2024-2025学年黑龙江省木斯市高三上学期12月月考数学检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省木斯市高三上学期12月月考数学检测试题（附答案），共10页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名，S8均为Sn的最大值等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1.eq \f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝ ( )
A．－1B．1－i
C．1D．1＋i
2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= ( )
A.-C.- B.0 C.-2 D.1
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( )
A.3 B.4 C.2 D.5
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b= ( )
A.-B.- B.-1 C.0 D.1
5.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= ( )
A.14 B.12 C.3 D.4
6.若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 ( )
A. π2 B. π4 C.3π4 D.π
7.已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为 ( )
A．1B．eq \r(2)＋1
C．eq \r(2)D． eq \r(2)－1
8.已知数列{an}满足an=nn+1,则a1+a222+a332+…+a2 0202 0202+a2 0212 0212=( )
A.2 0212 022 B.2 0182 019 C.2 0192 020 D. 2 0202 021
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值可能为( )
A.1 B.12 C .3 D.2
10.已知等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则( )
A.d>0 B. S15>0
C.a8=0 D.S7、S8均为Sn的最大值
11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则( )
A.a5=0
B.{an}的前n项和中S5最小
C.Snn的最大值为0
D.nSn的最小值为-49
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=30,则a2+a8= .
13.数列{an}满足an+1=11−an,a8=2,则a2= .
14.若数列{an}的前n项和Sn=23an+13,则{an}的通项公式是an= .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
16．（15分）已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{Sn}是等差数列;③a2=3a1.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
17．（15分）已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.
18．（17分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=2n−1an,求数列{bn}的前n项和Tn.
19．（17分）记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:1a1+1a2+…+1an0 B. S15>0
C.a8D.S D.S7、S8均为Sn的最大值
答案 CD
11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则( )
A.a5=0
B.{an}的前n项和中S5最小
C.Snn的最大值为0
D.nSn的最小值为-49
答案 BD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=30,则a2+a8= .
答案 12
13.数列{an}满足an+1=11−an,a8=2,则a2= .
答案 2
14.若数列{an}的前n项和Sn=23an+13,则{an}的通项公式是an= .
答案 (-2)n-1
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解析 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
16．（15分）已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{Sn}是等差数列;③a2=3a1.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解题指导:先选两个作为条件,余下一个作为结论,然后进行证明.如果是证明③,利用等差中项法,即只需2S2=S1+S3,通过化简即可得证;如果是证明①或②,可先求数列的通项公式,再利用等差数列的定义证明即可.
解析 选①②作为条件,证明③.
证明:设等差数列{an}的公差为d,因为{Sn}是等差数列,所以2S2=S1+S3,即22a1+d=a1+3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1−d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.
选①③作为条件,证明②.
证明:设等差数列{an}的公差为d.
因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.
所以等差数列{an}的前n项和Sn=na1+n(n−1)2d=na1+n(n−1)2·2a1=n2a1.又a1>0,所以Sn=na1.
则Sn+1−Sn=(n+1)a1−na1=a1,所以数列{Sn}是公差为a1的等差数列.
选②③作为条件,证明①.
证明:设等差数列{Sn}的公差为d,因为S1=a1,S2=a1+a2=a1+3a1=2a1,所以d=S2−S1=2a1−a1=a1,则等差数列{Sn}的通项公式为Sn=a1+(n-1)a1=na1,所以Sn=n2a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列{an}的通项公式为an=(2n-1)a1,则an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{an}是公差为2a1的等差数列.
17．（15分）已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得3a1+3d=−3,a1(a1+d)(a1+2d)=8,
解得a1=2,d=−3或a1=−4,d=3.
所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5或an=3n-7.
(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故|an|=|3n-7|=−3n+7, n=1,2,3n−7, n≥3.
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n2-112n+10.
当n=2时,满足此式,
综上,Sn=4, n=1,32n2−112n+10, n>1.
18．（17分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=2n−1an,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)当n=1时,S1=2a1-1,解得a1=1.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,则Sn-Sn-1=an=2an-2an-1,即an=2an-1.所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1(n∈N*).
(2)bn=2n−1an=2n−12n−1,∴Tn=1+321+522+…+2n−12n−1,
∴12Tn=121+322+523+…+2n−32n−1+2n−12n,
两式相减得12Tn=1+221+222+223+…+22n−1−2n−12n=3−2n+32n,∴Tn=6-2n+32n−1(n∈N*).
19．（17分）记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:1a1+1a2+…+1an