2024-2025学年上海市奉贤区高三上册11月期中数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市奉贤区高三上册11月期中数学检测试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，且，则实数的取值范围为_________.
2. 已知 是虚数单位，复数 满足，若复数 为纯虚数，则实数 的值为_____.
3. 经过点且法向量为的直线方程为_____.
4. 二项式的展开式中，常数项为_____
5. 设 ，若抛物线 的焦点为坐标原点，则 _____.
6. 设 ，函数 图象一条对称轴为 ，则 _____.
7. 今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是_____
8. 圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为_____
9. 锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______
10. 设 ，满足，则 _____.
11. 已知数列各项均为正整数，对任意和中有且仅有一个成立，且.记.给出下列四个结论.①不可能是等差数列；②中最大项为；③不存在最大值；④的最小值为34.其中所有正确结论的序号是_____.
12. 如图所示，正八面体的棱长为2，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为________
二、选择题
13. 在中，""是为钝角三角形的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 已知事件 和 相互独立，且则（ ）
A B. C. D.
15. 已知函数若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
16. 已知数列为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数，均有，则称数列 为“阶弱减数列”. 现有以下两个命题：
①数列为无穷数列且（为正整数），则是数列是“阶弱减数列”的充分条件；
②数列为无穷数列且（为正整数），则存在，使得数列是“阶弱减数列”的充要条件是.
那么（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题
三、解答题
17. 已知钝角 ，满足 .
（1）求的值；
（2）求函数 值域.
18. 如图所示四棱锥，其中交BD于点.

（1）求证：平面；
（2）若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19. 为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
（2）求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；
（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望.
20. 设.
（1）当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围.
21. 已知椭圆 的左、右、下顶点分别为点 、 、 ，点 为椭圆 上的动点、点
（1）点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求线段的长；
（2）求面积的最大值；
（3）过点的直线与椭圆交于、两点(异于点、)，试探究直线、 BD的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
2024-2025学年上海市奉贤区高三上学期11月期中数学检测试卷
一、填空题
1. 设集合，且，则实数的取值范围为_________.
【正确答案】
【分析】先解二次不等式化简集合，再利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，，
又，故，解得，
则实数的取值范围为.
故
2. 已知 是虚数单位，复数 满足，若复数 为纯虚数，则实数 的值为_____.
【正确答案】
【分析】设，根据复数的运算以及复数相等可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【详解】根据题意，设，则，
根据复数相等可得，解得.
故答案为.
3. 经过点且法向量为直线方程为_____.
【正确答案】
【分析】首先求出直线的斜率，再由点斜式计算可得.
【详解】因为直线的法向量为，则直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故
4. 二项式的展开式中，常数项为_____
【正确答案】１５
【详解】常数项为第5项，所以常数项为
5. 设 ，若抛物线 的焦点为坐标原点，则 _____.
【正确答案】##
【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，再由图象平移规则即可得解.
【详解】易知抛物线的焦点坐标为，
将抛物线向上或向下平移个单位可得到抛物线，
由焦点坐标变为，可得.
故答案为.
6. 设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 _____.
【正确答案】
【分析】根据三角函数的对称性与最值的关系，可得，即可化简求解.
【详解】的图象的一条对称轴为 ，
故是函数的最大值或者最小值，即，
故，
化简可得，故，即，
故
7. 今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是_____
【正确答案】743
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】个数据按从小到大的顺序排列为：
，
因为，
所以这组黄金价格数据的第 75 百分位数是第九个数据，为.
故答案为.
8. 圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为_____
【正确答案】
【分析】由题意可得圆锥底面圆的半径，从而可得圆锥的高，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，圆锥的母线，设底面圆的半径为，
则，解得，所以圆锥的高，
则圆锥的体积为.
故
9. 锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______
【正确答案】
【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围.
【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列，
则，解得，不妨设角为最小角，
设等差数列、、的公差为，则，，
所以，，
，
由题意可知，因、为锐角，且，
即，解得，则，
所以，
.
故答案为.
10. 设 ，满足，则 _____.
【正确答案】4
【分析】构造函数，利用函数的奇偶性，以及用导数判断单调性，即可求解.
【详解】因为，
所以，
设函数，
都有
且，
所以函数是奇函数，
又因为，
因为，所以恒成立，
所以函数在上单调递增，
又因为，
所以
所以，解得，
故答案为:4.
11. 已知数列各项均为正整数，对任意的和中有且仅有一个成立，且.记.给出下列四个结论.①不可能是等差数列；②中最大项为；③不存在最大值；④的最小值为34.其中所有正确结论的序号是_____.
【正确答案】③④
【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出最小值判断④作答.
【详解】对于①，当时,由得,由得,
于是与仅只一个为1,即,
因此数列不能是等差数列,①错误;
对于④，令,依题意,与均为整数,且有且仅有一个为1(即隔项为1),
若,则,
,
而,因此,
当且仅当数列为时取等号,
若,则
,,
而,
因此,
当且仅当数列为时取等号,
从而的最小值为34,④正确;
对于②，当时,取,
数列为:,满足题意,
取p=2,a8=16>12=a9,an中最大的项不为,②错误;
对于③，由于的任意性,即无最大值,因此不存在最大值,③正确,
所以所有正确结论的序号是③④.
故答案为:③④.
关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
12. 如图所示，正八面体的棱长为2，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为________
【正确答案】
【分析】设交于点，，分析可知可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面，建系，设点，可得，进而确定截面的形状，整理可得，分析长度的最值即可得解.
【详解】设交于点，且，的中点为，
因为
，
则，即，
可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面，
如图，以为坐标运算，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设点，则，
可得，可得，
直线上的点满足，结合可得，
可知直线与平面的交点为，
同理可得：平面与直线的交点依次为
，
又因为，
注意到，则，
即，可知平面，
当点为与平面的交点时，取到最小值，
可设，
可得，结合可得，即，
则，所以取到最小值，
检验可知：当点为时，取到最大值，
所以取到最大值；
综上所述：的取值范围为.
故答案为.
关键点点睛：本题的关键在于利用空间向量求平面上的点满足的关系式，进而确定平面与正八面体的棱的交点，进而分析求解.
二、选择题
13. 在中，""是为钝角三角形的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】由，可得，
所以为钝角，是钝角三角形，
所以由可以得出为钝角三角形，
若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，
所以在中， ""是为钝角三角形的充分不必要条件，
故选：A.
14. 已知事件 和 相互独立，且则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式，相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得.
【详解】由事件A与事件B相互独立，得.
故选：C
15. 已知函数若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分，，三种情况讨论，由题意分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得到答案；
【详解】当时，，
所以，即，所以，
则，
因为在0,1上递增，
所以；
当，，所以，
所以，不存在，使得；
当时，，
因为，所以，
所以，
则，
令，则，
因为，所以，，
所以，所以，即，
所以在上单调递增，
所以，即，
综上所述，的取值范围是，
故选：D.
关键点点睛：本题的关键是分，，三种情况讨论，再结合题意分别确定的范围.
16. 已知数列为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数，均有，则称数列 为“阶弱减数列”. 现有以下两个命题：
①数列为无穷数列且（为正整数），则是数列是“阶弱减数列”的充分条件；
②数列为无穷数列且（为正整数），则存在，使得数列是“阶弱减数列”的充要条件是.
那么（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题
【正确答案】A
【分析】分别证明①是真命题，②是假命题，即可得到答案.
【详解】下面证明：①是真命题，②是假命题.
对于①，若，则
.
若，由可得，故，从而
.
所以只要，就一定有，所以①是真命题.
对于②，由于当时，对任意的都有
c2+l−c2=c6−c2=−51+a1−a+1−−−3+a−3−a+1=1−5+5a2−1−9+a2=4+a2>0.
故不是“阶弱减数列”，从而②的充分性不成立，所以②是假命题.
综上，①是真命题，②是假命题.
故选：A.
关键点点睛：本题的关键在于理解弱减数列的定义，只有理解了定义，方能解决相应的问题.
三、解答题
17. 已知钝角 ，满足 .
（1）求的值；
（2）求函数 的值域.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由同角三角函数的关系结合诱导公式，二倍角公式即可求解；
（2）确定函数单调性即可求解.
【小问1详解】
由，又，又为钝角，
两方程联立求解可得：，又为钝角，
所以
可得：，
【小问2详解】
由（1）可得：
，，
在 上单调递增, 在上单调递减，
所以在单调递减，
当 x=0 时,有最大值，
当 时有最小值，
函数 的值域为
18. 如图所示四棱锥，其中交BD于点.

（1）求证：平面；
（2）若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）.
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
因为，
所以均在BD的垂直平分线上，所以，
图为，
所以，
图为，所以，
又圀为平面平面，
所以平面，
【小问2详解】
因为平面，所以平面平面.
由(1)可知，
以为原点，所在直线分别为轴，
过点垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，
所以，所以，
从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知，
由(1)可知，所以，
由(1)可知，
而平面平面平面平面，
且二面角为，所以，
所以与轴所在直线的夹角为，所以，
因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，解得，
所以平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 为迎接“五一小长假”到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
（2）求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；
（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望.
【正确答案】（1）
（2）顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、
（3）分布列答案见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
（2）根据古典概型概率公式及组合数公式计算可得；
（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，则，利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望.
【小问1详解】
设顾客第次摸到红球为，
则；
【小问2详解】
由题意知，，，
，，
因此，顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、；
【小问3详解】
由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，
则，
所以，，
，，
则分布列为：
数学期望.
20. 设.
（1）当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围.
【正确答案】（1）.
（2）上是严格增函数，上是严格减函数.
（3）.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解.
（2）求出导数，判断导数值正负求出单调区间.
（3）先探求不等式成立的必要条件，再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即可证明.
【小问1详解】
当时，，求导 ，则，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
当时，函数的定义域为，
求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上严格增函数，在上严格减函数.
【小问3详解】
函数定义域为，
不等式恒成立，即恒成立，
当时，必成立，则，
令，求导得
，
而，则当时，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，则，
所以的取值范围是.
关键点点睛：在定义域上恒有成立求的范围，首先根据恒成立探求其成立的必要条件，由可知必有，证明充分性时，令，利用导数求出恒成立，即可求解，属于难题.
21. 已知椭圆 的左、右、下顶点分别为点 、 、 ，点 为椭圆 上的动点、点
（1）点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求线段的长；
（2）求面积的最大值；
（3）过点的直线与椭圆交于、两点(异于点、)，试探究直线、 BD的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【正确答案】（1）
（2）
（3）是定值 4.
【分析】（1）联立直线与椭圆方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果；
（2）由点到直线的距离公式可得三角形的高，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果；
（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，再联立两直线方程，代入化简，即可得到结果.
【小问1详解】
过点斜率为1的直线方程为，
由 ，消去可得，
解得，
故弦长为 .
【小问2详解】
，直线的方程为，
设点，点到直线的距离
.
则，，
故面积的最大值为.
【小问3详解】
可得.
若直线与轴重合，则与重合，不合题意.
设直线的直线方程为，
联立消去，整理得，
，
由韦达定理可得.
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程，解得. (1)
将代入(1)，得.(2)
将 代入(2)，
得.，
因此，直线 的交点的横坐标为定值4.
月份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
9月
10 月
11 月
黄金价格(元/克)
624
616
630
691
708
716
714
737
743
768
815
月份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
9月
10 月
11 月
黄金价格(元/克)
624
616
630
691
708
716
714
737
743
768
815
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