苏科版数学八上期末专题训练 平面直角坐标系中的规律问题专项训练（30道）（2份，原卷版+解析版）

这是一份苏科版数学八上期末专题训练 平面直角坐标系中的规律问题专项训练（30道）（2份，原卷版+解析版），文件包含苏科版数学八上期末专题训练平面直角坐标系中的规律问题专项训练30道原卷版doc、苏科版数学八上期末专题训练平面直角坐标系中的规律问题专项训练30道解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
平面直角坐标系中的规律问题专项训练（30道）
【专项训练】
一、单选题
1．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将关于y轴对称得到 ．．．．．．依次类推．点经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为（ ）．(注：“012”算3次变换)
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，如此求解下去可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，点按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，
点按序列“012” 作变换先变成点，然后变成，再变成，
∴可知点按序列“012012”作变换后得到的坐标仍是，
∴点按照序列“012012012．．．．．．．”作变换时每6次是一个循环，
∵，
∴经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点坐标变化规律是解题的关键．
2．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2023分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【详解】解：由题知表示粒子运动了0分钟，
表示粒子运动了（分钟），将向左运动，
表示粒子运动了（分钟），将向下运动，
表示粒子运动了（分钟），将向左运动，
…，
于是会出现：
点粒子运动了（分钟），此时粒子将会向下运动，
∴在第2023分钟时，粒子又向下移动了个单位长度，
∴粒子的位置为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
3．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第六次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；照此规律重复下去，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过枚举法，计算出前六次变换时，各点的坐标，从中寻找变化规律，确定循环节，依次计算判断即可．
【详解】观察，发现规律：，，，，，，，，，
，，，，，，为自然数）．
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标在变换中的遵循规律，利用枚举法揭示规律是解题的关键．
4．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始．按顺时针方向．取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题目中定义的新坐标系的中点坐标的表示方法，求出点C的坐标，即可求得答案．
【详解】根据题意得：点C的坐标为，
则；
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解题的关键是理解新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
5．如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自 处向上运动1个单位至 ，然后向左运动2个单位至 处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，……，如此继续运动下去，则的坐标为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】写出前8个点横坐标，得到横坐标的数字规律，同理得到纵坐标的数字规律，根据数字规律进行计算即可．
【详解】解：设点
则：分别为：
有运动规律和相关数据可知：每四项的和为2，中间两项符号为负，
∴，
同理可以推出：纵坐标：每四项的和为2，前两项符号为正，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查坐标系下点的规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．
6．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2021次后，点B的横坐标为（ ）
A．2020＋673B．2020＋674
C．2022＋673D．2022＋674
【答案】C
【分析】根据滚动方式，确定循环节，滚动的规律，计算即可．
【详解】因为∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
所以AB=，
所以三角形的周长为1+2+=3+．
因为三角形滚动的规律是3次一个循环，且2021÷3=673…2，
所以滚动2021次后，点B的横坐标为1+2+673（3+）=2022+673，
故选C．
【点睛】本题考查了图形中数字规律，正确计算循环节是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系上有点（1，0），点第一次跳动至点A（﹣1，1），第二次点跳动至点（2，1），第三次点跳动至点（﹣2，2），第四次点跳动至点（3，2），……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】A
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离．
【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2022次跳动至点的坐标是（1012，1011），
第2021次跳动至点的坐标是（-1011，1011）．
∵点与点的纵坐标相等，
∴点与点之间的距离=1012-（-1011）=2023，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
8．如下图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），…， 按这样的运动规律，经过第 2019 次运动后，动点 P 的坐标是（ ）
A．（2019，1）B．（2019，0）C．（2019，2）D．（2019，0）
【答案】C
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，
第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，
∴第4次运动到点(4，0)，第5次接着运动到点(5，1)，…，
∴横坐标为运动次数，经过第2019次运动后，动点P的横坐标为2019，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标为：2019÷4=504余3，
故纵坐标为四个数中第三个，即为2，
∴经过第2019次运动后，动点P的坐标是：(2019，2)，
故选：C．
【点睛】此题主要考查坐标的变化，解题的关键是熟知坐标变化的规律．
9．在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图，则点的坐标为（ ）
A．（1009，0）B．（1008，0）C．（1008，1）D．（1009，1）
【答案】A
【分析】根据前几个点坐标的变化规律得出移动4次图象完成一个循环，从而可得点A2019的坐标．
【详解】解：由图可知，蜗牛移动4次图象完成一个循环，又2019÷4=504…3，
则根据规律可知，（1，0），（3，0），（5，0），……，（2n-1，0），
由4n-1=2019得n=505，则2n-1=2×505-1=1009，
∴（1009，0），
故选：A．
【点睛】本题考查点坐标规律探索，解答关键是读懂题意，仔细观察图象，得出点的变化规律，难度一般．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是2×；根据以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是2×；以此类推，得点的纵坐标是，从而得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，
∴∠=90°-60°=30°，=OA=2，
∴＝＝2×，即点的纵坐标是2×，
以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，
∴∠=90°-60°=30°，＝＝2×，
∴＝＝2××，点的纵坐标是2××，即2×()2，
以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点的纵坐标是2×，
按此规律继续作下去，得点的纵坐标是2×，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含30°角的直角三角形的性质，从而完成求解．
11．我们把这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，，，，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，，得到螺旋折线（如图），已知点，则该折线上的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察图象，推出 的位置，即可解决问题．
【详解】解：观察发现：
（0，1）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到（−1，0）；
（−1，0）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到（0，−1）；
（0，−1）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到（2，1）；
（2，1）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到（−1，4）；
（−1，4）先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到（−6，−1）；
（−6，−1）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到（2，−9）；
（2，−9）先向右平移13个单位，再向上平移13个单位得到（15，4）；
（15，4）先向左平移21个单位，再向上平移21个单位得到（－6，25）
故选：B．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定的位置．
12．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点0运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五运动到点，第六次运动到点，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】先探究点的运动规律，再结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象知，动点P每运动6次为一个循环，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，-2，0，2，0；
∵2022÷6=337，
∴经过策2022次运动后，动点P的纵坐标是0．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
二、填空题
13．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______．
【答案】(3，300°)或(3，120°)
【分析】设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C．
【详解】解：
如图：设中心点为点O，在中，
，
，
是直角三角形，且
∴C的位置为：(3，)或(3，)．
【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键．
14．如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2022次碰到长方形边上的点的坐标为_____．
【答案】
【分析】根据图形得出图形变化规律：每碰撞6次回到始点，从而可以得出2022次碰到长方形边上的点的坐标．
【详解】根据题意，如下图示：
根据图形观察可知，每碰撞6次回到始点，
根据图形可知：依次经过的点的坐标为：、、、、、．
∵2022÷6=337，
∴第2022次碰到长方形边上的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查点的坐标的规律问题，关键是根据题意画出符合要求的图形，找出其中的规律．
15．如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意求出点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为，依此类推，从点开始，每走动4次一个循环，从而得到点位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，即可求解．
【详解】解：根据题意可知：，
∴点的坐标为；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
依此类推，可得点的坐标为，即．
由此发现，从点开始，每走动4次一个循环，
∵，
∴点位于第一象限内，
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，
∴点的坐标为，即．
故答案为①，②．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题．
16．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．写出点的坐标（是正整数）_______________．
【答案】（2n，0）
【分析】观察图形可知，，都在x轴上，求出、的长度，根据规律写出点的坐标即可；
【详解】解：由图可知，，都在x轴上，
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴=2，=4，
∴（2，0），（4，0）；
∴=4n÷2=2n，
∴点的坐标（2n，0）；
故答案为：（2n，0）
【点睛】本题考查点的坐标变化规律，仔细观察图形，得出循环的规律是解题的关键
17．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
【答案】##
【分析】先求,,的坐标，探究规律后，根据规律即可解出答案．
【详解】由题意得：
∴
∴
∵
∴的横坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标和等腰直角三角形的性质等知识，利用知识点得出每个点的坐标，寻找出规律是解决问题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为______．
【答案】
【分析】先根据正方形的性质找出部分An点的坐标，再根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数）”，依此规律即可解答．
【详解】解：观察发现：A1（-1，-1），A2（-1，1），A3（1，1），A4（1，-1），A5（-2，-2），A6（-2，2），A7（2，2），A8（2，-2），A9（-3，-3），…，
∴A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数），
∵2050=512×4+2，
∴A2050（-513，513），
故答案为：（-513，513）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数）．
19．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点从点出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点运动的路程为2022时，点所在位置的点的坐标为______．
【答案】
【分析】由点的坐标得出四边形的周长即可求解．
【详解】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∴AB+BC+CD+AD＝10，
∵点P从点A出发，并按A→B→C→D→A…的规律在四边形ABCD的边上运动，
∴当P点运动的路程为2022时，
2022÷10＝202……2，
∴此时点P所在位置为B点，
∴点P所在位置的点的坐标为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【点睛】本题考查了轨迹与点的坐标﹣规律型，正确得出四边形的周长是解题的关键．
20．如图，已知四边形的顶点为，，，，点和点同时从点出发，沿四边形的边做环绕匀速运动，点以1单位/的速度做逆时针运动，点以2单位/的速度做顺时针运动，则点和点第2022次相遇时的坐标为______．
【答案】
【分析】由点、、、的坐标可得出、的长度，设点和点第次相遇时的时间为，根据第一次相遇的路程和等于周长，所以第次相遇的路程和等于周长乘以，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据路程等于速度乘以时间可求出点和点第次相遇时，点走过的路程，结合四边形的周长为，即可找出点和点第次相遇时的坐标，此题得解．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
设点和点第次相遇时的时间为，根据题意得：，
解得：，
∴点和点第次相遇时，点走过的路程为，
∵四边形的周长为，，
∴点和点第次相遇时的位置在点．
故答案是：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、平面直角坐标系中的规律问题、一元一次方程的实际应用以，灵活运用相关知识点是解决问题的关键．
21．如图将边长为1的正方形OAPB沿着x轴正方向连续翻转2022次，P点依次落在点、、、……、的位置，那么点的坐标为 _____．
【答案】(2022，0)
【分析】根据翻转的特点，依次得出、、、、、，寻找出规律即可求解．
【详解】∵正方形的边长为1，
∴P点的坐标为(-1，1)，
根据连续翻转的特点可知，经过第一次翻转后，以后每翻转一次，p点的横坐标加1，而纵坐标则在1和0之间循环变化，
即结合图形可得：
第1次翻折后：；
第2次翻折后：；
第3次翻折后：；
第4次翻折后：；
第5次翻折后：；
第6次翻折后：；
．．．
依次类推，可知翻转n次时，P点的横坐标为n，
当n为偶数时，p点的纵坐标为0，
当n为奇数时，p点的纵坐标为1，
即可得第2022次翻折后：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律的探索的知识，读懂题意并准确得出坐标的变化规律是解答本题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为______，第个点的坐标为______．
【答案】
【分析】从图中可以看出横坐标为的有一个点，横坐标为的有个点，横坐标为的有个点，依此类推横坐标为的有个点．题目要求写出第个点和第个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第个点和第个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有个点第列有个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数轴上方比下方多一个，
，
第个点在第列自下而上第行，
所以奇数列的坐标为：；
偶数列的坐标为：．
由加法推算可得到第个点位于第列自下而上第行．
代入上式得第个点的坐标为，第个点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．
23．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…根据这个规律，第100个点的坐标为______，第2020个点的坐标为______．
【答案】 （1，9） （45，5）
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束．例如：
右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
，
右下角的点的横坐标为10时，共有100个，100＝102，
10为是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数10﹣1＝9的点结束，
故第100个点的坐标为（1，9），
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452＝2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
则第2020个（45，5）．
∴第2020个点的横坐标为45，
故答案为：（1，9），（45，5）．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．
24．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是___________
【答案】
【分析】根据30°角的性质，勾股定理，求得OB=，根据△，△，△是等边三角形，判定△，△，△等都是含有30°角的直角三角形，依次运用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半计算，找到规律计算即可．
【详解】因为点C（0，1），A（0，0），∠ABC=30°，
所以CB=2，OB=．
因为△，△，△是等边三角形，
所以60° ，
所以=90° ，=90° ，=90° ，
=30° ，
所以，，,
所以第10个等边三角形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，边长的规律，熟练掌握直角三角形的性质，准确探索规律是解题的关键．
25．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2021的坐标为 _____．
【答案】（4041，1）
【分析】通过计算，发现坐标的规律，，再令n＝2021，即可求解．
【详解】解：∵A（0，0），B（2，0），
∴AB的中点为（1，0），
∴P1（1，1），
∵绕点B顺时针旋转180°，
∴P2（3，﹣1），
同理分别得到P3（5，1），P4（7，﹣1），P5（9，1），…，
∴，
∴的坐标为（4041，1），
故答案为：（4041，1）．
【点睛】本题考查点的坐标规律，熟练掌握中心对称的性质，根据对称点的特点，探索出点的坐标的一般规律是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是______________
【答案】（804，1）
【分析】根据图形可以发现规律，从到是一个循环，一个循环周期是10，一个循环后又回到x轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点的坐标（804，0），再求点的坐标即可．
【详解】解：观察图形可知，ｎ为正整数时，的纵坐标为0，1，3，﹣3
纵坐标为0的点：
纵坐标为1的点：
纵坐标为3的点：
纵坐标为﹣3的点：
可以看出纵坐标为1，3，﹣3时，ｎ取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2021＝10×202＋1，纵坐标为1的规律
∴的纵坐标为1，
由，解得n＝203，
∵正好是往右循环203次，
∴横坐标为﹣4＋（203－1）×4＝804，
∴点的坐标是（804，1），
故答案为：（804，1）
【点睛】此题主要考查点的规律变化，解题关键是仔细观察图，找出点的变化规律．
三、解答题
27．在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴正方向按折线不断向前运动，其移动路线如图所示．这时点，，，的坐标分别为，，，，，按照这个规律，解决下列问题：
(1)写出下列点的坐标： ， ， ， ；
(2)点和点的位置分别在 ， ．（填轴上方、轴下方或轴上）
【答案】(1)，，，
(2)轴上，轴下方
【详解】（1）根据题意可知，，，，，，，，；
故答案为：，，，
（2）根据图象可得移动6次图象完成一个循环，
，，
则点的纵坐标是0，点的纵坐标是，
点在轴上，在轴下方．
故答案为：轴上，轴下方．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变化规律，关键是由点的坐标变化得到一般规律．
28．阅读理解：我们把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点或中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点A，则点A的坐标为______；
(2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，……，则点，的坐标分别为______，______．
(3)求出点的坐标，并直接写出在x轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)；或或或
【分析】（1）根据题意，代入对称中心点的坐标公式即可求解；
（2）根据跳动规律，分别找出，，，，的坐标，即可发现跳动规律，由此即可求解；
（3）根据（2）问的结果，循环条次后回到起始点，即周期是次， 的计算方法是，即的坐标与相同，设在轴上找出与点、构成等腰三角形的点为，找出，，，由此即可求出答案．
（1）
解：在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为，
∵，，
∴对称中心是点A坐标的横坐标是，纵坐标是，
故答案是：．
（2）
解：如图所示，
关于点的对称点，
∴，，
∴，
∵点关于点的对称点，
∴，，
∴，
∵点关于点的对称点，
∴，，
∴，
∵点关于点的对称点，
∴，，
∴，
∵点关于点的对称点，
∴，，
∴，即回到起始点，
∴，即经过点，，循环对称跳动次后回到起始点，
故答案是：，．
（3）
解：由（2）可知，电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动6次后回到起始点，
∴，即的坐标与相同，
∴，
设在轴上与点，点构成等腰三角形的点为，
情况一，如下图所示，
当时，为等腰三角形，且，
∴；
情况二，如下图所示，
当时，为等腰三角形， ，在中，
，
∴ ,
∴；
情况三，如下图所示，
当时，为等腰三角形， ，
∴；
情况四，如下图所示，
当时，为等腰三角形， ，
∴；
综上所述，，在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标是或或或，
故答案是：；或或或．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律，等腰三角形的定义，理解题意，通过计算，找到坐标循环对称跳的规律是解题的关键．
29．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的对称中心的坐标为（，）．
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，－1），P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为________；
（2）另取两点B（－1.6，2.1），C（－1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处……则点P3，P8的坐标分别为________，________．
拓展延伸：
（3）求出点P2018的坐标，并直接写出在x轴上与点P2018，C构成等腰三角形的点的坐标．
【答案】（1）（1，1）；（2）P3（-5.2，1.2），P8（2，3）；（3）（5，0）或（-1-，0）或（-1，0）或（2，0）
【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）首先利用题目所给公式求出P2的坐标，然后利用公式求出对称点P3的坐标，依此类推即可求出P8的坐标；
（3）根据（2）中规律得到P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点P2018的坐标，再根据等腰三角形的性质分三种情况，求出在x轴上与点P2018、点C构成等腰三角形的点的坐标．
【详解】解：（1）点A的坐标为（，），即（1，1）；
（2）∵P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-5.2，1.2）→P4（3.2，-1.2）→P5（-1.2，3.2）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3）；
∴P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2），（2，3）；
（3）由（2）可得：
P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环．
∵2018÷6=336…2．
∴P2018的坐标与P2的坐标相同，为P2018（2，3），
设在x轴上与点P2018、点C构成等腰三角形的点为D，
∵P2018C=，
若P2018D4=P2018C=，
则点D4的坐标为（5，0）；
若P2018D1=P2018C=，
则点D1的坐标为（-1-，0），点D3的坐标为（-1，0）；
若P2018D2=CD2，
可知：点D2在P2018C的垂直平分线上，
∵P2018（2，3），C（-1，0），
则，
则D2（2，0），
综上：在x轴上与点P2018、点C构成等腰三角形的点的坐标为（5，0）或（-1-，0）或（-1，0）或（2，0）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，等腰三角形的判定，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，利用题目所给公式是解题的关键，利用公式可以解决后面的所有问题．
30．（1）如图，要把小河里的水引到田地A处，就作AB⊥l(垂足为B)，沿AB挖水沟，水沟最短．理由是___________．
（2）把命题“平行于同一直线的两直线平行”写成“如果……，那么……”的形式．_____________________________ ．
（3）比较大小：______ ．
（4）已知与是同类项，则m-3n的平方根是___．
（5）已知点P的坐标为（3a+6，2﹣a），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是______．
（6） 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______________
【答案】（1）垂线段最短；（2）如果两条直线都和同一条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（3）＜；（4）±6；（5）（3，3）或（-6，6）；（6）（2018，0）
【分析】（1）根据垂线段最短解答；
（2）根据命题的形式解答即可；
（3）先化简即可相比较得到答案；
（4）根据同类项的定义得到m、n，即可得到答案；
（5）根据点到坐标轴的距离列方程解答即可；
（6）根据图形发现点是按照四次一循环的规律变化的，找到点坐标的变化规律即可得到答案.
【详解】（1）∵AB⊥直线l，
∴AB最短，
理由是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
（2）把命题“平行于同一直线的两直线平行”写成“如果……，那么……”的形式是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（3）∵=，且