2023届上海市青浦区高三二模数学试题含解析

2023届上海市青浦区高三二模数学试题

一、填空题

1．直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __．

【答案】平行或相交

【分析】利用平面的基本性质求解即可.

【详解】因为直线a，b确定一个平面，

所以a，b的位置关系为平行或相交，

故答案为：平行或相交

2．已知复数满足（为虚数单位），则_______________.

【答案】/

【分析】根据复数的除法运算法则即可求得结果．

【详解】，

，

故答案为：．

3．已知向量，，则在方向上的投影是_______________.

【答案】

【分析】根据向量投影的知识求得正确答案.

【详解】在方向上的投影是.

故答案为：

4．过点与直线垂直的直线方程为_______________.

【答案】

【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程.

【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，

解得，

故所求直线方程为.

故答案为：.

5．已知集合，若，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围.

【详解】由解得，所以，

由于，所以，

所以的取值范围是.

故答案为：

6．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为______．

【答案】

【分析】设球的半径为,根据圆柱的体积可求得，利用球的表面积公式即可求得答案.

【详解】设球的半径为,则圆柱的底面直径和高皆为，

故圆柱的体积为，

故球的表面积为 ，

故答案为：

7．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是_______________.

【答案】

【分析】根据图像判断出的关系，进而求得不等式的解集.

【详解】根据函数的图像可知：

，即，

不等式可化为，

即，

解得或，

所以不等式的解集是.

故答案为：

8．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.

【答案】

【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，

因为，即，

所以，函数为周期函数，且周期为，则，

在等式中，令，可得，所以，，

因为，则，

因为，

所以，

.

故答案为：.

9．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于_________米.

【答案】

【分析】先求得，再利用余弦定理求得.

【详解】，

，

在三角形中，

由余弦定理得米.

故答案为：

10．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是____.

【答案】

【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】由题意数列的通项公式为，,满足

，且对任意的恒成立，

当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得

，所以实数的取值范围是.

故答案为：.

11．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．

【答案】

【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解

【详解】设椭圆的半焦距为，

如图，延长，与椭圆交于点L，连接，

由，所以根据对称性可知，，

设，则，，

从而，故，

在中，，所以，

在中，，即，

所以，所以，所以离心率，

故答案为：

12．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为________.

【答案】

【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意.

【详解】画出函数的图象，如图1所示：

圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：

此时绕着原点旋转弧度为；

若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：

此时转过的角度为，不满足题意；

若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：

此时转过的角度为；

故答案为：.

二、单选题

13．设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】C

【分析】根据基底的知识确定正确答案.

【详解】依题意，不共线，

A选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

B选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

C选项，，

所以和不能构成基底.

D选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

故选：C

14．已知为正整数，则“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（   ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的通项公式以及充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】展开式的通项公式为，

令，解得，

所以，若的二项展开式中存在常数项，则是的倍数.

所以“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的充要条件.

故选：C

15．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

【答案】B

【详解】试题分析：，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程中的为9.4，

∴42=9．4×3．5+a，

∴=9．1，

∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，

∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5

【解析】线性回归方程

16．已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（   ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案.

【详解】当时，，

所以，

易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增，

又当为正偶数时，存在，即，

所以，此时有，所以，

又对于任意的正奇数，，即，

所以或恒成立，所以或，

综上，实数的取值范围是，

故选：D．

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及对称轴方程

(2)求在上的值域.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式变形化简，然后利用周期公式及正弦函数的性质求解即可；

（2）通过的范围求出的范围，进而可求出的范围，则在上的值域可求.

【详解】（1）由已知

则函数的最小正周期为，

令，得，

即函数的对称轴方程为；

（2）由（1），

，

，

，

，

即在上的值域为.

18．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角，，为侧棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）解：因为是等腰直角三角形，且，则，

因为在直三棱柱中，平面，

因为平面，所以，，

因为，、平面，故平面.

（2）解：因为平面，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

易知平面的一个法向量为，

，则，

因此，二面角的正弦值为.

19．在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)求频率分布直方图中实数的值；

(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.

【答案】(1)，

(2)

(3)分布列详见解析，数学期望为

【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得.

（2）根据古典概型的知识求得所求概率.

（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.

【详解】（1）.

，解得.

（2）已知抽取的学生有男生，

则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.

（3）每天学习时间在和的学生比例为，

所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.

再从这8人中选3人进行电话访谈，

抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，

，

，

，

所以的分布列如下：

数学期望.

20．如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．

(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；

(2)若，求点的坐标；

(3)证明：直线与抛物线相切．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见详解

【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义将的长度转化成点到准线的距离即可；

（2）设与直线，根据直线直线分别与抛物线相切，可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0，进而得出的两根，结合韦达定理与可得即可求解；

（3）根据题设，直线分别与抛物线相切，可将直线分别与抛物线联立得到等量关系，要证明直线与抛物线相切，最后再将直线与抛物线联立证明判别式为0即可．

【详解】（1）设，且在抛物线上，故满足

为抛物线的焦点，，抛物线的准线为 ，

线段的长等于点到准线的距离，即．

（2）设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线，

联立，化简得：，

直线与抛物线相切，，即 ①，

又直线均与抛物线相切，

为方程①的两根，且有，

，，解得，

将代入得：，故的坐标为．

（3）设，，，

，直线，

联立，化简可得：，

又直线与抛物线相切，，即 ②，

同理，直线与抛物线相切，可得③，

由方程②③可得，为方程的两根，

，，

又，，故直线，

联立，化简得：，

，

直线与抛物线相切，故得证．

21．设是定义域为的函数，当时，.

(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；

(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；

(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；

（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；

（3）利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明.

【详解】（1）不妨设，在区间上严格增，

对任意，有，

又，

函数在区间上是严格增函数；

（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，

当在区间上严格减时，在区间上是严格减，

又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，

可得，

当时，，在左右附近两侧异号，

满足条件，所以.

（3）当时，

由条件知，

当时，对任意，有，

即，

又的值域是，，

当时，对任意，有，

，

又的值域是，，

综上可知，任意，.