人教版七年级数学上册同步备课 《第四章》4.3.2 角的比较与运算（教学设计）

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4.3.2 角的比较与运算 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初步”4.3.2 角的比较与运算，内容包括：角的大小的比较方法；角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系；度、分、秒的角度的计算.2.内容解析本节课是人教版七年级(上册)第四章第三节的内容.在此之前，学生已经学习角的基本概念、角的度量以及直线、线段、射线的概念及相关性质.这为本节课的教学做了知识和思维上的准备.同时它对学习下一节余角、补角的概念的理解进行了思维上的铺垫，从而为学生进一步学习平面几何图形打下了基础.所以本节内容起到了复习旧知识、承接新知识的承上启下的作用.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，认识角平分线及画角平分线.二、目标和目标解析1.目标(1)掌握角的大小的比较方法. (2)理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题. (3)会进行涉及度、分、秒的角度的计算. 2.目标解析在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线.进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法.能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习热情.三、教学问题诊断分析七年级学生刚刚从小学升入初中，还以形象思维能力为主.遵循这一特点， 应该充分利用学生已有的认知基础和他们已掌握的操作方法和方式，结合“观察、比较、操作、发现”的学法指导，引导学生在自己动手的过程中，利用知识的迁移，把新旧知识联系在一起，使学生抽象思维能力得到发展.同时教学时还应该针对不同层次的学生，给予不同层次的关注，实现有梯度层次的教学.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能从图形中观察角的和差关系.四、教学过程设计（一）情境引入（二）自学导航与线段长短的比较类似，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小(度量法).也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小(叠合法)　　　∠AOB____∠A＇O＇B＇ ∠AOB ____∠A＇O＇B＇ ∠AOB____∠A＇O＇B＇思考：观察下边图形，图中共有几个角？它们之间有什么关系？图中共有___个角分别是：____________________.它们的关系为：∠AOC＝______＋∠BOC，∠AOB＝______－∠BOC，∠AOC－∠AOB＝______.（三）考点解析例1.如图，回答下列问题：(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；(2)借助三角板比较∠DOE与∠BOF的大小.解：(1)因为OD在∠FOE的内部，所以∠FOD＜∠FOE.(2)用含有45°角的三角板比较，可得∠DOE＞45°，∠BOF＜45°，所以∠DOE＞∠BOF.【迁移应用】1.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )A.∠AOB＞∠AOC B.∠AOC=∠BOC C.∠BOC＞∠AOC D.∠AOC＞∠BOC2.如图，∠AOF是平角，请你比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE四个角的大小.解：观察图形即可判断四个角的大小，即∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE.例2.观察图形并回答下列问题：(1)∠AOC是哪两个角的和？∠DOB是哪两个角的和？(2)∠AOB是哪两个角的差？解：(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，∠DOB是∠COD与∠BOC的和.即∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠DOB=∠COD+∠BOC.(2)∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，或∠AOB是∠AOD与∠DOB的差.即∠AOB=∠AOC-∠BOC=∠AOD-∠DOB.【迁移应用】1.按图填空：(1)∠AOB+∠BOC=________;(2)∠BOD-∠COD=________;(3)∠AOD=∠AOB+∠B0C+_______; =∠AOB+______; =∠AOC+______;(4)∠BOC=∠AOD-∠AOB-_______; =∠AOC-_______; =∠B0D-_______.2.如图，∠AOB=∠COD，则( ) A.∠l＞∠2 B.∠1=∠2 C.∠1＜∠2 D.∠1与∠2的大小无法比较（四）合作探究思考：观察下边图形，图中共有几个角？它们之间有什么关系？图中共有___个角分别是：____________________.它们的关系为：∠AOC＝______＋∠BOC，∠AOB＝______－∠BOC，∠AOC－∠AOB＝______.探究：如图，借助三角尺画出15°，75°的角，用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试.【结论】借助一副三角尺可以画出15°倍数的角.（五）自学导航我们知道，线段的中点把线段分成相等的两条线段.类似地，下图中，如果∠AOB＝∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角，这时有∠AOC＝2∠AOB＝2______，∠AOB＝∠BOC＝12_________.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.三等分线OB，OC是∠AOD的三等分线.∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝13∠AOD.（六）考点解析例3.如图，∠BOD=13∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数.解：因为∠BOD=13∠COD=15°所以∠COD=3∠BOD=45°，所以∠BOC=∠COD-∠BOD=30°又因为OC平分∠AOB，所以∠AOB=2∠BOC=60°【迁移应用】1.如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=32°，则∠BOD的度数是_______.2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD=25°，则∠AOB等于( )A.50° B.75° C.100° D.120°3.如图，∠AOB=165°，0D平分∠AOC.(1)若∠AOD=50°，则∠B0C=_______.(2)若∠BOD=110°，则OC是∠BOD的平分线吗？说明理由.解：(2)0C是∠BOD的平分线.理由：因为∠AOB=165°,∠BOD=110°，所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=165°-110°=55°.因为0D平分∠AOC，所以∠COD=∠AOD=55°.所以∠BOC=∠BOD-∠COD=110°-55°=55°.所以∠BOC=∠COD.所以OC是∠BOD的平分线.例4.计算：(1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″;(3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3.解：(1)56°18′+72°48′=128°66′=129°6′;(2)131°28′-51°32′15″=130°87′60″-51°32′15″=79°55′45″;(3)12°30′20″×2= 24°60′40″= 25°40″;(4)12°31′21″÷3=4°+31′21″÷3=4°10′+81″÷3=4°10′27″.【迁移应用】1.如图，O是直线AB上一点，OD是∠BOC的平分线，∠AOC=46°38′，则∠BOD的度数为________.2.计算：(1)48°39′+67°31′-21°17′; (2)23°53′×3-107°43′÷5.解：(1)48°39′+67°31′-21°17′= 116°10′-21°17′= 94°53′.(2)23°53′×3- 107°43′÷5=71°39′-21°32′36″=50°6′24″.例5.如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平线，∠BOE=15°，求∠AOD和∠BOC的度数.解：因为OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°， 所以∠BOD=2∠BOE=30°，所以∠AOD=∠AOB+∠BOD= 90°+30°=120°，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-30°=60°.【迁移应用】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠COF=90°，∠BOF=40°，求∠AOC和∠DOE的度数.解：因为∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，∠COF=90°，∠BOF= 40°,所以∠AOC=180°-∠COF-∠BOF=180°-90°-40°=50°因为∠AOC+∠AOD=180°所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-50°=130°因为OE平分∠AOD，所以∠DOE=12∠AOD=65°例6.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数；(2)探究∠MON与∠AOB的数量关系.解：(1)因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC,所以∠COM=12∠AOC，∠CON=12∠BOC.因为∠AOC=50°，∠BOC= 30°，所以∠COM=25°，∠CON=15°所以∠MON=∠COM+∠CON=40°.(2)因为OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COM=12∠AOC，∠CON=12∠BOC.所以∠MON=∠COM+∠CON=12∠AOC+12∠BOC=12 (∠AOC+∠BOC)=12∠AOB.【迁移应用】1.如图，0B，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=80°.(1)若∠BOC=40°，则∠AOD的度数为_______；(2)若∠AOD=x°，则∠BOC的度数为___________.(用含x的式子表示)2.如图，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC.(1)若∠AOB=90°，∠BOC=38°，求∠DOE的度数；(2)若∠AOB=α，∠BOC=β(∠AOB，∠BOC均为锐角，且α＞β)，其他条件不变，求∠DOE的度数；(3)从(1)(2)的结果中，你发现了什么规律？请写出来.解：(1)因为∠AOB=90°,∠BOC=38°所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+38°=128°.因为OE，0D分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COE=12∠AOC=12×128°=64°∠COD=12∠BOC=12×38°=19°所以∠DOE=∠COE-∠COD=64°-19°=45° (2)因为∠AOB=α，∠BOC=β，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β.因为OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COE=12∠AOC=12(α+β)，∠COD=12∠BOC=12β.所以∠DOE=∠COE-∠COD=12(α+β)-12β=12α.(3)∠DOE的大小是∠AOB的大小的一半，与∠BOC的大小无关.例7.如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE= 140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，求∠AOB的度数.解：设∠COD的度数为x°.因为OD是∠COE的平分线，所以∠COE=2∠COD=(2x)°.因为∠BOC比∠COD的2倍还多10°,所以∠BOC=(2x+10)°.因为OB是∠AOC的平分线，所以∠AOB=∠BOC,∠AOC=2∠BOC=(4x+20)°.因为∠AOE=140°，∠AOE=∠COE+∠AOC,所以2x+4x+20=140，解得x=20，所以∠AOB=∠BOC=(2x+10)°=50°.所以∠AOB的度数是50°.【迁移应用】1.如图，已知∠AOC:∠BOC=1:4，0D平分∠AOB，且∠COD=33°，求∠AOB的度数.解：因为∠AOC:∠BOC=1:4,所以∠BOC=4∠AOC.设∠AOC=x°，则∠BOC=(4x)°,所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=(5x)°.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=12∠AOB=(52x)°,所以∠COD=∠AOD-∠AOC=(32x)°.又∠COD=33°，所以32x=33，所以x=22，所以∠AOB=5×22°=110°.2.如图，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数.解：因为∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，所以设∠AOC=(2x)°，∠COD=(3x)°，∠DOB=(4:x)°,则∠AOB=∠.AOC+∠COD+∠DOB= (2x)°+(3x)°+(4x)°=(9x)°.因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC=12∠AOC=x°，∠NOD=12∠DOB=(2x)°，所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠NOD=x°+(3x)°+(2x) °=(6x)°.又∠MON= 90°，所以6x=90，所以x=15，所以∠AOB=9×15°=135°.例8.已知OC平分∠AOB.若∠AOB=70°，∠COD=10°，则∠AOD的度数为______________.【迁移应用】1.从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=30°，在这三条射线中，当其中一条射线是另两条射线所组成角的平分线时，∠AOC的度数为_______________________.2.已知∠AOB=108°，∠BOC=22°，射线OD，OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数.解：因为OE是∠BOC的平分线，∠BOC=22°,所以∠BOE=∠COE=12∠BOC=12×22°= 11°.因为0D是∠AOB的平分线，∠AOB= 108°，所以∠AOD=∠BOD=12∠AOB=12×108°=54°.分两种情况讨论：(1)当OC在∠AOB内部时，如图①，∠DOE=∠BOD-∠BOE=54°-11°=43°;(2)当OC在∠AOB外部时，如图②,∠DOE=∠BOD+∠BOE=54°+11°=65°.综上所述，∠DOE的度数为43°或65°.五、教学反思