2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市2025届高三上学期第三次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市2025届高三上学期第三次月考数学检测试卷（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
4．已知向量与满足，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面给出下列四个命题：
①若，，α//β，则；
②若，，，则；
③若，，α//β，则；
④若，，，，则．
其中正确命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
6．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于直线对称
C．该图象向右平移个单位长度可得的图象
D．函数在上单调递增
10．等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
11．已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为8D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．等比数列的前项和记为，若，，则 .
13．已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ．
14．把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体（图1），若中间层旋转角（为锐角，如图2所示），记表面积增加量为，则 ，S的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列前项的和为，求.
16．已知面积为，角，，的对边分别为，，，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：
①；
②；
③
(1)求角；
(2)若，是上的点，平分，的面积为，求角平分线的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
(1)设平面与直线相交于点，求证：；
(2)若，，，求棱锥的体积
18．已知数列的前项和为，满足，.数列满足，，且.
(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；
(3)记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数，求函数极值点的个数；
(3)当时，若在上恒成立，求证.
答案
1．【正确答案】A
【分析】通过解不等式求出的元素，进而利用集合的交集运算即可求解.
【详解】不等式的解集等价于不等式组的解集，
即得，
又，解得，
于是，
，
则.
故选A.
2．【正确答案】D
【分析】设，利用复数乘法和复数相等的概念求出，再利用复数的模长公式求解即可.
【详解】设，
则，
所以，解得，
所以，.
故选D.
3．【正确答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选B.
4．【正确答案】C
【详解】因为，所以，有，
因为，所以,
解得，,所以，
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】①若，，α//β，则与平行、相交或异面，故错误；
②若，，则或，又，则，故正确；
③若，α//β，则，又，则或，故错误；
④假设是在面上的投影，，，即，，
若，，，得，故正确．

故选：B
6．【正确答案】B
【详解】设各层的小球个数为数列，
由题意得，，，，
因为，可得，
，
，
，
则，
因为前层小球总个数为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个.
故选：B.
7．【正确答案】D
【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围.
【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.
由，得，即，
从而，即.
故选D.
【方法总结】设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围.
8．【正确答案】D
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，而，故当时，恒成立，
不等式，
当时，或，由，得，
原不等式的整数解有无数个，不符合题意；
当时，或，由，得，无正整数解，
因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式有且只有3个正整数解，
3个正整数解只能是，因此，即，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
9．【正确答案】BC
【详解】由函数图象可得，周期，所以，
又，
所以，则，
因为，所以，故，
对于A，，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，该图象向右平移个单位长度可得，故C正确；
对于D，若，则，此时函数不单调，故D错误；
故选：BC.
10．【正确答案】ABD
【分析】利用等差数列的性质，对于A项，，计算即可；对于B项，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C项，结合数列单调性比较大小即可；对于D项，由，，得.
【详解】对于A项，等差数列中，，设公差为，
若，则，所以A正确；
对于B项，若，，则，得，
所以，所以B正确；
对于C项，若，，所以公差，
当时，有，则有，
当时，有，得，
所以，则有，所以C错误；
对于D项，若，则，
因为，所以，所以D正确．
故选ABD．
11．【正确答案】BC
【详解】当时，恒成立，
由对任意的，不等式恒成立，
则对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，此时不存在，所以，故B正确；

当时，作出函数和的图象的示意图如图所示，
当时，显然恒成立，此时不恒成立，
由对任意的，不等式恒成立，
所以，故A错误；
所以，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
12．【正确答案】
【分析】运用等比数列的求和公式计算即可 。
【详解】等比数列an的前项和记为, ，显然.
则 ，化简得，
解得,则，.
当时,，
当时,，.
故答案为.
13．【正确答案】3
【详解】取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形，
则，所以，因为，且，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，因为，则，
所以，又因为，平面，，所以平面，
则易知，，两两垂直且长度均为，
所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设外接球的半径为，则.
故3.
14．【正确答案】
【详解】显然这些个三角形全等，且增加的三角形个数为16个，
设三角形的斜边长为，则①，
所以，
当时，由①式得，，
所以；
，
因为，当且仅当时，等号成立，
又由①可得，，
所以，
因为为锐角，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
即．
故，
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
因为各项均为正数，，
所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
故.
（2），
所以
.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；如选②，由正弦定理及二倍角公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小；若选③，由正弦定理及诱导公式可得角的大小；
（2）由等面积法及余弦定理可得角平分线的值．
【详解】（1）若选①，
由三角形的面积公式及余弦定理可得，
可得，又因为，所以；
若选②，由正弦定理可得，
因为，则，所以，所以，
又，则，所以，
所以，所以，则；
若选③，由正弦定理可得，
因为，则，所以，
即，所以，
即，
又，则，所以，则；
（2）因为，是上的点，平分，的面积为，
所以，
可得，，
由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
即角平分线的长为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵平面与直线相交于点，
∴平面平面．
∵四边形是菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴，故．
（2）∵底面为菱形，，∴，为正三角形，
又，∴，
∵为的中点，∴到平面的距离与到平面的距离相等，
又平面，即平面，，
∴棱锥的体积为
．
18．【正确答案】(1)，
(2)实数的取值范围为
(3)存在这样的，使得成立
【详解】（1）当时，，所以；
当时，由可得：，两式相减得：，
又，从而数列为首项，公比的等比数列.
所以数列的通项公式为，
又，两边同除以得：，
从而数列为首项，公差的等差数列，
所以，所以数列的通项公式为；
（2）因为，结合（1）可得，
所以①，
②，
①-②可得，
，
，
由（1）可得，所以，
因为，所以，
，又单调递增，
所以，
所以实数的取值范围为；
（3）由（1）可得，所以，
由，可得，所以，
所以，所以，所以，
，所以，
所以，因为，
所以，所以，
当时，解得，解得（舍去），
当时，解得，解得（舍去），
当时，解得，解得.
所以存在这样的，使得成立.
19．【正确答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）求导，分类讨论求解函数的单调区间，根据极值点的概念即可判断极值点个数；
（3）由题意在上恒成立，构造函数，分类讨论研究函数的单调性，参变分离，构造函数，利用导数法求解最值即可证明.
【详解】（1）的定义域为，，，
所以，，所以曲线在处的切线方程为.
（2），，
对于方程，，
①当时，，，此时没有极值点；
②当时，方程的两根为，，不妨设，
则，，，当或时，，
当时，，此时，是函数的两个极值点；
③当时，方程的两根为，，且，，
故，，当时，，故没有极值点；
综上，当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
（3）证明：由在上恒成立，
得在上恒成立，
设，，
当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立.
当时，若，则，在上单调递增，
若，则，在上单调递减，
所以，
所以.
要证成立，因为，即证明.
因为，
令，，，令得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，所以，所以成立.