初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）3.1 等量关系和方程教学设计

这是一份初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）3.1 等量关系和方程教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1. 能通过对实际问题的分析，归纳并理解方程和一元一次方程的概念.
2. 估算使方程左右两边相等的未知数的值，理解方程的解的概念.
3. 会根据简单的实际问题列出一元一次方程.
4. 经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世
界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想.
二、教学重难点
重点：理解方程和一元一次方程的概念.
难点：根据实际问题列一元一次方程.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：教师出示练习，引导学生观察并思考.
用式子表示下列数量关系.
(1)5箱苹果重m kg，每箱重________ kg ；
(2)一个数比a的2倍小15，则这个数为 ；
(3)全校学生总数是x，其中女生占总数的52%，则女生人数是 ，男生人数是 ；
(4)某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共 本.
预设答案：
(1)m5
(2)2a-15
(3)0.52x；0.48x
(4)(4a-25)
一般情况下，可以用字母来表示数，从而列出一些数量关系，今天我们将试着用字母来解决这样的问题！
设计意图：通过复习用式子表示数量关系，感受可以用字母表示数的实际意义，为本节课学习方程奠定基础.
环节二 探究新知
【思考】
1.为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分. 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分.
(1) 其中蕴含怎样的等量关系?
预设答案：
胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分.
追问：还有其它的等量关系吗？
预设答案：
胜场数＋输的场数＝总比赛场数.
(2) 如果设该队胜了 x场，那么你能根据等量关系列出怎样的等式?
预设答案：设该队胜了 x场，则输了(14-x)场.
可得等式，2x+(14-x)=26 .
2.下图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为 1.2 m， 高为 1 m，表面积为 6.8 m2.
(1) 其中蕴含怎样的等量关系?
预设答案：
(长×宽＋宽×高＋长×高)×2=表面积
(2) 如果设包装盒底面的宽是 y m，那么你能根据等量关系列出怎样的等式?
预设答案：
可得等式，2.4y＋2y＋2.4＝6.8.
设计意图：让学生通过分析题中的数量关系，并列出等式，体会用字母表示数在解决实际问题中的作用，提升学习的积极性和探索欲.
【观察】
观察下列两式，这两个式子有什么样的特点？
2x+(14-x)=26，2.4y＋2y＋2.4＝6.8.
预设答案：
①都是用不同的代数式表示相等的量；
②这些式子都是等式.
③都只含有1个未知数.
④未知数的次数为1.
小结：
上式中的 x，y 叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程.
设计意图：通过观察，归纳总结，培养学生认真思考，敢于表达的学习态度，明确方程和一元一次方程的概念.
【练一练】
判断下列各式是不是一元一次方程：
①2x2－5＝4； ②－m＋8＝1； ③x＝1； ④x＋y＝1； ⑤x＋3>0； ⑥2x2－2(x2－x)＝1
⑦ 2x−7=4 ; ⑧πx＝12.
提示：判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件：
①只含有一个未知数；
②未知数的指数是 1；
③方程中的代数式都是整式.
预设答案：②③⑥⑧.
设计意图：通过练一练，熟练一元一次方程的概念，并学会如何判断.
【做一做】
《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?
(1) 找出，上述趣题中的等量关系；
预设答案：兔的只数＋鸡的只数＝35；
兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
(2) 适当设未知数，列出一元一次方程.
解：设兔有x只，则鸡有 (35－x) 只.
由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚，
因此，可得如下一元一次方程：
4x + 2(35 - x) = 94
将方程左边的多项式整理得
4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70
从而原方程变为：2x + 70 = 94
追问：怎么求出x的值？
【议一议】
如何找到一个数，使方程2x + 70 = 94左、右两边的值相等?
预设答案：
由上可知，只有一个数12 符合条件.
想一想：为什么x取正整数估算?
预设答案：x是兔子的只数，需符合实际意义.
定义：对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解.习惯上记作 x = c.
由上可知，12是方程2x + 70 = 94的唯一解.于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只.
对于一些较简单的方程，可以先确定未知数的一个较小的取值范围，然后在此范围内估算出方程的解，这种方法是解决问题的一种重要策略.
设计意图：通过做一做环节，体会根据实际问题列出方程，并通过估算的方式探究方程的解，从而引出方程的解的概念.
环节三 应用新知
【典型例题】
例 分别检验x的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解.
x= 300； (2) x = 330.
提示：检验x的值是否是方程的解，只需代入x的值，可左右两边是否相等.
解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得，
左边 = 2.5×300＋318= 1 068，
左边 = 右边，
所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解.
(2) 把 x 用 330 代入原方程得，
左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143，
左边 ≠ 右边，
所以 x= 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解.
设计意图：通过例题，让学生进一步掌握方程的解，培养学生应用所学知识解决问题的能力.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【随堂练习】
1.下列等式中，是方程的是( )
①6－1＝5； ②x2＋x＝6；③ 18x＋2＝10； ④5x＋8y＝40； ⑤9＋8x.
①②③④⑤ B.②③④ C. ①②③④ D.②③④⑤
答案：B
2. 下列方程中，解为 x＝－2 的是( )
A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3
C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2
答案：C.
3. 若 x＝4 是关于x的方程ax＝8的解，则a的值为______.
答案：2.
4. 在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班多 20%，乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株. 设乙班植树 x 株.
(1) 列两个不同的含x的代数式，分别表示甲班植树的株数.
(2) 根据题意列出含未知数x的方程.
(3) 检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.
解：(1) 根据甲班植树的株数比乙班多 20%，得甲班植树的株数为 (1 + 20%)x；根据乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株，得甲班植树的株数为 2(x - 10).
(2)(1 + 20%)x = 2(x - 10).
(3)把x = 25分别代入方程的左边和右边，得
左边 = (1 + 20%)×25 = 30，右边 = 2×(25 - 10)=30.
因为左边 = 右边，
所以 25 是方程 (1 + 20%)x = 2(x - 10)的解.
这就是说乙班植树的株数是 25 株，从上面检验过程可得甲班植树的株数是 30 株，而不是 35 株.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.