人教版数学七上同步单元讲练测第4单元几何图形初步01讲（2份，原卷版+解析版）

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第四单元 几何图形初步考点1 立体图形与平面图形1．几何图形的分类2．立体图形的分类3．立体图形与平面图形的相互转化（1）立体图形的平面展开图：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．（2）从不同方向看：主（正）视图___________从正面看几何体的三视图 左视图___________从左（右）边看俯视图___________从上面看（3）几何体的构成元素及关系几何体是由点、线 、面构成的．点动成___________，线与线相交成___________；线动成___________，面与面相交成___________；面动成___________，体是由面组成．考点2 直线、射线、线段1．直线、射线、线段（1）直线①直线由无数个___________构成，___________动成线；②直线是面的组成成分，并继而组成体；③直线___________端点，向两端无限延伸，长度无法度量；④两点___________一条直线，因此可以用直线上的两个点来表示；⑤线段向___________无限延长就形成直线；⑥直线___________端点，因此可以用一个小写字母来表示直线；（2）射线①射线是___________线的一部分；②线段向___________无限延长就形成射线，长度无法度量；③射线有___________个端点，因此需要用端点与延长线上一点来表示射线；（3）线段①线段是射线的一部分，也是直线的一部分；②线段有___________个端点，因此需要用两个端点来表示直线；③线段有长度，可以度量；2．基本性质（1）直线的性质：___________点确定一条直线． 如两个钉子固定一根木条．（2）线段的性质：两点之间，___________最短．连接两点间的线段的___________，叫做两点间的距离．3．画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段．（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法．（2）线段的和与差：如下图，有，或；．（3）线段的中点：把一条线段分成两条___________线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：考点3 角1．角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条___________组成的图形叫做角，这个公共端点是角的___________，这两条射线是角的___________；此外，角也可以看作由一条___________绕着它的端点旋转而形成的图形．（2）角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个___________英文字母表示，二是用角的顶点的一个___________英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个___________表示．例如下图：（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．（4）角的分类（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角．（2）借助量角器能画出给定度数的角．（3）用尺规作图法．2．角的比较与运算（1）角的比较方法： ①度量法；②叠合法．（2）角的平分线：从一个角的___________出发，把这个角分成___________的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以，或．类似地，还有角的三等分线等．3．角的互余互补关系 余角补角（1）若∠1+∠2=___________°，则∠1与∠2互为余角．其中∠1是∠2余角，∠2是∠1的余角．（2）若∠1+∠2=___________°，则∠1与∠2互为补角．其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角．（3）结论： 同角（或等角）的余角___________；同角（或等角）的补角___________．4．方位角以___________、___________方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示___________的角叫做方位角三视图1．常见几何体的三视图2．注意事项（1）看得见轮廓和棱用实线，看不见的用虚线；（2）三视图满足长对正，高平齐，宽相等；（3）所有锥体，俯视图都有一个点．3．堆叠问题求正方体个数问题步骤：修地基→标数字→求最多→求最少；【例题】1. 如图所示几何体的主视图是（ ）A. B. C D. 2. 如图①，这是一个正方体毛坯，将其沿一组对面的对角线切去一半，得到一个工件如图②，对于这个工件，如果截面为正面，则从上面看图②得到的形状图，正确的是（ ） A. a B. b C. c D. d3. 如图，是一个几何体从正面、左面、上面看得到的图形，则这个几何体是（ ）A. B. C. D. 4. 下列是由几块小立方块搭成的几何体的主视图与左视图，这个几何体最多可能有___________个小立方块．最少可能有___________个小立方块． 【练经典】5. 从左边看图中的物体，得到的是图中的（　　） A. B. C. D. 6. 如图，从正面看该几何体，得到的形状图是（ ）． A. B. C. D. 7. 某几何体从三个不同方向看到的图形形状如图所示，那么该几何体是（ ） A. 圆柱体 B. 长方体 C. 正方体 D. 四棱柱8. 如图，是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体从正面看到的形状图相同，则取走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④9. 学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度．【练易错】易错点：不注意虚实导致错误10. 沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 正方体的展开图1．正方体的11种展开图2．口诀：中间四个一随意；二三错开一随意；两两相连各错一；三三两排各错二；凹田不能有．3．求对面口诀：同层隔一面，异层隔两面，剩下两相对．【例题】11. 下列图形中，不属于正方体展开图的是（ ）A. B. C. D. 12. 如图，正方体的6个面上分别标有汉字“河”“东”“初”“中”“数”“学”，将该正方体按图示方式转动，根据图形可得与“学”相对的是（　　）A. 河 B. 东 C. 初 D. 数13. 如图所示，正方体的展开图为( ) A. B. C. D. 【练经典】14. 下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是（ ）A. B. C. D. 15. 下列图形中，能围成正方体的是（ ）A. B. C. D. 16. 2023年10月1日是中华人民共和国成立74周年，如图是一个立方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“乐”字一面的相对面上的字是（ ） A. 祖 B. 国 C. 日 D. 快17. 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（　　） A. B. 10 C. D. 18. 如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）A. B. C. D. 直线，射线与线段【例题】19. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）A. 如图1所示，延长线段到点B. 如图2所示，射线不经过点C. 如图3所示，直线和直线相交于点D. 如图4所示，射线和线段没有交点20. 由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）A. 7种 B. 8种 C. 56种 D. 28种21. 已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（ ）A. 13cm B. 6cm C. 3cm D. 1.5cm22. 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　）A. 均用两点之间线段最短来解释B. 均用经过两点有且只有一条直线来解释C. 现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释D. 现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释23. 下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有______(填序号)．【练经典】24. 依据“射线AB与射线AC是同一条射线”画图，正确是（ ）A. B. C. D. 25. ，，为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有( )个．A. ，或 B. ，，或 C. 或 D. 以上都不对26. A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在（　　）A. 线段AB上 B. 线段AB的延长线上C. 线段AB的反向延长线上 D. 直线l上27. 如图，、是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两村庄的距离之和最小．老师说：连接，则线段与的交点即为抽水站的位置．其理由是：_____________________．线段的中点及运算【例题】28. 在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB=10cm，BC=4cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为（　　）A. 3cm B. 7cm C. 3cm或7cm D. 5cm或2cm29. 已知A，B，C三点共线，线段，，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（　　）A. 16cm B. 16cm或4cm C. 4cm D. 6cm或12cm30. 如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．（1）若，求线段的长；（2）若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．（3）若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．31. 已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．（1）点A表示的数是：　 　；点B表示的数是：　 　．（2）A，B两点间的距离是　 个单位，线段AB中点表示的数是　 　．（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．【练经典】32. 如图，C、D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AB的长等于（　　）A. 9cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm33. 如图，点C是线段的中点，点D是线段的中点，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 34. 如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点（1）若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；（2）如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长35. 线段AB=60厘米． （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求：①几分钟后，P,Q两点相遇？②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？（2）如图2，AO=PO=8厘米，．现将P点绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P,Q两点也能相遇，求点Q的速度．36. 已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2．（1）求线段AC，CB的长；（2）点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm．①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长；②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．【练易错】易错点：点在直线上不分类导致错误37. 已知线段，点在直线上，，点是线段的中点，则线段___________．角的表示及计算1．角的表示2．角单位及计算3．钟表问题【例题】38. 如图，下列各个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ）A. B. C. D. 39. 若，则用度、分、秒表示为（ ）A. B. C. D. 40. 已知在某个时刻，时钟的时针与分针成一直角，则这时可能是（　　）A. 3：30 B. 6：15 C. 9：00 D. 12：4541. 若∠A=20.25°，∠B=20°18′，则∠A_____∠B．（填“＞”“＜”或“=”）42. 计算：（1）32°19′＋16°53′16″； （2）180°－126°43′12″；【练经典】43. 如图，下列说法错误的是（ ）A. 也可用来表示B. 与是同一个角C. 图中共有三个角：，，D. 与是同一个角44. 下列关系式正确的是 （ ）A. 45.5°=45°5′ B. 45.5°=45°50′ C. 45.5°45°5′45. 将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表： 万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是___________．46. =____度____分____秒；=______度．47. 计算：（1）；（2）．角平分线及角的计算1．角平分线及角的和差倍分中的关系式2．特殊的双角平分线【例题】48. 如图，将两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起．（1）若，则∠BAD＝___°．（2）请写出∠BAD与∠EAC之间的数量关系：___．49. 利用折纸可以作出角平分线，如图1则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接．①如图2，若点恰好落在上，且，则__________；②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数为__________．50. 如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线．（1）射线的方向是 ；（2）求的度数；（3）若射线平分，求的度数．51. 按要求完成如下两个小题．（1）已知一个角的余角是这个角的补角的，求出这个角．（2）如图，已知直线AB和CD相交于O点，，OF平分，，求的度数．52. 已知是直线上一点，将一个直角三角尺按图①方式放置，直角边在直线上，另一条直角边与的夹角，射线在内部．（1）如图②，将三角尺绕着点顺时针旋转，当平分时，试判断与的大小关系，并说明理由．（2）若，三角尺绕点顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为，则当为何值时？（3）在（2）的条件下，在三角尺绕点顺时针旋转一周的过程中，的值能否为定值？若能，求的取值范围．【练经典】53. 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和．若，则的度数为（　　　）A. 145° B. 120° C. 90° D. 75°54. 如图，AO⊥BO，若∠BOC=10°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是______°．55. 如图，射线OC、OD把AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB=2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．（1）求∠COD的度数；（2）求∠AOB的补角的度数．56. 如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．①此时t的值为　 ；（直接填空）②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．【练易错】易错点：不分类导致错误57. 已知，，平分，则___________．余角和补角【例题】58. 如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（ ）A. 与 B. 与 C. 与 D. 与59. 如果∠A，∠B的两条边分别垂直，而其中∠A比∠B的4倍少30°，则∠B=_________．【练经典】60. 的余角等于___________ ，的补角等于___________ ．61. 已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大20°，求这个角的度数．新考法【新定义小练】62. 定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线． （1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）（2）如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？（3）已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）．【阅读材料类小练】63. 综合与探究：如图，射线在上方，射线在下方，，（，），与分别是和 的平分线．操作发现：（1）当，时，求的度数；（2）继续探究，当固定不变，把扩大为时，求的度数；探索发现：（3）在完成（1）（2）时，小亮发现与之间存在一个固定的数量关系．你认为小亮说的对吗？请说明理由．64. 把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ；（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．65. 一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？【规律类小练】66. 欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°碟子的个数碟子的高度（单位：cm）1222+1.532+342+4.5……比较项目线段中点线段和差线段倍分图形关系式角的单位度、分、秒角的单位进制1°=60′，1′=60″角的单位换算由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行．角的单位计算同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60．针的名称时针分针每小时转的度数30°360°每分钟转的试题0.5°6°_______________________________________________________比较项目角平分线角的和差角的倍分基本图形基本关系式余角补角图形关系式性质同角（或等角）的余角相等同角（或等角）的补角相等名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468棱数E612面数F458