有无数解，故②正确；
③，
所以函数是周期为的周期函数，故③正确；
④函数在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．
命题中正确的序号是②③．
故选．
三、解答题：本大题共5题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角所对的边分别为．
（1）若a，b，c成等差数列，证明：；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
【分析】（1）利用等差中项和正弦定理的性质即可证得；
（2）先利用余弦定理求得的解析式，再利用均值定理即可求得的最小值．
【小问1详解】
成等差数列，，由正弦定理得
，
【小问2详解】
成等比数列，
由余弦定理得
（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立），
即，所以的最小值为
18. 已知函数为奇函数，且，其中，．
（1）求，的值；
（2）若，，，求的值．
【正确答案】（1），；（2）.
【分析】（1）把代入函数解析式可求得的值，进而根据函数为奇函数推断出，进而求得，则的值可得．
（2）利用和函数的解析式可求得，进而求得，进而利用二倍角公式分别求得，，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．
【详解】解：（1），
．
，
，即
为奇函数，
，
，．
（2）由（1）知，
，
，，，
，
．
19. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中.
（1）请你说明的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.
【正确答案】（1）当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量；
（2）发车时间间隔为6分钟，最大净收益为120元.
【分析】（1）根据给定的函数，直接得答案.
（2）分段计算净收益，并求最值，比较大小得解.
【小问1详解】
依题意，的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量.
【小问2详解】
当时，
，当且仅当时取等号；
当时，，
当且仅当时取等号，而，
所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；
（3）设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）或；
（3）.
【分析】（1）把代入，解方程即得函数的零点.
（2）将问题转化为当时，方程只有1个解，再结合一元二次型方程根的情况求解.
（3）利用单调性求出在指定区间上的最值，建立不等式并分离参数，构造函数并借助对勾函数的单调性求出最值即可.
【小问1详解】
当时，函数，由，得，即，解得，
所以函数的零点为.
【小问2详解】
方程，则，方程化为，
因此方程的解集中恰好有一个元素，当且仅当时，方程只有1个解，
当时，，符合题意，则；
当时，若，则，此时，符合题意，于是，
若，则，方程的二根为，，
当时，由，得或，显然，，
，即，此时方程有两个解，不符合题意；
当时，由，得，，
，即，此时方程有两个解，不符合题意，
所以实数的值为或.
【小问3详解】
函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
则函数在上单调递减，，，
由函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，得，
而，则不等式，
依题意，对任意的恒成立，
当时，不等式成立，
当时，令，，
函数在上单调递减，当时，，
因此当时，，则，
所以的取值范围为.
方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.
21. 设是定义在上奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”.
（1）分别判断和是否为D函数，并说明理由；
（2）若是D函数，求正数a的取值范围；
（3）已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件.
【正确答案】（1）是函数,不是函数，理由见解析.
（2）；
（3）证明见解析.
【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可.
（2）令，利用导数分类讨论其单调性即可求解.
（3）令函数结合必要条件的定义，推理判断即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
则函数和均为定义在R上的奇函数，
当时，函数严格减，因此函数函数；
当和时，，即函数在上不单调，因此函数不是函数.
【小问2详解】
函数的定义域为R，
，
则函数是定义在R上的奇函数，
当时，不是函数，则且，
当时，令，
求导得，
令函数，
求导得.
令，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，
则当时，，
若，则，，函数在上单调递增，，
，则函数在上严格单调递增，不是D函数；
若，则，函数在上单调递减，，
，则函数在上严格单调递减，是D函数，
所以正数的取值范围是.
【小问3详解】
令函数，其是定义域为R，，上的奇函数，
函数在上严格单调递减，因此函数为函数，
，而，则函数在上不单调，
所以“在上严格减”不是“为函数”的必要条件.
关键点点睛：本题第二问的关键在于证明的导函数恒成