2024-2025学年上海市嘉定区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市嘉定区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 过点 且与直线 垂直的直线一般式方程为______.
【正确答案】
【分析】根据垂直关系设出直线方程，然后将点的坐标代入即可求解.
【详解】由题意，设所求直线方程为，
因为该直线过点，所以，
解得，所以所求直线为.
故
2. 椭圆的离心率为______.
【正确答案】
【分析】由椭圆方程得到，的值，然后由求得的值，进而求得离心率．
【详解】根据椭圆的方程可得：，，故 ，所以椭圆的离心率 ．
本题主要考查根据椭圆标准方程求出，，，由椭圆的几何性质求离心率，属于基础题．
3. 若两条直线和互相平行，则 _____.
【正确答案】
【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再代入检验即可.
【详解】因为直线和互相平行，
所以，解得或，
当时，直线 和重合，不符合题意；
当时，直线和互相平行，符合题意.
综上可得.
故
4. 表面积为 的球的体积是_____.
【正确答案】
【分析】设球的半径为，根据表面积求出，再由球的体积公式计算可得.
【详解】设球的半径为，则，解得，
所以球的体积.
故
5. 一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于_____.
【正确答案】
【分析】利用已知条件，求出椭圆的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，得解．
【详解】因为底面半径为的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为，长半轴为，
，，
椭圆的焦距为；
故．
6. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.
【正确答案】
【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
【详解】由题意，设母线长为，
∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有，解得，
∴该圆锥的母线长为.
故答案为.
7. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为______.
【正确答案】
【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积.
【详解】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以，
所以的高是，所以的面积是.
故答案为.
8. 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为______．
【正确答案】
【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.
【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，
垂足为，连接，过作,垂足为.

因为平面，平面，所以平面平面.
又因为平面平面，，平面，
所以平面，且.
在中，因，所以，所以，
在中，因为，所以，
所以.
故答案为.
9. 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中一个动点满足 ，则 的取值范围是_____.
【正确答案】
【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解.
【详解】如图，O为中点，则由题意且，
所以.
因为，则即，
所以点M在以O为球心，半径为的球上，
设，则，
所以.
故答案为.
10. 已知斜边长为的等腰直角在平面上的投影为等边，则 的面积为_____.
【正确答案】##
【分析】作出示意图，设等边边长为a，由几何图形性质和投影定义设，进而得，从而由求出边长，再由正三角形面积公式计算即可得解.
【详解】由题意可知如图放置，其投影为，则才可为正三角形，

由题意可得，，可设，
将平移至位置，
则由题意可得，，
又，所以
故可设，则，
所以，故，
所以由得，
故，所以等边面积为.
故答案为.
关键点睛：本题解题的关键1是先作出示意图，由几何图形性质和投影定义得到，进而得正三角形边长为，关键2是利用勾股定理求出边长，进而由面积公式即可计算求解.
二、单选题 （11-12 题每题 3 分，13-14 题每题 4 分，共 14 分）
11. 直线 的倾斜角是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角.
【详解】因为，即，所以斜率为，
设直线倾斜角为，
则，所以.
故选：D.
12. a和b是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）
A. 过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行
B. 过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交
C. 过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行
D. 过a可以并且只可以作一个平面与b平行
【正确答案】D
【分析】根据异面直线的定义结合平面的公理，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，若选一点与直线a确定一平面恰好与直线b平行，此时a在这个平面内，A不正确；
对于B，结合A的分析，若选的点在A中所确定的平面上时，无法作一条直线与a、b都相交，B不正确；
对于C，若过不在a，b上的任意一点，有直线，则，与a，b异面矛盾，C不正确；
杜宇D，在a上任取一点M，则过点M且与直线b平行的直线唯一，
则该直线与直线a所在平面与直线b平行．而两相交直线所确定的平面唯一，该平面唯一．D正确，
故选：D
13. 已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是的一个方向向量，是的一个法向量.则反射光线的一个方向向量可以表示为 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设反射光线的方向向量为（，x∈R，），首先排除A，再根据推导出，再代入检验B、C、D.
【详解】如图，设反射光线的方向向量为（，x∈R，），
显然与不共线，又，故排除A；
由题意，且，
所以，即，
即，显然，所以，
又，，
所以，
所以，
对于B：，显然恒成立，故符合题意，故B正确；
对于C：，不恒成立，故C错误；
对于D：，不恒成立，故D错误；
所以反射光线的一个方向向量可以表示为.
故选：B.
14. 已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由题意知是正方体内切球的半径，是正方体棱切球的半径，是正方体外接球的半径，从而求出，，，然后逐项判断即可.
【详解】由题意得，所以，
所以，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分）
15. 在三棱台中，若平面分别为中点.
（1）求证：平面
（2）求点到平面的距离.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接，即可得到四边形是平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
连接、，由分别是的中点，
根据中位线性质，，且，
由棱台性质，，于是，
又由可知，四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则．
，
设平面的法向量为，
则，取，得，又，
所以点到平面的距离，
即点到平面的距离是．
16. 设常数，函数．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；
（2）将问题转化为在上有实数解，令，可将问题进一步转化为在有实数解，通过分离变量法可得，由的值域可构造不等式求得的范围.
【详解】（1）由题意知：函数的定义域为，
是奇函数，，即，
即，整理可得：，对任意都成立，
，解得：．
（2）将问题转化为在区间上有实数解，
即关于的方程在区间上有实数解．
设，，，
则原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．
当时，方程（*）不成立，，
则方程（*）可化为：，
即函数与函数的图象有公共点．
函数为增函数，则该函数的值域为，
，解得：，即实数取值范围为.
方法点睛：已知函数有零点(方程根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【正确答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
【详解】（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
18. 在正四棱锥中，分别为的中点，
（1）求正四棱锥的表面积；
（2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成二面角的大小（用反三角函数值表示）
（3）求的值.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）由题设求出正四棱锥各个面面积之和即可得解.
（2）连接得，由题设建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量为，用二面角的向量法公式结合反三角函数即可计算求解.
（3）先设求出，接着由，共面结合共面定理列出关于t的方程计算即可得解.
【小问1详解】
由题可得正四棱锥侧面是四个边长为的正三角形，
所以正四棱锥的全面积为.
【小问2详解】
连接得，
则由题意，且为底面中心，连接，则平面，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，
所以即，取，则，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面与平面所成二面角的大小为，
则由图可知为锐角，故，
所以，
所以平面与平面所成二面角的大小为.
【小问3详解】
设，则，
得，所以，
因为且共面，
所以存在使得，即，
所以
19. 已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点.
（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积.
（2）若，求直线的方程；
（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点.
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，恒过定点
【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得；
（2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程；
（3）设，易知直线斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标．
【小问1详解】
在椭圆中，左、右顶点分别为，
设点，则 .
【小问2详解】
设，由已知可得，，
由得，化简得，
代入可得，
联立解得，
由得直线过点，，
所以，所求直线方程为.
【小问3详解】
设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），
联立，可得，
由，得.
由韦达定理，得.，.
可化为，
整理即得，
，由，
进一步得，化简可得，解得，
直线的方程为，恒过定点.
方法点睛：圆锥曲线中的直线过定点问题，一般可设直线与圆锥曲线的交点为，设出直线方程为或，直线方程代入圆锥曲线方程后化简整理后应用韦达定理得（或），代入题中关于交点的其他条件化简可得出（或）的关系，从而得出定点坐标．