人教版数学七上同步单元讲练测第4单元几何图形初步03巩固练（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学七上同步单元讲练测第4单元几何图形初步03巩固练（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学七上同步单元讲练测第4单元几何图形初步03巩固练原卷版doc、人教版数学七上同步单元讲练测第4单元几何图形初步03巩固练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
第四单元 几何图形初步（单元测）姓名___________ 班级___________ 学号___________分数___________一、选择题（共30分，每个题3分）1. 如图所示的两个长方体容器中液体体积相同，根据图中信息，以下结论正确的是（ ）A. B. C. 甲容器中液体的体积为405 D. 乙容器中液面的高度为10【答案】A【解析】【分析】根据长方体体积计算公式分别计算出甲、乙两个容器中的液体体积，再由两个长方体容器中液体体积相同列出方程即可得到答案．【详解】解：由图可知，，，两个长方体容器中液体体积相同，，解得，；乙容器中液面的高度为；综上所述，B、C、D均错误，故选：A．【点睛】本题考查长方体体积问题，涉及等体积、列方程、解方程及长方体相关计算，熟练掌握长方体相关知识是解决问题的关键．2. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则从正面看该几何体得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据从不同角度看几何体即可判定．【详解】解：从正面看分三层，从上至下依次是一个，二个，三个小正方形，故选：A．【点睛】本题考查了从不同角度看几何体，解题的关键是理解几何体的特征．3. 如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“孝”字一面相对面上的字是（ ） A. 和 B. 谐 C. 美 D. 丽【答案】D【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中有“和”字的一面相对面上的字是“义”，“孝”字的一面相对面上的字是“丽”，“谐”字的一面相对面上的字是“美”．故选：D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4. 学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，则，列出关于x的方程并求解，再计算该纸盒的容积．【详解】解：设，则，，解得：，所以，则长方体的底面宽为：，所以该纸盒的容积为：故选：D【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体及一元一次方程应用，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题．5. 如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻．【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻；A、C、D选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B选项折成正方体后，有图案的三个面两两相邻； 的展开图是 故选：B．【点睛】正方体展开图“1−4−1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻．关键是明白有图案的三个面两两相邻．6. 下列说法不正确的是（     ）A. 用一个平面去截正方体，截面可能是七边形B. 用一个平面去截一个球，截面一定是圆C. 棱柱的截面不可能是圆D. 用一个平面去截圆锥，截面可能是圆【答案】A【解析】【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫作几何体的截面，对选项进行判断即可．【详解】解：A、用一个平面去截正方体，截面不可能是七边形，原说法错误，符合题意；B、用一个平面去截一个球，截面一定是圆，原说法正确，不符合题意；C、棱柱的截面不可能是圆，原说法正确，不符合题意；D、用一个平面去截圆锥，截面可能是圆，原说法正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了截面的性质，截面的形状与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，对于这类问题，最好是动手动脑相结合，从中学会分析和归纳的思想方法．7. 中华武术是中国传统文化之一，是中华民族在日常生活中结合社会哲学、中医学、伦理学、兵学、美学、气功等多种传统文化思想和文化观念，注重内外兼修，诸如整体观、阴阳变化观、形神论、气论、动静说、刚柔说等，逐步形成了独具民族风貌的武术文化体系.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（    ）A. 点动成线，线动成面 B. 线动成面，面动成体C. 点动成线，面动成体 D. 点动成面，面动成线【答案】A【解析】【分析】本题考查了点、线、面、体的知识点，熟练掌握点、线、面之间的关系是解题的关键；枪挑是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，转化成数学思想即可．【详解】由题意可得：从数学的角度可解释为点动成线，线动成面．故选：A．8. 如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（　　） A. 10 B. 11 C. 18 D. 20【答案】D【解析】【分析】根据有多少条线段单程就需要印制多少种车票进行求解即可．【详解】解：∵图中线段有共10条，∴单程要10种车票，往返就是20种，故选：D．【点睛】本题主要考查了数线段条数，熟知两点构成一条线段是解题的关键．9. 如图，，点是中点，点在线段上，且，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由线段中点定义求出长，由得到，即可得到答案．【详解】解：∵，C为的中点，∴，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查两点的距离，线段的中点定义，数形结合是解答本题的关键．10. 如果一个角的余角与它的补角互补，则这个角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设这个角的度数为x度，则余角为：，补角为：，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：先设这个角的度数为x度， 根据题意得，，解得，答：这个角的度数为．故选：D．【点睛】本题考查了余角与补角，一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．二、填空题（共15分，每个题3分）11. 天空中的流星划出一条长长的光线，说明______．【答案】点动成线【解析】【分析】由点动成线的含义进行分析解答即可．【详解】解：夜晚天空中的流星划出一条长长的光线，由此说明了点动成线的数学事实，故答案为：点动成线．【点睛】本题考查了点动成线，熟练掌握点动成线的含义是解答本题的关键．12. 如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要______个这样的小正方体才能搭成一个正方体．【答案】【解析】【分析】根据图形，可得搭成后的大正方体的每条棱长至少是由3个小正方体组成的，据此可以得出搭成后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方体的个数，即可得出答案．【详解】解：（个），∴至少还需要个这样的小正方体才能搭成一个正方体．故答案为：【点睛】本题考查了几何体的认识，解本题的关键在根据图形确定出搭成后的正方体的最小棱长．13. 如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有________种添法．【答案】4##四【解析】【分析】按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可.【详解】解：一共有以下4种添法：故答案为：4．【点睛】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图.14. 如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则________mm.【答案】24【解析】【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解．【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：24．【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键．15. 一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，，_____度． 【答案】105【解析】【分析】根据角平分线性质分别求出，的值，计算即可．【详解】解：如图1： ∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；如图2： ∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；∴；故答案为：105．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．三、解答题16. 如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．（1）从正面看该几何体，看到的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左面看和从上面看该几何体看到的形状图；（画出的图需涂上阴影或斜线）（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，最多可以再添加　 　块小正方体．【答案】（1）见解析 （2）6【解析】【分析】（1）从左面看所得的图形，从左往右有2列，分别有3，1个小正方形；从上面看所得的图形，从左往右有4列，分别有2，1，1，1个小正方形，据此画出图形即可；（2）保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，可以在第二层进行添加，第一层都不能添加，在几何体后面的一排正方体上从左往右，第1个正方体上添加2个，第3个正方体上添加2个，第4个正方体上添加2个，最多添加6个小正方体，据此即可得出答案．【小问1详解】解：如图即为所求图形：【小问2详解】解：∵保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，可以在第二层及以上进行添加，第一层都不能添加，在几何体后面的一排正方体上从左往右，第1个正方体上添加2块，第3个正方体上添加2块，第4个正方体上添加2块，∴（块），∴最多可以再添加6块小正方体，故答案为：6【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，解本题的关键在正确画出从左面看和从上面看的形状图．17. 如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格：（2）请写出f、v、e三个数量间的关系式 ．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据顶点、面、棱的定义，观察图形即可求得答案．（2）根据表格数据，观察规律即可求得答案．【小问1详解】根据顶点、面、棱的定义，观察图形即可填写表格．【小问2详解】根据表格数据，可知．【点睛】本题主要考查顶点、面、棱的定义，根据顶点、面、棱的定义正确识别图形中的顶点、面、棱是解题的关键．18. 如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．（1）将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是 （选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．（2）求得到的立体图形的体积．（，，r为圆柱和圆锥底面半径，h为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【答案】（1）③ （2）【解析】【分析】（1）由四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形可知是面动成体；（2）分别求出圆柱体和圆锥体的体积，作差即可【小问1详解】∵四边形是平面图形，绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形∴是面动成体故选③【小问2详解】∵∴【点睛】本题考查面动成体，圆柱和圆锥的体积公式，记忆理解公式是解题的关键19. 已知：如图，直线与相交于点，是的平分线，如果．求的度数． 【答案】【解析】【分析】设，则，，根据，得出，解方程得出，可得，，，根据角平分线的定义可得，根据平角的定义，由，即可求解．【详解】解：设，则，， 由题意得：，解得：， ，，，是的平分线，． ∴．【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，平角的定义，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．20. 如图，已知三点，作直线．（1）用语句表述图中点与直线的关系：______；（2）用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上作线段，使．（3）连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整：，，，______，（______）（填推理的依据）______．【答案】（1）点在直线外； （2）见解析 （3）；两点之间，线段最短；【解析】【分析】（1）根据直线与点的位置关系进行求解；（2）根据几何语言画出几何图形；（3）利用两点之间线段最短得到，从而可判断．【小问1详解】解：点与直线的关系为：点在直线外，故答案为：点在直线外；【小问2详解】解：作出图如图所示； 【小问3详解】解：，，，，（两点之间，线段最短） ，故答案为：；两点之间，线段最短；．【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了两点之间的距离．21. 将一副三角板的其中两个顶点重合于一点O，含45°角的三角板保持不动，含60°的三角板绕着点O旋转，始终在内部，请回答问题： （1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合时，求的度数．（2）绕着点O转动三角板，当恰好平分时，求的度数．（3）三角板在转动过程中的度数恰好等于度数的3倍，求的度数．【答案】（1）105° （2） （3）【解析】分析】（1）利用，进行计算即可；（2）利用角平分线平分角，得到，利用，进行求解即可；（3）设，根据倍数关系，求出，再利用，进行求解即可．【小问1详解】解：由三角板知，，，所以；【小问2详解】因为平分，所以，所以；【小问3详解】设，则，，因为，所以，解得，∴．【点睛】本题考查三角形板中的计算，角平分线的计算．解题的关键是正确的识图，理清角度之间的和、差以及倍数关系．22. 在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点M处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚A处．当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”．（1）当时，在图2中画出从点M沿侧面环绕一周到达山脚点A处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路?（2）如果改变小山侧面顶角的大小，（1）中的结论是否发生变化呢?请利用量角器，刻度尺等工具画图探究，并把你的结论填入下表；（3）记，随着逐渐增大，在侧面、侧面上走的这两段路上下坡变化的情况为__________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡.【解析】【分析】（1）连接，进而根据题意确定上坡路和下坡路；（2）根据题意画出图形，进而根据（1）的方法填表即可；（3）根据三个图形的情况分析，即可得出结论【详解】（1）如图，连接， 根据题意，在侧面上走的是上坡路、侧面上走的是下坡路（2） （3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡.【点睛】本题考查了立体图形侧面展开图，两点之间线段最短，线段长短的比较，理解题意是解题的关键．23. 如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；（2）若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长【答案】（1）①12；② （2）【解析】【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．【小问1详解】解：①依题意得：，，点仍在线段上，∴，故答案为：；②设运动时间为，则，∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，∴，∴，故答案为：．【小问2详解】解：设运动时间为，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．24. 已知和是直角． （1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；（2）如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数；（3）如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）； （2）； （3）存在，的度数是或．【解析】【分析】（1）根据已知条件，和是直角，可得出和与的关系式，再根据与和列出等量关系，即可得出答案；（2）根据已知条件，可设，则，再根据周角的关系可得到的等量关系，再根据，可得到的等量关系式，由、和可列出等量关系，即可得到答案；（3）分两种情况，当射线在内部时，由，可得出结果，当射线在外部时，由，可得出结果．【小问1详解】，理由如下：∵和是直角，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；【小问2详解】设，则，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，【小问3详解】存在，当射线在内部时，∵，∴，当射线在外部时，∵，∴，综上所述，的度数是或．【点睛】此题考查了角的计算，根据题意列出相应的等量关系是解决本题的关键．25. 如图 ，已知 ， 与 互余， 平分 ． （1）在图 中，若，则 ， ．（2）在图 中，设 ，，请探索 与 之间的数量关系．（3）在已知条件不变的前提下，当 绕点 逆时针转动到如图 的位置时，（）中 与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出 与 的数量关系并说明理由． 【答案】（1）； （2） （3），理由见解析【解析】【分析】（1）由，知,由角平线定义，,从而；（2）由两角互余，知，由角平分线知，于是整理得 ．（3）同（2），得，于是,整理得 ．【小问1详解】解：如图，则,∴,∴；【小问2详解】 与 互余，∴ ， 平分 ，∴ ∵，，∴整理得 ．【小问3详解】 与 互余，∴ 平分 ，∴∵，，∴,整理得 【点睛】本题考查角平分线定义，角之间的位置关系与数量关系，观察图形，由角之间位置关系得出数量关系是解题的关键．（2023·吉林长春·统考中考真题）26. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥【答案】C【解析】【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C．【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．（2022·湖北十堰·统考中考真题）27. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】由直线公理可直接得出答案．【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．故选：B．【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．（2022·江苏徐州·统考中考真题）28. 如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共同边的两个面即为相对的面．（2023·湖南·统考中考真题）29. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识，如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石飘”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．【详解】解：根据视图的定义，选项A中的图形符合题意，故选：A．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．（2022·浙江金华·统考中考真题）30. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；【详解】解：∵AB为底面直径，∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，∵两点之间线段最短，故选： C．【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．（2022·河北·统考中考真题）31. ①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④【答案】D【解析】【分析】观察图形可知，①~④小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能 构成长方体，①④组合符合题意【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意故选D【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）32. 下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体， 故选：C．【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．（2023河南信阳模拟）33. 【阅读理解】如图，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起如图固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动． 【解决问题】（1）在旋转过程中，请填出、之间的数量关系______；（2）当运动时间为秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；（3）当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值．【答案】（1） （2）有，平分，平分，理由见解析 （3），，，，【解析】【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论；（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解；（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得的值．【小问1详解】解：①如图，，理由如下：由题意得，，．∴， 如图，，理由如下：由题意得，，．∴， 综上，．故答案为：；【小问2详解】解：有，平分，平分如图所示，理由如下：当运动时间为秒时，，∴．∵，∴，∴，∴平分，∵，∴平分； 【小问3详解】解：由题意得，，．当时，，∴，解得；当，在内部时，，∴，解得；当时，，∴，解得；当时，，∴，解得；当时，，∴，解得；综上，，，，，．【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键．（2023武汉模拟）34. 如图，直线与EF相交于点O，，将一直角三角尺（含和）的直角顶点与O重合，平分．（1）求的度数；（2）图中互余的角有 　　对；（3）将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．①当t为何值时，直线平分．②当 时，直线平分．【答案】（1） （2）5 （3）①或；②或【解析】【分析】（1）根据，平分，可得，再根据，即可得到的度数；（2）根据余角的定义求解即可；（3）①分两种情况进行讨论：当平分；当平分时；②分两种情况进行讨论：当平分时；当平分时．【小问1详解】解：∵，平分，∴，又∵，∴；【小问2详解】∵，，∴，，，，，∴互余的角有5对．故答案为：5；【小问3详解】①分两种情况：当平分时，，即解得；当平分时，，即，解得；综上所述，当t的值为或时，直线平分；②分两种情况：当平分时，，即，解得；当平分时，，即，解得；综上所述，若直线平分，t的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，应用方程的思想和分类思想是解决问题的关键．35. 如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③；④，其中正确结论的有 （ ）A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．【详解】解：是的三等分点，，，，，，，，故①正确；，，，，是线段的中点，，，，故②正确；，，，，，故③不正确；，，，，，故④正确；综上，正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．36. 如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．【答案】0.9或1.1或或．【解析】【分析】设经过t秒后PQ距离为0.5cm，然后分情况分别进行考虑：①当P、Q在AB上且P在Q左侧时；②当P、Q在AB上且P在Q右侧时；③当Q从A返回还未到B时；④当Q从A返回运动并超过B点时；⑤当Q超过P时．【详解】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，③Q到达A所用时间为5÷3=s，当Q从A返回还未到B时，如图3所示：由题意得：，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意；④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：此时Q从B-A-B用时为：s，由题意得：，解得：s；⑤当Q超过P时，如图5所示：由题意得：，解得：s，综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或或，故答案为：0.9或1.1或或．【点睛】本题考查两点间的距离，解一元一次方程，涉及列代数式，分类讨论的思想，解题的关键是分哪几种情况讨论．37. 已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当______时，的某一边平分（指不大于180°的角）．【答案】t=2或t=30或t=54【解析】【分析】本题分情况讨论，当OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值，当ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此时分为两种情况，第一种情况：ON'没有旋转完360°，第二种情况：ON'旋转完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分别求出t的值即可．【详解】解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180°得：∠EOM=30° ，∠EON=150°①OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'∠MOE'=30+9t∠A'OE'=60+3t-9t∴30+9t=60+3t-9t解得t=2，②ON'平分∠A'OM，此时分为两种情况，第一种情况：ON'没有旋转完360°，∠MON'=∠A'ON'∠MON'=9t-180 ∠A'ON'=90+(9t-180)-3t∴9t-180=90+(9t-180)-3t解得t=30，第二种情况：ON'旋转完了360°∠MON'=∠A'ON'∠MON'=180-9t+360，∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360)180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360)解得t=54，故答案为：t=3或t=30或t=54 【点睛】此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.38. 如图①，若同一平面内三条射线、、有公共端点O，且满足，或者，我们称是和的“和谐线”．（1）的角平分线________射线和的“和谐线”；（填“是”或“不是”）（2）若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数： ________．（3）如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ （4）如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值：________． 【答案】（1）不是 （2）或或； （3）当旋转时间为或或时，为射线和的“和谐线”. （4）或或或【解析】【分析】（1）由新定义可直接得到答案；（2）根据新定义分两种情况画图讨论即可；（3）分两种情况讨论：如图，当在的外部时，当在的内部时，，再列式计算即可；（4）如图，分情况讨论：当未相遇之前，当相遇之后， 如图，当在外部，在内部时 当都在的外部时， 再根据新定义建立方程求解即可.【小问1详解】解：根据新定义可得：的角平分线不是射线和的“和谐线”；【小问2详解】如图，，当在的内部时， 当，∴，同理可得：当，∴；当在的外部时，如图， 当,而,∴,当,而,∴,综上：射线是射线和的“和谐线”时，为或或；【小问3详解】当在的外部时，如图，此时当为射线和的“和谐线”，且，而， ∴,∴此时旋转时间为,如图，当在的内部时，当为射线和的“和谐线”，且，∵,∴,此时旋转时间为：， 当为射线和的“和谐线”，且，∵,∴,此时旋转时间为：；综上：当旋转时间为3s或或时，为射线和的“和谐线”.【小问4详解】∵射线旋转的时间为t（单位：秒），且，∴，，如图，当未相遇之前，当,∵,∴，，∴，解得：， 当相遇之后，当射线为两条射线和的“和谐线”时，且, ∵,∴，，∴，解得：，当射线为两条射线和的“和谐线”时，且,∴，解得：，如图，当在外部，在内部时，则, 同理可得：，则，不符合题意舍去；当都在的外部时，且, 则，∴，解得：；综上：当射线为两条射线和的“和谐线”时，t的值为或或或【点睛】本题考查的是角的和差倍分的新定义，一元一次方程的应用，角的动态定义，清晰的分类讨论是解本题的关键.39. 定义：当点C在线段上，时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．理解：如点C是的中点时，即，则；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．应用：（1）如图1，点C在线段上，若，则　　；若，则　　，（2）已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为．①若点P、Q的运动速度均为，试用含t的式子表示和，并判断它们的数量关系；②若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，？③拓展：如图2，在三角形中，，，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段匀速运动到点B，点Q沿线段，匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设，当点Q运动到线段上时，请用含n的式子表示．（直接写出答案）【答案】（1），； （2）①，，1；②4或；③【解析】【分析】（1）根据题意由即可得到；由得到，根据题意即可得到；（2）①由点P、Q的运动速度均为，得到，，根据定义即可得到，，由即可得到两者的数量关系；②点P、Q的运动速度分别为和，得到，，，则，，，由即可得到关于t的方程，分别解方程即可得到答案；③设运动时间为t，设点P的速度为，点Q速度为：，则，再求出与n的关系，代入，即可得到答案．【小问1详解】解：∵，∴；若，∴，∴，故答案为：，；小问2详解】①∵点P、Q的运动速度均为，∴，，∴，，∴；②∵点P、Q的运动速度分别为和，∴，，，∴，，，∵，∴，或，∴或；③设运动时间为t，∵点P、Q同时到达点B，∴点P的速度：点Q速度＝3：5，设点P的速度为，点Q速度为：，∴，则，∵，∴．【点睛】此题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键．面数（f）顶点数（v）棱数（e）图1714图2812图3710面数（f）顶点数（v）棱数（e）图17914图26812图371015面数（f）顶点数（v）棱数（e）图17914图26812图371015情形度数侧面侧面115°230°情形度数侧面侧面下坡路下坡路上坡路下坡路