人教版数学九下同步讲义课件第二十六章 反比例函数（章末小结）

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反比例函数章末小结1.巩固并掌握反比例函数概念、图象和主要性质，能根据已知条件确定反比例函数的解析式; (重点)2.系数k的几何意义，以及反比例函数与一次函数的综合问题. (重点、难点)等价形式： (k为常数，k≠0)一、反比例函数的概念二、反比例函数的图象和性质一般地，反比例函数 图象是双曲线，它具有以下性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______.推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是S△PAO=S△PBO=______.|k|反比例函数的面积不变性.三、反比例函数解析式中k的几何意义四、反比例函数的应用◑利用待定系数法确定反比例函数：① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出k的值；③ 写出解析式.四、反比例函数的应用◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法四、反比例函数的应用◑利用反比例函数相关知识解决实际问题过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.例1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1② y = 2x2⑤ y = 3x   【点睛】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0.【1-1】用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：(1)一个游泳池的容积为2000m3，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m3/h)的变化而变化； (2)某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S(单位：cm2)的变化而变化； (3)一个物体重100N，物体对地面的压强p(单位：pa)随物体与地面的接触面积S(单位：m2)的变化而变化.          D D A解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小. ①当这两点在图象的同一支上时，∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2.∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.故a的取值范围为：－1＜a＜1． D【点睛】由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. B B例6.如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为____.1  D C C  解得∴一次函数解析式为:y=2x+2.(2)求△AOB的面积.分割法：S△AOB =S△AOC + S△BOC           (2)连接AO、BO，求△AOB的面积．【5-2】如图，已知 A(－4， )，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数 (m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；解：当－4＜ x ＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值.(2)求一次函数解析式及m的值；－k + b =2， (3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P 坐标.P例10.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　） B  D  A  B    例12.病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克. 已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间x(单位：小时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图). 根据以上信息解答下列问题：(1)求当0≤x≤2时，y与x的函数解析式； 解：当0≤x≤2时，y与x成正比例函数关系．设y＝kx，由于点(2，4)在线段上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.(2)求当x>2时，y与x的函数解析式；解得 k＝8.(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于2毫克，即2x≥2，解得x≥1，∴1≤x≤2；当x>2时，含药量不低于2毫克，所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3 (小时)．考点解析【7-1】某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量y（件）与销售价x（元）的变化关系如下表，写出y与x之间的函数关系式________．   C【7-3】便民商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为每件80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，且当销售定价为120元时，每日可销售25件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1400元．则销售单价应定为多少元？ 【7-3】便民商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为每件80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，且当销售定价为120元时，每日可销售25件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1400元．则销售单价应定为多少元？ 例13.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110--220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？(2)这个用电器功率的范围是多少？解：(1)根据电学知识，当U=220时，得 例13.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110--220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(2)这个用电器功率的范围是多少？(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值 (W)把电阻的最大值R=220代入①式，得到功率的最小值 (W)因此用电器功率的范围为220--440W.例14.某同学设计了如下杠杆平衡实验：如图，取一根长65cm的质地，均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧，距离中点20cm处挂一个重9N的物体，在中点的右侧，用一个弹簧测力计向下拉，使木杆保持平衡（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧测力计的示数F（单位：N）． 通过实验，得到下表数据：     【8-2】在某一电路中，保持电压U（V）不变，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点A（4，9）． (1)求I与R的函数表达式；(2)当电阻为3Ω时，求电流大小；(3)如图该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在什么范围？ 【8-2】在某一电路中，保持电压U（V）不变，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点A（4，9）． (1)求I与R的函数表达式；(2)当电阻为3Ω时，求电流大小；(3)如图该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在什么范围？ 【8-2】在某一电路中，保持电压U（V）不变，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点A（4，9）． (1)求I与R的函数表达式；(2)当电阻为3Ω时，求电流大小；(3)如图该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在什么范围？