人教版数学九下同步单元讲练测第26章反比例函数01讲核心（2份，原卷版+解析版）

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考点1 反比例函数的概念一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．如：、、都是反比例函数．三种表示形式：，，，（其中：k≠_0）考点2 反比例函数的图象1．反比例函数的图象反比例函数的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线通常称为双曲线．反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交．2．反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是___________原点___________．3．反比例函数的图象在坐标系中的位置 考点3 反比例函数的性质1．反比例函数的增减性2．的几何意义越大，双曲线离原点越远，过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴的平行线，这两条平行线与两条坐标轴围成的长方形的面积等于．考点4 反比例函数的应用1．待定系数法求反比例函数的解析式将一组对应的x、y的值或图象上一个点的坐标代入表达式，利用k=xy求出k的值．2．反比例函数与一次函数的交点反比例函数与一次函数的交点就是方程组的解．两种函数在交点位置的函数值是相同的，其它位置函数值的大小可以由函数图象的上、下位置来确定．规律是：上大下小．3．面积问题利用分割法将图形转化为以坐标轴上的边为底的三角形求解，也可以考虑用的几何意义求解．4．反比例函数的实际应用行程问题：路程S一定，速度v与时间t的关系：是反比例函数；工程问题：工作量Q一定，工作效率p与工作时间t的关系：是反比例函数；几何问题：长方形的面积S一定，长y与宽x的关系：是反比例函数；圆柱的体积v一定，圆柱的高h与底面积s的关系：是反比例函数；5．反比例函数在其它学科的应用压力一定，压强与受力面积的关系：是反比例函数；杠杆，力与力臂的关系是反比例关系；电压u一定，通过导体的电流I与导体的电阻R的关系：是反比例函数；反比例函数中函数值的大小比较的方法1．性质法．K的正负性→确定反比例函数的增减性→判断同一象限内点的坐标大小关系→确定函数值的大小关系；2．求值法．将已知的自变量的值或已知点的横坐标代入解析式，求出函数值或纵坐标的值，利用值进行比较；3．图象法．在平面直角坐标系中找出符合条件的点，然后通过观察函数图象比较函数值的大小；4．特殊值法．如果不知道点的横坐标的具体值，只知道自变量间的关系，可以采用此方法．【例题】1. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（　　）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可．【详解】解：∵，∴函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．∵，∴点，在第二象限，点在第四象限，∴．故选：D．【点睛】本题考查了比较反比例函数值的大小，正确判断出反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大是解答本题的关键．2. 在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（　　）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式中，判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，∵，位于第二象限，且，∴，∵位于第四象限，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键在于通过判断以确定函数图像所在的象限及增减性．3. 反比例函数图象上有三个点，其中，则的大小关系是（　　）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可得该图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，再由，可得点位于第二象限，点位于第四象限，即可求解．【详解】解：∵，∴该图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，∵，∴点位于第二象限，点位于第四象限，∴，∴．故选：B【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，图象位于第一、三象限内，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．练经典】4. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（　　）A. B. C. D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，的大小关系即可．【详解】解：∵，∴函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．∵，∴点，在第四象限，∴．故选：B．【点睛】本题考查了比较反比例函数值的大小，正确判断出反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大是解答本题的关键．5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得该图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解．【详解】解：∵，∴该图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，∴位于第二象限，位于第四象限，∴，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，图象位于第一、三象限内，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．6. 反比例函数图象上有三个点，其中，则的大小关系是（　　）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】反比例函数的图象在二，四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，再结合，从而可得答案．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象在二，四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，而，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“利用反比例函数的性质比较函数值的大小”是解本题的关键．【练易错】易错点：判断反比例函数值大小没考虑在不同的分支上而出错7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，且．下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内的图象随的增大而增大，根据结合函数图像即可判断的大小．【详解】解：∵的图象在二、四象限，且在每个象限内的图象随的增大而增大，又∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，熟知当时，反比例函数图象的特点是解答此题的关键．反比例函数与面积问题1．的几何意义过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴平行线，这两条平行线与两条坐标轴围成的矩形的面积等于．如图，．2．反比例函数图象中某些特殊三角形的面积 3．反比例函数图象中某些特殊四边形的面积 4．反比例函数图象中某些特殊多边形的面积【例题】8. 如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连结若点，三角形的面积为3，则三角形的面积是（　　）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积可求出，进而求出点的坐标，确定的值，再根据三角形的面积与的关系求出结果即可．【详解】解：连接，，，，三角形的面积为3，，，点，，故选：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，确定点的坐标和的值，是正确解答的关键．9. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以为边作，其中C、D在x轴上，则为（　　）A. 2.5 B. 3 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】设点的坐标为，则，，从而可得，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可得．【详解】解：由题意，设点的坐标为，则，轴，交反比例函数的图象于点，，，四边形是平行四边形，，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．10. 如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，__________．【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得，即可求得结果．【详解】解：∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．【练经典】11. 如图，正比例函数与反比例函数 的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为（　　）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的k的几何意义可得，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是的中点，即可求出的面积．【详解】解：∵点A在反比例函数的图像上，且轴于点B，∴，∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且轴于点D，∴O是BD的中点，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数k的几何意义和中心对称性是解题的关键．12. 如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点在轴的负半轴上，若，则的面积为___________．【答案】8【解析】【分析】设点A的坐标为，过点A作轴，垂足为，得到，，根据得到，根据三角形的面积公式得，再根据点在反比例函数的图象上得到，从而得到答案．【详解】解：设点A的坐标为，过点A作轴，垂足为，由题意得，，∵，，∴，∴，∵点A在反比例函数的图象上，∴，∴，，故答案为：8．【点睛】本题考查反比例函数、等腰三角形性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．【练易错】易错点：由面积求系数K时不考虑图象的位置而出错13. 点在反比例函数的图象上，轴，点是轴上的任意一点，的面积是，则的值是___________．【答案】【解析】【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义可知，即可求出的值．【详解】解：由题意可知：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题目得出是解答本题的关键．反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用1．函数图象共存问题判断函数图象是否共存时，先根据其中一个函数图象确定待定字母的正负，再根据另一个函数图象的分布特征进行判断．2．函数图象交点问题反比例函数与一次函数的交点就是方程组的解．3．不等式或的解集问题4．函数与几何综合【例题】14. 当时，反比例函数和一次函数的图象大致是（　　）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由、即可得出反比例函数的图像经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数中，∴该双曲线位于第二、四象限．∵，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）15. 如图，一次函数的图像交x轴、y轴于点P、Q，且与反比例函数的图像相交于点和点，过点A作于点C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求四边形的面积；（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2） （3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式为，再将点代入，求出n的值，即得出A点坐标，再次利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）过点B作轴，即得出，再由梯形面积公式和三角形面积公式计算即可；（3）根据求当时，关于x的不等式的解集，即求当时，函数的图像在函数的图像下方（包括交点）时，x的取值范围，再结合图像即可得出答案．【小问1详解】由题意可知点在反比例函数的图像上，∴，解得：，∴该反比例函数的解析式为．∵也在该反比例函数的图像上，∴，∴．将，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】如图，过点B作轴，∴．∵，，∴；【小问3详解】求当时，关于x的不等式的解集，即求当时，函数的图像在函数的图像下方（包括交点）时，x的取值范围．由图像可知当时，函数的图像在函数的图像下方（包括交点），∴当时，关于x的不等式的解集为．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合，由图像法解不等式．利用数形结合的思想是解题关键．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）16. 如图，函数的图象过点和两点．（1）求n和k的值；（2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） （2） （3），【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；（2）设点，过点C做轴于点G，交于点H，以为底，由的面积解出点C坐标，进而求出直线的解析式；（3）分两种情况进行讨论：①以为直角边，D为直角顶点；②以为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．【小问1详解】解：函数的图像过点和两点，，解得，故n和k的值分别为4，8；【小问2详解】解：，，直线OA的解析式为：，过点C作轴于点G，交直线于点H，设，，，，或（不符合题意舍去），，设直线的解析式为：，点C在直线上，，即，直线的解析式为：；【小问3详解】，解：∵直线的解析式为：，当时，，∴，当时，，∴，根据题意，分两种情况进行讨论：①以为直角边，D为直角顶点；如图，过做轴于点K，可知：，，，又，，又，，，故点D到点的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，，且F在第二象限，即；②以为直角边，E为直角顶点；同①理，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得．综上所述：点或【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．【练经典】17. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，可得：又由于当x=1时，因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．（2022·山东威海·九年级期中）18. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于 和；（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）根据图像，直接写出关于x的不等式的解集．【答案】（1）一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为 （2）或【解析】【分析】（1）将代入，求出的值，进而求出点的坐标；将点和点的坐标代入一次函数表达式求解即可； （2）根据图像判断即可；【小问1详解】解：（1）将代入，得∴将代入，得∴将、代入得： 解得： 故一次函数的解析式为：【小问2详解】解：由图像可知：当时，当时，故关于x的不等式的解集为：或【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像的性质；熟练掌握函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关键．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）19. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）求的值并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，求的最小值；（3）是轴上的一点，当为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标．【答案】（1）， （2）的最小值为 （3）点坐标为或或或【解析】【分析】（1）将点代入求得的值，进而求得点的坐标，即可求得的值，根据中心对称求得点的坐标；（2）根据题意，求得，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，当三点共线时，的值最小，求得，根据勾股定理求得，即可求解．（3）设，根据勾股定理得出，，，然后分类讨论即可求解．【小问1详解】解：∵在直线上，∴，解得，∴，∵在上，∴，∴，∵直线和双曲线均关于原点对称，∴关于原点对称，∴；【小问2详解】∵，∴点是的中点，∴点的纵坐标为，∴，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，∴，∴，∴当三点共线时，的值最小，∴，∴，∴的最小值为；【小问3详解】设，∴，，，①当时，，解得，∴P；②当时，，解得，∴P；③当时，，解得，∴P或；综上所述：点坐标为或或或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，轴对称求线段和最短距离，掌握反比例函数的性质是解题的关键．【练易错】易错点：通过观察确定不等式或的解集时，因观察不全面而漏掉一个解集．20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（1）求一次函数的解析式；（2）直接写出关于x的不等式的解集．【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）将代入中求出反比例函数解析式，进而求出，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）通过观察图象中直线在曲线上方的x的取值范围求解．【小问1详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴．∴反比例函数的表达式为又∵点在反比例函数的图象上．∴，即．∵一次函数的图象经过两点．∴，解得，∴一次函数的表达式为；【小问2详解】观察图象，关于x的不等式的解集是或．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系．反比例函数的实际应用1．在实际问题中列出反比例函数的解析式找出两个变量和常量→找出它们之间的等量关系→列出关系式→转化为反比例函数的一般形式；2．借助反比例函数图象解决实际问题找出反比例函数图象上一个点的坐标→求出反比例函数的解析式→利用自变量的取值范围确定函数值的范围，或利用函数值的范围确确定自变量的范围；3．反比例函数在其它学科中的应用关系式→找出不变的量→确定变量的变化关系；【例题】21. 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设，由于点在此函数解析式上，故可先求得k的值．【详解】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设，由于点在此函数解析式上，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．（2022·湖北恩施·一模）22. 如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（ ）A. 与成反比例： B. 与成反比例：C. 电阻越大，功率越小 D. 用电器的功率的范围为【答案】A【解析】【分析】根据功率判断即可．【详解】∵，∴，∴A选项错误故选：A．【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）23. 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？【答案】（1）； （2）8 （3）能【解析】【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；【小问1详解】解：根据题意可知：当时，设与的函数解析式为，∴，解得：， ∴；当时，设与的函数解析式为，∴，解得： ∴综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；． 【小问2详解】解：当时，令，解得：，∴， ∴销量不到36万件的天数为8天；当时，令，解得： （不符合题意），∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；【小问3详解】解：当时，令，解得： ∴，∴销量超过100万件的天数为6天，当时，令，解得： ∴，销量超过100万件的天数为6天，综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．【经典练】24. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．【详解】解：根据题意有：v•t＝s，∴，故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，且根据实际意义v＞0、t＞0，∴其图像在第一象限，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．25. 小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为______（）．【答案】【解析】【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度，可得t（v＞0）．故答案为：．【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的时间＝录入总量÷录入速度．（2022·安徽·合肥市第四十八中学九年级阶段练习）26. 通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值.（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．【答案】（1）A对应的指标值为20 （2）李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．【解析】【分析】（1）设当时，反比例函数的解析式为，将点C代入，求出反比例函数解析式即可确定点D的坐标，进而可确定点A的坐标；（2）利用待定系数法求出当时，直线的解析式，再据此解析式求出当时，x的值．由（1）所求反比例函数的解析式求出当时，x的值，即可确定当时，注意力指标都不低于36，最后由，即可确定李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．【小问1详解】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：解得：，∴反比例函数的解析式为．当时，，∴，∴，即A对应的指标值为20；【小问2详解】设当时，的解析式为，将代入得：，解得：∴的解析式为，当时，即，解得：．由（1）得反比例函数的解析式为，当y=36时，即，解得：，∴当时，注意力指标都不低于36．∵指标达到36为认真听讲，而，∴李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质及图像是解题关键．【新定义小练】（2022·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）27. 如图，点为y轴上一点，，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数的图象交于点P．把直线l下方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”．过y轴上另一点作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．若，求m与n的数量关系是_____________________．【答案】或【解析】【分析】设关于的对称点为，当时，时，，根据反比例函数关系式和可得：，，易得，可得，当时，同理可得，则，，将代入得，即，所以．【详解】解：设关于的对称点为，当时，时，如图，，在上，则，，，将代入得，即，，当时，如图，同理可得，在上，则， AN＝2BN，，将代入得，即，．故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，轴对称的性质，数形结合是解题的关键．（2022·湖南·长沙市南雅中学一模）28. 定义：对于函数图像上任意一点（，），当满足（m、n为正实数）时，函数图像上都存在唯一的点（，），其中，使得成立，则称该函数在时为“依赖函数”．（1）判断函数在时是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数（）在时是“依赖函数”，求k的值；（3）已知函数（）在时是“依赖函数”，且在时不等式对于任意实数t都成立，求实数s的取值范围．【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）根据题干中“依赖函数”的定义求解即可；（2）根据一次函数的性质及“依赖函数”的定义得出一元二次方程求解即可；（3）根据二次函数的性质及“依赖函数”定义得出a＞4，再由二次函数的性质及不等式的性质求解即可．【小问1详解】解：时，，若，则，此时，不在3≤x≤4，内，所以函数在时不是“依赖函数”.【小问2详解】当k＞0时，函数y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而增大；k＜0时，y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而减小，当x=1时，y=k+2，当x=5时，y=5k+2，∴当时，函数y=kx+2在1≤x≤5时为“依赖函数”，，解得，又k≠0，∴.【小问3详解】若，函数在时最小值为0，此时不存在；∴a＞4，此时函数在时y随x的增大而减少，∵函数在时为“依赖函数”，∴，解得 a=2（舍去）或a=5；∴a=5，∵存在x在时，使得对于任意实数t的不等式成立,即对于任意实数t都成立，∴恒成立，化简可得，∵，∴在时恒成立，∴只要9即可，解得．【点睛】题目主要考查新定义函数的定义及反比例函数、一次函数及二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【阅读探究材料类小练】29. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请探究下面函数的性质．已知函数，其中与成反比例，，且当=2时，=4．（1）关于的函数解析式为___________________．（2）列表，写出表中，的值：= ，= ．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接求出方程=的近似解(结果保留一位小数)．【答案】（1） （2），4，图见解析 （3）=-4.7(-5~-4.5均可)，=-2.6(-3~-2.5均可)，=1.3(1~1.5均可)【解析】【分析】(1)设，得到，然后代入求出k即可；(2)分别将和代入(1)中表达式中即可求出a和b的值；(3)根据函数图像的交点横坐标即为联立函数解析式形成的方程的解即可作答．【小问1详解】解：设，且，∴，代入，∴，解得：，∴关于的函数解析式为；【小问2详解】解：将代入，∴，将代入，∴，平面直角坐标系中该函数图像如下所示：【小问3详解】解：由题意可知：方程=的解可以看成是函数与函数的交点的横坐标，由(2)中图像可知，其交点有3个，从左至右横坐标依次标记为x1、x2、x3，观察图像可知，方程的解为：x1=-4.7(-5~-4.5均可)，x2=-2.6(-3~-2.5均可)，x3=1.3(1~1.5均可) ．【点睛】本题主要考查一次函数及反比例函数的图象和性质，函数与方程的关系，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质，进而求解高次方程是解题的关键．【规律类小练】（2022·山东·东营市胜利第六十二中学九年级阶段练习）30. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，……，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则______．【答案】2【解析】【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据商的情况确定出即可．【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为，的纵坐标和的纵坐标相同为，的横坐标和的横坐标相同为，的纵坐标和的纵坐标相同为，的横坐标和的横坐标相同为，的纵坐标和的纵坐标相同为，的横坐标和的横坐标相同为，…由上可知， …，3个为一组依次循环，∵，∴，故答案为：2【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．字母名称取值范围x自变量x≠_0y函数y≠0k比例系数_k≠0K的正负性图象的位置图象的形态走势K>0图象在第一、三象限每一个分支中，图象从左到右下降K0每一个分支中， y随x增大而减少K