2025年中考复习数学二次函数与方程不等式综合练习题及解析

这是一份2025年中考复习数学二次函数与方程不等式综合练习题及解析，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是
A. 或B. C. D.
2.二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
3.已知二次函数的图像如图所示，则一元二次方程的解是 .
4.二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为____.
5.已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 .
6.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④中，正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
7.本小题8分
已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点
请求出抛物线的解析式；
结合函数图象，当时，请求出y的取值范围.
8.本小题8分
已知二次函数的图像与x轴有唯一公共点．
求a的值；
当时，函数的最大值为4，且最小值为0，则实数m的取值范围是 .
9.本小题8分
已知抛物线是常数，且过点
求c的值；
若该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值；
若当时，y随x的增大而增大，请写出符合条件的其中一个a的值.
10.本小题8分
如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，若一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点
分别求出一次函数与二次函数的解析式；
根据图象，写出满足的x的取值范围.
11.本小题8分
如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为，点C的坐标为，一次函数的图像过点A、
求二次函数的解析式；
求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标；
根据图像写出时，x的取值范围．
12.本小题8分
已知，抛物线，直线l的解析式为
若抛物线与y轴交点的纵坐标为，试求抛物线的解析式；
试证明：抛物线与直线l必有两个交点；
若抛物线经过点，且对于任意实数x，不等式都成立，当时，抛物线的最小值为，求直线l的解析式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】本题主要考查了二次函数图象的性质．先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点，再根据图象法求解即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，其与x轴一交点为，
二次函数与x轴的另一个交点为，
由函数图象可知，当或时，，
不等式的解集是或，
故选：
2.【答案】D
【解析】解：由图可知，或时，
故选
根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式．
3.【答案】，
【解析】本题考查二次函数的性质，二次函数的图像与x轴的交点与一元二次方程的解的关系．
先求出二次函数的图像与x轴的交点坐标，再根据二次函数的图像与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，即可求解．
【详解】由图像可知，二次函数的图像与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，
根据二次函数图像的对称性，可知二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为，
二次函数的图像与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，
一元二次方程的解为，
故答案为：，
4.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．根据时，抛物线与x轴有1个交点得到，然后解关于m的方程即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得
故答案为
5.【答案】
【解析】本题考查二次函数的图象与x轴的一个交点与不等式的解集的关系．先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据二次函数的图象与x轴的交点，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点横坐标为1，对称轴为，
根据二次函数图象的对称性，可知二次函数的图象与x轴的一个交点横坐标为，
不等式的解集为，
故答案为：
6.【答案】②③④
【解析】解：①由图象可知该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以；故本选项错误；
②根据图示知，当时，，把代入，
得到，故本选项正确；
③由图象可知；
又该抛物线与y交于正半轴，
，
而对称轴，
，
；故本选项正确；
④由③知，，故本选项正确；
故答案为：②③④．
根据二次函数图象与x交点的个数来判定的符号；将时，来推知的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定a，b，c的符号；根据图象的对称轴来判断的正误．
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
函数图象如下，
当时，y取得最小值，当时，y取得最大值，
当时，，
当时，，
则y的取值范围
【解析】由待定系数法即可求解；
当时，y取得最小值，当时，y取得最大值，即可求解．
本题考查的是二次函数和x轴的交点，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
8.【答案】【小题1】
解：由题意可得，
二次函数的图像与x轴有唯一公共点，
一元二次方程的判别式等于0，
，，
解得：；
【小题2】

【解析】
根据二次函数的图像与x轴有唯一公共点即一元二次方程的判别式等于0即可得到答案；

配方找到对称轴，确定最小值，代入最大值即可得到答案．
解：由得，
，
当时，，
当时，，
抛物线上点的对称点为
时，函数的最大值为4，且最小值为0，
9.【答案】解：过点，
将代入
解得
与x轴只有一个交点，
又，
解得或
，
对称轴为直线
时，y随x的增大而增大，
若此时，且满足，则符合题意，
解得
符合条件的a的一个值为答案不唯一
【解析】将代入解析式计算即可；
利用方程根的情况，通过计算求出结果即可；
根据对称轴和增减性解题即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10.【答案】解：将代入，
得，
，
二次函数的解析式
点C的坐标为
抛物线的对称轴是直线，且点B，C关于对称轴对称，
点B的坐标为
将，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为
由图象可知，满足的x的取值范围为
【解析】将代入，求出m的值，即可得出二次函数的解析式；根据二次函数的解析式可得出点C的坐标，进而可得点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
根据图象可直接得出答案．
本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
11.【答案】【小题1】
解：由二次函数的图像经过、两点，
得，
解这个方程组，得，
抛物线的解析式为；
【小题2】
令，得，
解这个方程，得，，
此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为；
【小题3】
当或，

【解析】
把，分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可；

令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标；

观察图像可得当或，抛物线都在直线的上方，即
12.【答案】解：抛物线与y轴交点的纵坐标为，即：，解得：，
则抛物线表达式为：，
抛物线：，
直线：，
，
，
，
，
，
，
，抛物线与直线l必有两个交点；
依题意可知，
即，
解得：或，
，
，此时抛物线的对称轴为直线，
①当时，抛物线在上，图象下降，y随x增大而减小．此时，
，
解得：舍去，，
②当，即时，抛物线在上，，
解得：舍去；
③当，即时，抛物线在上，图象上升，y随x增大而增大，
此时，
，
解得：，舍去，
综上所述，直线l：或
【解析】抛物线与y轴交点的纵坐标为，即：，解得：，即可求解；
联立抛物线和直线的表达式得：，由，即可求解；
分、、三种情况，分别求即可．
本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、根的判别式等，要注意分类求解，避免遗漏．